1、8.4椭圆组基础题组1.(2015广东,8,5分)已知椭圆+=1(m0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.92.(2016湖北荆门元月调考,11,5分)已知是ABC的一个内角,且sin+cos=,则方程x2sin-y2cos=1表示()A.焦点在x轴上的双曲线B.焦点在y轴上的双曲线C.焦点在x轴上的椭圆D.焦点在y轴上的椭圆3.(2016超级中学原创预测卷八,7,5分)已知a0,椭圆+y2=1与双曲线2x2-ay2=1共焦点,过点M(-2,0)的直线l与椭圆交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线l的斜率为k1(k10),直线OP(O为坐标原点)的斜率为k
2、2,则k1k2的值为()A.2B.-2C.D.-4.(2015温州二模,13,4分)若椭圆C:+=1(ab0)经过点P(0,),且椭圆的长轴长是焦距的两倍,则a=.5.(2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(ab0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.6.(2015浙江宁波十校联考,13)设P为椭圆+=1上的点,F1,F2为其左,右焦点,且PF1F2的面积为6,则=.7.(2016领航高考冲刺卷一,9,6分)已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=,F1PF2的大小为.8.(2015浙江模拟
3、训练冲刺卷四,15)已知抛物线y2=2px(p0)与椭圆+=1(ab0)有相同的焦点F2,点P是两曲线的一个交点,且=,其中F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,则椭圆的离心率e=.9.(2015浙江杭州学军中学第五次月考,21)设椭圆C:+=1(ab0)的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60,=2.(1)求椭圆C的离心率;(2)如果|AB|=,求椭圆C的方程.10.(2015陕西,20,12分)如图,椭圆E:+=1(ab0)经过点A(0,-1),且离心率为.(1)求椭圆E的方程;(2)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A)
4、,证明:直线AP与AQ的斜率之和为2.11.(2015宁波一模,18,15分)如图,设椭圆C:+=1(ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F2作直线l交椭圆于P,Q两点,若圆O:x2+y2=b2过F1,F2,且PF1F2的周长为2+2.(1)求椭圆C和圆O的方程;(2)若M为圆O上任意一点,设直线l的方程为4x-3y-4=0,求MPQ面积SMPQ的最大值.12.(2015衢州二模,18,15分)已知椭圆C:+=1(ab0)过点P,离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,过F2的直线l与椭圆C交于不同两点M,N,记F1MN的内切圆的面积为S,求当S取最
5、大值时直线l的方程,并求出最大值.13.(2014北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OAOB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.14.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E:+=1(ab0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.B组提升题组1.(2015课标,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右
6、焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=()A.3B.6C.9D.122.(2013浙江,9,5分)如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是()A.B.C.D.3.(2015衢州二模,7,5分)设点P(x,y)是曲线a|x|+b|y|=1(a0,b0)上的动点,且满足+2,则a+b的取值范围为()A.2,+)B.1,2C.1,+)D.(0,24.(2015温州一模,12,6分)已知F1,F2是椭圆C:+=1的左,右焦点,过右焦点F2的直线l:
7、y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点,M是弦AB的中点,直线OM(O为原点)的斜率为,则ABF1的周长等于,斜率k=.5.(2015浙江,15,4分)椭圆+=1(ab0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.6.(2014课标,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(ab0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.7.(2015金华十校联考,19,15分)已知椭圆C:+=1的左顶点为A(-3,0),左焦点
