1、2021年湖北省十一校高考数学第二次联考试卷（3月份）一、选择题（共8小题）.1已知（1+2i）2i，则复数z（）A1BiCiD2+i2已知，且sin，则tan（）A7BCD3已知等差数列an的第5项是（x+2y）6展开式中的常数项，则a2+a8（）A20B20C40D404下列命题错误的是（）A两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B设N（1，2），且P（0）0.2，则P（12）0.2C线性回归直线x+一定经过样本点的中心（，）D在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高5设A，B，C，D是同一个半径为6的球的球面上四点，且ABC是边长为9的正三角形
2、，则三棱锥DABC体积的最大值为（）ABCD6已知非空集合A，B满足以下两个条件：（1）AB1，2，3，4，AB；（2）A的元素个数不是A中的元素B的元素个数不是B中元素则有序集合对（A，B）的个数为（）A1B2C4D67直线xy+10经过椭圆1（ab0）的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若2，则该椭圆的离心率是（）ABC22D18已知函数f（x），若mn，且f（m）+f（n）4，则m+n的最小值是（）A2Be1C43ln3D33ln2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9一个口袋中
3、有大小形状完全相同的3个红球和4个白球，从中取出2个球下面几个命题中正确的是（）A如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件B如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率C如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是D如果是有放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是10设函数f（x）sin（x+）+cos（x+）（0，|）的最小正周期为，且过点（0，），则下列正确的为（）ABf（x）在（0，）单调递减Cf（|x|）的周期为D把函数f（x）的图像向左平移个长度单位得到的函数g（x）的解析式为g（x）cos2x11正方
4、体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点则（）A直线D1D与直线AF垂直B直线A1G与平面AEF平行C平面AEF截正方体所得的截面面积为D点A1和点D到平面AEF的距离相等12数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”经研究发现，在平面直角坐标系xOy中，到定点A（a，0），B（a，0）距离之积等于a2（a0）的点的轨迹C是“曲线”若点P（x0，y0）是轨迹C上一点，则下列说法中正确的有（）A曲线C关于原点O中心对称Bx0的取值范围是a，aC
5、曲线C上有且仅有一个点P满足|PA|PB|DPO2a2的最大值为2a2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知单位向量，满足|+|2|，则与的夹角为 14从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示，则直方图中x的值为 15写出一个渐近线的倾斜角为60且焦点在y轴上的双曲线标准方程为 16已知不等式（2axlnx）x2（a+1）x+10对任意x0恒成立，则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5（1）求cosADB
6、；（2）若DC2，求BC18如图，在平行四边形ABCD中，AB，BC2，ABC，四边形ACEF为矩形，平面ACEF平面ABCD，AF1，点M在线段EF上运动（1）当AEDM时，求点M的位置；（2）在（1）的条件下，求平面MBC与平面ECD所成锐二面角的余弦值19已知数列an，a11，an+an+12n+1（nN*）（1）求an的通项公式；（2）数列bn满足bn，Sn为数列bn的前n项和，是否存在正整数m，k（1mk），使得Sk4Sm2？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由20高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木
7、块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，7的球槽内例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下（）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；（）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以
8、玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为元，其中|164m|小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为n元，其中（n4）2.两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由21已知动点P在x轴及其上方，且点P到点F（0，1）的距离比到x轴的距离大1（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若点Q是直线yx4上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA、QB，其中A、B为切