8、恰为圆x2+2x+y2+m=0(mR)的圆心M.(1)求椭圆C的方程;(2)过点A且与圆M相切于点B的直线交椭圆C于点P,P与椭圆C右焦点的连线交椭圆于Q,若B,M,Q三点共线,求实数m的值.8.(2015浙江湖州中学期中,21)已知A、B分别是椭圆C:+=1(ab0)的左、右顶点,点D在椭圆C上,且直线DA与直线DB的斜率之积为-.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,已知P,Q是椭圆C上不同于顶点的两点,直线AP与QB交于点M,直线PB与AQ交于点N.若直线PQ过椭圆的右焦点F2,求直线MN的方程.9.(2015浙江宁波十校联考,19)设椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,其中一个顶点
9、为P(0,1).(1)求椭圆C的方程;(2)设等腰RtPAB是椭圆C的内接三角形,APB=90,点A、P、B按顺时针方向排列,求直线AP的方程.10.(2016超级中学原创预测卷三,19,15分)如图,中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆C1和圆心在坐标原点的圆C2都经过点M(0,-3),且椭圆C1的离心率为.(1)求椭圆C1和圆C2的方程;(2)过点M引两条斜率分别为k1,k2的直线分别交C1,C2于点P、Q,若PQy轴,则是否存在正常数l使得k1=lk2?若存在,求出l;若不存在,请说明理由;(3)在(2)的条件下,求MPQ的面积的最大值.11.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=
10、1(ab0)的一个焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.12.(2014陕西,20,13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(ab0,y0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y0)连结而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.(1)求a,b的值;(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若APAQ,求直线l的方程.13.(2015浙江名校(衢州二中)交流卷二,18)如图,已知圆O:x2+y2=1的一条切线与椭圆C:+y2=1交于A,B两点,且切线
11、AB与圆O的切点Q在y轴的右侧,F为椭圆C的右焦点.(1)求ABF的周长;(2)求OAB面积的最大值.14.(2015浙江冲刺卷一,21)设椭圆C:+=1(ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,离心率e=.点P是椭圆C上位于第一象限内的点,满足cosF1PF2=,F1PF2的面积为.(1)求椭圆的方程及点P的坐标;(2)经过点P斜率为k和-k的两直线l1,l2分别与椭圆交于点M,N.试问直线MN的斜率是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由;当1k2时,求直线MN在y轴上的截距的取值范围.组基础题组1.B依题意有25-m2=16,m0,m=3.故选B.2.D因为(sin+cos)2=1
12、+2sincos=,所以sincos=-0,且是ABC的内角,所以sin-cos0,故0,而x2sin-y2cos=1可化为+=1,所以方程x2sin-y2cos=1表示焦点在y轴上的椭圆.3.D将双曲线2x2-ay2=1化为标准方程为-=1,由题意得a-1=+,解得a=2或a=-(舍去),故椭圆的方程为+y2=1.易知直线l:y=k1(x+2),把y=k1(x+2)代入椭圆的方程并化简得(1+2)x2+8x+8-2=0,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则x1+x2=-,故P,所以k2=-,所以k1k2=-.4.答案2解析椭圆C:+=1(ab0)经过点P(0,),则b=,因为椭圆的长
13、轴长是焦距的两倍,则a=2c,又因为a2=b2+c2,所以有a2=3+,解得a=2.5.答案解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则+=1,+=1.、两式相减并整理得=-.把已知条件代入上式得,-=-,=,故椭圆的离心率e=.6.答案5解析设P(x0,y0),F1(-,0),F2(,0),=2|y0|=6,得=,则=16-=,=-7+=5.7.答案2;解析根据椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a=6,因为|PF1|=4,所以|PF2|=2.又|F1F2|=2c=2,在F1PF2中,根据余弦定理得cosF1PF2=-,所以F1PF2=.8.答案或解析由=和|PF1|+|PF2|=2a,得
14、|PF2|=.设P(x,y),则有|PF2|=x+=x+c=a,解得x=a-c.又|PF2|=a-ex,则a-ex=a,从而有a-e=a,则-e=0,解得e=或e=.9.解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知y10.(1)由已知得直线l的方程为y=(x-c),其中c=.由得(3a2+b2)y2+2b2cy-3b4=0,解得y1=,y2=.因为=2,所以-y1=2y2,即=2,整理得离心率e=.(2)因为|AB|=|y2-y1|,所以=.由=得b=a.所以a=,得a=3,所以b=.故椭圆C的方程为+=1.10.解析(1)由题设知=,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=.所以椭圆E的
15、方程为+y2=1.(2)证明:由题设知,直线PQ的方程为y=k(x-1)+1(k2),代入+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0.由已知可知0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x20,则x1+x2=,x1x2=.从而直线AP,AQ的斜率之和kAP+kAQ=+=+=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k+(2-k)=2k-2(k-1)=2.11.解析(1)由已知得解得b=c=1,a=.故椭圆C:+y2=1,圆O:x2+y2=1.(2)设点P(x1,y1),点Q(x2,y2).将直线l的方程代入椭圆方程得41y2+24y-16=0,故y1+y2=-,y1
16、y2=-,所以|PQ|=|y1-y2|=.为使SMPQ最大,则使点M到直线l的距离最大.最大距离等于圆心到直线l的距离与圆半径之和,即h=+1=,所以(SMPQ)最大值=|PQ|h=.12.解析(1)由题意得+=1,=,a2=b2+c2,解得a=2,b=,c=1,则椭圆C的标准方程为+=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),F1MN的内切圆半径为r,则=(|MN|+|F1M|+|F1N|)r=8r=4r,所以要使S取最大值,只需最大,=|F1F2|y1-y2|=|y1-y2|.设直线l的方程为x=ty+1,将x=ty+1代入+=1可得(3t2+4)y2+6ty-9=0(*),0恒成立
17、,方程(*)恒有解,y1+y2=,y1y2=,=,记m=(m1),则=,在1,+)上递减,当m=1,即t=0时,()max=3,此时l:x=1,Smax=.13.解析(1)由题意知,椭圆C的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e=.(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x00.因为OAOB,所以=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.当x0=t时,y0=-,代入椭圆C的方程,得t=,故直线AB的方程为x=.圆心O到直线AB的距离d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相
18、切.当x0t时,直线AB的方程为y-2=(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=.又+2=4,t=-,故d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.综上,直线AB与圆x2+y2=2相切.14.解析(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d=,由d=c,得a=2b=2,解得离心率e=.(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.依题意得,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入得(1+4k2)x2+8k(2k+1
19、)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=.由|AB|=,得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.依题意得,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x1x2,所以AB的斜率kAB=.因此
20、直线AB的方程为y=(x+2)+1,代入得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|=.由|AB|=,得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.B组提升题组1.B抛物线C:y2=8x的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.从而椭圆E的半焦距c=2.可设椭圆E的方程为+=1(ab0),因为离心率e=,所以a=4,所以b2=a2-c2=12.由题意知|AB|=2=6.故选B.2.D焦点F1(-,0),F2(,0),在RtAF1F2中,|AF1|+|AF2|=4,|AF1|2+=12,所以可解得|AF2|-|AF1|=2,故双曲线的离心
21、率e=,选D.3.A因为满足+=2的点(x,y)的轨迹为椭圆,且a=,c=1,b=1,所以椭圆的方程为+x2=1,+2表示椭圆的内部和椭圆上的点.又a|x|+b|y|=1表示的曲线在椭圆的内部,所以其顶点,在椭圆的内部或椭圆上,得1,所以a1,b1,a+b2,故选A.4.答案8;-3解析依题意得|AF1|+|AF2|=4,|BF1|+|BF2|=4,|AF1|+(|AF2|+|BF2|)+|BF1|=8,即|AF1|+|AB|+|BF1|=8,ABF1的周长为8.设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),则有两式相减得+=0,即+=0.又=,因此+(x1-x2)=0,即=-3,k