9、点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标22已知函数f（x）在x2时取到极大值（1）求实数a、b的值；（2）用minm，n）表示m，n中的最小值，设函数g（x）minf（x），x（x0），若函数h（x）g（x）tx2为增函数，求实数t的取值范围参考答案一、选择题（共8小题）.1已知（1+2i）2i，则复数z（）A1BiCiD2+i解：（1+2i）2i，i，zi，故选：C2已知，且sin，则tan（）A7BCD解：，+（，），sin，cos（+），tan（+），tantan（+）7故选：A3已知等差数列an的第5项是（x+2y）6展开式中的常数项，则a2+a8（）A20B20C40D40解
10、：（x+2y）6表示6个因式（x+2y）的乘积，故当有3个因式取x，其余的3个因式取 时，可得它的常数项为20a5，等差数列an的第5项是（x+2y）6展开式中的常数项，则a2+a82a540，故选：D4下列命题错误的是（）A两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B设N（1，2），且P（0）0.2，则P（12）0.2C线性回归直线x+一定经过样本点的中心（，）D在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高解：两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确；设N（1，2），且P（0）0.2，则P（12）0.3，故B不正确；线性回归直线x
11、+一定经过样本点的中心（，），故C正确在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高，故D正确；故选：B5设A，B，C，D是同一个半径为6的球的球面上四点，且ABC是边长为9的正三角形，则三棱锥DABC体积的最大值为（）ABCD解：设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形，AB2sin6099，球心为O，三角形ABC 的外心为O，显然D在OO的延长线与球的交点如图：OC3，OO3，则三棱锥DABC高的最大值为：3+69，则三棱锥DABC体积的最大值为：9故选：D6已知非空集合A，B满足以下两个条件：（1）AB1，2，3，4，AB；（2）A的元素个
12、数不是A中的元素B的元素个数不是B中元素则有序集合对（A，B）的个数为（）A1B2C4D6解：若A中只有1个元素，则B中有3个元素，则1A，3B，即3A，1B，此时有1个，若A中有2个元素，则B中有2个元素，则2A，2B，不符合题意；若A中有3个元素，则B中有1个元素，则3A，1B，即3B，1A，此时有1对，综上，有序集合对（A，B）的个数2个故选：B7直线xy+10经过椭圆1（ab0）的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于C点，若2，则该椭圆的离心率是（）ABC22D1解：如图所示：对直线xy+10，令x0，解得y1，令y0，解得x1，故F（1，0），C（0，1），则，设A（x0，y0），
13、则，而2，则，解得，点A又在椭圆上，所以，（c1，a2b2+c2），整理得4a44a22a21，所以，所以e故选：A8已知函数f（x），若mn，且f（m）+f（n）4，则m+n的最小值是（）A2Be1C43ln3D33ln2解：由函数解析式可知函数在每一段都为单调递增函数，且当x1时，f（x）2，当x1时，f（x）2，所以函数f（x）在R上为单调递增函数，又mn，且f（m）+f（n）4，所以m，n中有一个小于1，一个大于等于1，不妨设n1，m1，则f（m）+f（n）2+3lnm+n+14，即n13lnm，所以m+nm3lnm+1，m1，令g（x）x3lnx+1，x1，所以g（x）1，当1x3时
14、，g（x）0，函数g（x）为单调递减函数，当x3时，g（x）0，函数g（x）为单调递增函数，所以当x3时，函数g（x）min33ln3+143ln3，无最大值，故m+n的最小值为43lln3，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9一个口袋中有大小形状完全相同的3个红球和4个白球，从中取出2个球下面几个命题中正确的是（）A如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是对立事件B如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率C如果是有放回地抽取，那么取出1个红
15、球1个白球的概率是D如果是有放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第2次取出红球的概率是解：对于A：如果是不放回地抽取，那么取出两个红球和取出两个白球是既不是互斥事件，也不是对立事件，故A错误；对于B：如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率为，第1次取到红球的概率为，故B错误；对于C：如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是，故C正确；对于D：至少取出一个红球的概率为，至少取出一个红球且第二次取出红球的概率P2P（两红）+P（第一次白第二次红）故；故选：D故选：CD10设函数f（x）sin（x+）+cos（x+）（0，|）的最小正周期为，且过点（0，），则下列正确的为（
16、）ABf（x）在（0，）单调递减Cf（|x|）的周期为D把函数f（x）的图像向左平移个长度单位得到的函数g（x）的解析式为g（x）cos2x解：函数f（x）sin（x+）+cos（x+）sin（x+） （0，|）的最小正周期为，2，f（x）过点（0，），sin（+），f（x）sin（2x+）cos2x故A不正确；当x（0，），2x（0，），f（x）单调递减，故B正确；f（|x|）cos2|x|cos2x 的周期为，故C正确；把f（x）cos2x的图象向左平移个长度单位得到的函数g（x）的解析式为g（x）cos（2x+）cos2x，故D错误，故选：BC11正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2
17、，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点则（）A直线D1D与直线AF垂直B直线A1G与平面AEF平行C平面AEF截正方体所得的截面面积为D点A1和点D到平面AEF的距离相等解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0，0），E（1，2，0），F（0，2，1），D（0，0，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），G（2，2，1），对于A，（0，0，2），（2，2，1），20，直线D1D与直线AF不垂直，故A错误；对于B，（0，2，1），（1，2，0），（2，2，1），设平面AEF的法向量（x，y，z），则，取y1，得（2，1，2），0，A1G平面
18、AEF，直线A1G与平面AEF平行，故B正确；对于C，连接AD1，FD1，E，F分别是BC，CC1的中点，面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1，面AEF截正方体所得的截面面积为：S，故C正确；对于D，由B知平面AEF的法向量（2，1，2），点A1到平面AEF的距离h，点D到平面AEF的距离d，点A1和点D到平面AEF的距离相等，故D正确故选：BCD12数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素如我们熟悉的符号，我们把形状类似的曲线称为“曲线”经研究发现，在平面直角坐标系xOy中，到定点A（a，0），B（a，0）距离之积等于a
19、2（a0）的点的轨迹C是“曲线”若点P（x0，y0）是轨迹C上一点，则下列说法中正确的有（）A曲线C关于原点O中心对称Bx0的取值范围是a，aC曲线C上有且仅有一个点P满足|PA|PB|DPO2a2的最大值为2a2解：在平面直角坐标系xOy中，到定点A（a，0），B（a，0）距离之积等于a2（a0）的点的轨迹C是“曲线”故点P（x0，y0）满足，点M（x0，y0）代入，得到，故A正确；对于B：设x轴上x0范围的最大值为xm，所以，解得，故x0的范围为故B错误；对于C：若PAPB，则点P在AB的垂直平分线上，即xP0，设点P（0，yP），所以，所以yP0，即仅原点满足，故C正确；对于D：，两边平
20、方化简为：（x2+y2）2a2（x2y2），根据xcos，ysin，得到22a2cos，所以PO2a2的最大值为a2，故D错误故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知单位向量，满足|+|2|，则与的夹角为解：，解得，且，14从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示，则直方图中x的值为0.0044解：由频率分布直方图，得（0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012）501x0.0044故答案为：0.004415写出一个渐近线的倾斜角为60且焦点在y轴上的双曲线标准方程为（答案不唯一）解：
21、因为双曲线的焦点坐标在y轴，所以设双曲线方程为：，一条渐近线方程为：byax0，渐近线的倾斜角为60，所以，所以满足题意的一个双曲线方程为：，故答案为：（答案不唯一）16已知不等式（2axlnx）x2（a+1）x+10对任意x0恒成立，则实数a的取值范围是解：令f（x）2axlnx，x（0，+），g（x）x2（a+1）x+1，函数g（x）的对称轴xf（x）2a，a0时，f（x）0，函数f（x）单调递减f（1）2a0，x（1，+），f（x）0；而g（x）在x（1，+）上单调递增，g（x）g（1）1a0因此a0时不符合题意，舍去a0时，f（x），可得函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单
22、调递增x时，函数f（x）取得极小值，即最小值，f（）1+ln（2a），（i）若f（）1+ln（2a）0，则a；而g（）+10，不满足f（x）g（x）0对任意x0恒成立，舍去（ii）若f（）1+ln（2a）0，则a；而函数g（x）的对称轴x0，g（）（a+1）+110，解得a1，a1时，满足不等式（2axlnx）x2（a+1）x+10对任意x0恒成立，因此实数a的取值范围是，1四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5（1）求cosADB；（2）若DC2，求BC解：（1）ADC90，A45，AB2，BD