22、=-3.5.答案解析设Q的坐标为(x0,y0),FQ的中点为M,由点M在直线y=x上得bx0-cy0+bc=0.又因为直线FQ垂直于直线y=x,所以=-,即cx0+by0-c2=0,联立得点Q,把点Q的坐标代入+=1并化简得a6=4c6+a4c2,两边同除以a6得4e6+e2-1=0,令t=e2,则0t1,则4t3-t+2t-1=0,则t(2t+1)+1(2t-1)=0,解得t=,因为0e1,所以e=.6.解析(1)根据c=及题设知M,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2y轴,所以直线MF1
23、与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1b0),则b=1,设椭圆的焦距为2c,因为e=,所以c2=a2=a2-b2=a2-1,所以a2=5,所以椭圆C的方程为+y2=1.(5分)(2)设直线PA的斜率为k,则k0,直线PB的斜率为-.直线PA的方程为y=kx+1(k0),代入椭圆C的方程+y2=1得(5k2+1)x2+10kx=0,所以xA=,所以|PA|2=(1+k2)=.(8分)同理,|PB|2=,又因为|PA|=|PB|,所以=(k0),(10分)解得k=1或k=2.(14分)所
24、以直线PA的方程为y=x+1或y=(2)x+1.(15分)10.解析(1)设椭圆C1为+=1(ab0),由于椭圆C1经过点M(0,-3),b=3,又e=,a2-c2=b2,c=4,a=5.椭圆C1的方程为+=1,设圆C2的方程为x2+y2=r2,圆C2经过点M(0,-3),r=3,圆C2的方程为x2+y2=9.(2)存在.由题意知,直线MP的方程为y=k1x-3,直线MQ的方程为y=k2x-3.联立消去y,整理得(9+25)x2-150k1x=0,xP=,则P.同理,由得Q,由于PQy轴,=,化简得=,l=,l0,l=.(3)由(2)知,|PQ|=,SMPQ=|PQ|yQ-yM|=.下面求的最
25、大值,令|k2|=tan,其中,则=sin3cos,根据基本不等式,得3=sin2+sin2+sin2+3cos22sin2+2=2(sin2+sincos)4,sin3cos,当且仅当sin2=3cos2,即|k2|=tan=时,取“=”.此时,SMPQ取得最大值,且最大值为.11.解析(1)由题意得c=,e=,a=3,b=2,椭圆C的标准方程为+=1.(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1、k2,则过P点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0)y=kx+y0-kx0,由消去y,有(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9(y0-kx0)2-4=0,=18k(y0-kx0
26、)2-4(4+9k2)9(y0-kx0)2-4=0,整理得(9-)k2+2x0y0k-+4=0,k1k2=(x03),由已知得k1k2=-1,=-1,+=13,即此时点P的轨迹方程为+=13.当两条切线中有一条垂直于x轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程+=13(x03).综上所述,所求P点的轨迹方程为+=13.12.解析(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左,右顶点.设C1的半焦距为c,由=及
27、a2-c2=b2=1得a=2.a=2,b=1.(2)由(1)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y0).易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)设点P的坐标为(xP,yP),直线l过点B,x=1是方程(*)的一个根.由求根公式,得xP=,从而yP=,点P的坐标为.同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).=(k,-4),=-k(1,k+2).APAQ,=0,即k-4(k+2)=0,k0,k-4(k+2)=0,解得k=-.经检验,k=-符合题意,故直线l的方程为y=-(x-1).13.解析
28、(1)设A(x,y)(0x2),由已知得F(,0),|AF|=2-x.连结OQ,则OQAB,|AQ|=x,故|AQ|+|AF|=2.同理,|BQ|+|BF|=2,故ABF的周长为4.(2)设Q(cos,sin),则直线AB的方程为xcos+ysin=1,代入椭圆方程,得(1+3cos2)y2-2ysin+1-4cos2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,|AB|=,又O到直线AB的距离为1,S=.设t=cos,0t1.f(t)=+3t.f(t)=+3t(0n,解得cosF1PF2=,sinF1PF2=,=mnsinF1PF2=cc=c2.=,c=1,a=2,b=,椭圆的方程为+=1.设P(x,y),则有2y=,得y=,代入椭圆方程得x=1,即点P的坐标为.(2)直线MN的斜率是定值.理由如下:直线l1的方程为y=kx-k+,代入椭圆方程+=1中,整理得(4k2+3)x2-4(2k2-3k)x+4k2-12k-3=0.此方程的两根为点P,M的横坐标,即1与xM.1xM=,xM=,代入直线l1的方程得yM=-,故M.以-k代替k,得点N的坐标为,kMN=,即直线MN的斜率为定值.直线MN的方程为y=-,令x=0,得y=-=-=-2+,1k2,-2+-.故直线MN在y轴上的截距的取值范围为.