23、5由正弦定理得：，即，sinADB，ABBD，ADBA，cosADB（2）ADC90，cosBDCsinADB，DC2，BC518如图，在平行四边形ABCD中，AB，BC2，ABC，四边形ACEF为矩形，平面ACEF平面ABCD，AF1，点M在线段EF上运动（1）当AEDM时，求点M的位置；（2）在（1）的条件下，求平面MBC与平面ECD所成锐二面角的余弦值解：（1），AB2+AC2BC2，ABAC，又AFAC，平面ACEF平面ABCD，平面ACEF平面ABCDAC，AF平面ACEF，AF平面ABCD，以AB，AC，AF为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：，设则，AEDM，解得，当AEDM
24、时，点M为EF的中点（2）由（1），设平面MBC的一个法向量为，则，取y12，则，易知平面ECD的一个法向量为，平面MBC与平面ECD所成二面角的余弦值为19已知数列an，a11，an+an+12n+1（nN*）（1）求an的通项公式；（2）数列bn满足bn，Sn为数列bn的前n项和，是否存在正整数m，k（1mk），使得Sk4Sm2？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由解：（1）将n1代入an+an+12n+1得a2312，由an+an+12n+1，可以得到an+1+an+22n+3，由得：an+2an2，所以数列an的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，当n2k（nN*）时，an
25、a2+2（k1）2kn，当n2k1（nN*）时，ana1+2（k1）2k1n，；（2）由（1）可得：，若，即，整理得：，1mk，解得：，矛盾，不存在m，k满足题意20高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最
26、后掉入编号为1，2，7的球槽内例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下（）如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；（）小红、小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为元，其中|164m|小明改进了高尔顿板（如图2），首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有的概率向左，的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为n元，其中（n4）2.两位同学的
27、高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由解：（）设这个小球掉入5号球槽为事件A掉入5号球槽，需要向右4次向左2次，所以P（A）所以这个小球掉入5号球槽的概率为（）小红的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，4，8，12.，04812P一次游戏付出的奖金，则小红的收益为 小明的收益计算如下：每一次游戏中，的可能取值为0，1，4，9，的分布列为：0149P一次游戏付出的奖金，则小明的收益为413，小明的盈利多21已知动点P在x轴及其上方，且点P到点F（0，1）的距离比到x轴的距离大1（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若点Q是直线yx4上任意一点，过
28、点Q作点P的轨迹C的两切线QA、QB，其中A、B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标解：（1）设点P（x，y），则|PF|y|+1，即，化简得x22|y|+2y，y0，x24y点P的轨迹方程为x24y （2）对函数，求导数y设切点，则过该切点的切线的斜率为，切线方程为即，设点Q（t，t4），由于切线经过点Q，即 ，设 ，则x1，x2是方程x22tx+4t160的两个实数根，x1+x22t，x1x24t16，设M为AB中点，点，又，直线AB的方程为，即t（x2）+82y0，（*）当x2，y4时，方程（*）恒成立对任意实数t，直线EF恒过定点（2，4）22已知函数f（x）在x2时取到
29、极大值（1）求实数a、b的值；（2）用minm，n）表示m，n中的最小值，设函数g（x）minf（x），x（x0），若函数h（x）g（x）tx2为增函数，求实数t的取值范围解：（1），f（x）在x2时取得极大值，解得a1，b0（2）设，当x2时，F（x）0恒成立，F（x）0在（0，+）上恒成立，故yF（x）在（0，+）上单调递减不间断，故由函数零点存在定理及其单调性知，存在唯一的x0（1，2），使得F（x0）0，当x（0，x0）时，F（x）0，当x（x0，+）时，F（x）0，故；由于函数h（x）g（x）tx2为增函数，且曲线yh（x）在（0，+）上连续不间断，h（x）0在（0，x0）和（x0，+）上恒成立xx0时，在（x0，+）上恒成立，即2t在（x0，+）上恒成立，令u（x），x（x0，+），则，当x0x3时，u（x）0，u（x）单调递减，当x3时，u（x）0，u（x）单调递增，所以u（x）minu（3），故2t，即t，当综合、知，t的范围（，
