1、第1页第3讲 导数 第2页考 向 调 研 第3页 一、导数的运算法则 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)C(C为常数)f(x)0 f(x)x(Q*)f(x)x 1 f(x)sinx f(x)cosx f(x)cosx f(x)sinx f(x)ax f(x)axlna(a0)f(x)ex f(x)ex f(x)logax f(x)1xlna(a0，且a1)f(x)lnx f(x)1x 第4页导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)f（x）g（x）f(x)g(x)-f(x)g(x)g（x）2(g(x)0)复
2、合函数的导数 复合函数的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积，设yf(u)，ug(x)，则yf(u)g(x)，其中f(u)与g(x)有意义 第5页导数的几何意义(1)函数yf(x)在点xx0处的导数的几何意义，就是曲线在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率用好这个条件是解决切线问题的关键，不知道切点时要先设切点(2)曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为Kf(x0)的切线，是唯一的一条切线(3)曲线yf(x)过点P(x0，y0)的切线是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条 第6页二、导数与函数的单调性 函数的
3、单调性与导数的关系 在区间（a，b）内f（x）大于零f（x）在（a，b）内单调递增等于零f（x）在（a，b）内为常函数小于零f（x）在（a，b）内单调递减 由函数f(x)在区间a，b内单调递增(或递减)，可得f(x)0(或f(x)0)在该区间恒成立，而不是f(x)0(或0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(3)“极值点”不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1即为极大值点，极大值为f(x1)；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，极小值为f(x2)第8页 求可导函数f(x)的极值的步骤(1)求导函数f(x)；(2)求方
4、程f(x)0的根；(3)检验f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的函数值的符号，如果左正右负，那么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数yf(x)在这个根处取得极小值，可列表完成 第9页 函数的最值 在闭区间a，b上的连续函数yf(x)，在a，b上必有最大值与最小值在区间a，b上的连续函数yf(x)，若有唯一的极值点，则这个极值点就是最值点 第10页 1(2019课标全国)已知曲线yaexxlnx在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()Aae，b1 Bae，b1 Cae1，b1 Dae1，b1 第11页 答案 D 解析 因为yaexlnx1，所以y|x1ae1，所以
5、曲线在点(1，ae)处的切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1，所以ae12，b1，解得ae1，b1.第12页2(2013大纲全国)若函数f(x)x2ax 1x 在(12，)上是增函数，则a的取值范围是()A1，0 B1，)C0，3 D3，)第13页 答案 D 解析 由条件知f(x)2xa 1x2 0在(12，)上恒成立，即a 1x22x在(12，)上恒成立函数y 1x22x在(12，)上为减函数，ymax0，则a的取值范围是()A(2，)B(1，)C(，2)D(，1)第15页答案 C 解析 当a0时，显然f(x)有两个零点，不符合题意 当a0时，f(x)3ax26x，令f(x
6、)0，解得x10，x22a.当a0时，2a 0，所以函数f(x)ax33x21在(，0)与(2a，)上为增函数，在(0，2a)上为减函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x00，则f(0)0，即10，不成立 第16页 当a0时，2a 0，则f(2a)0，即a 8a33 4a210，解得a2或a2，又因为a0，故a的取值范围为(，2)选C.第17页4(2018课标全国)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为()Ay2x Byx Cy2x Dyx 第18页 答案 D 解析 方法一：因为函数yx3(a1)x2ax为奇函数，所以f(x)f(
7、x)，所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以2(a1)x20.因为xR，所以a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.故选D.第19页方法二：因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(1)f(1)0，所以1a1a(1a1a)0，解得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.故选D.方法三：易知f(x)x3(a1)x2axxx2(a1)xa，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)x2(a1)xa为偶函数，所以a10
8、，解得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.故选D.第20页5(2016课标全国15)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)lnx3x，则f(x)1x3，f(1)2，则在点(1，3)处的切线方程为y32(x1)，即y2x1.第21页6(2018课标全国)曲线y(ax1)ex在点(0，1)处的切线的斜率为2，则a_ 答案 3 解析 yaex(ax1)exex(axa1)，据题意e0(a0a1)2，a3.第22页7(2019课标全国)曲线y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_ 答案 y3x 解析 因为y3(2
9、x1)ex3(x2x)ex3(x23x1)ex，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率Ky|x03，所以所求的切线方程为y3x.第23页8(2019江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线ylnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_ 答案(e，1)解析 设A(x0，lnx0)，又y 1x，则曲线ylnx在点A处的切线方程为ylnx0 1x0(xx0)，将(e，1)代入得1lnx0 1x0(ex0)，化简得lnx0 ex0，解得x0e，则点A的坐标是(e，1)第24页 命题规律：纵观近几年的高考试题，主要考查以下几类问题：(1)切线问题；(2)单调性
10、问题；(3)极值与最值问题；(4)恒成立问题；(5)零点问题 第25页 1(2018课标全国)曲线y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为_ 答案 y2x 解析 y2ln(x1)，y2x1.当x0时，y2，曲线y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y02(x0)，即y2x.第26页2(2019天津)已知aR.设函数f(x)x2-2ax+2a，x1，x-alnx，x1.若关于x的不等式f(x)0在R上恒成立，则a的取值范围为()A0，1 B0，2 C0，e D1，e 第27页答案 C 解析 方法一：当a0时，不等式f(x)0恒成立，排除D；当ae时，f(x)x22ex2e，x1，xel
11、nx，x1，当x1时，f(x)x22ex2e的最小值为f(1)10，满足f(x)0；当x1时，由f(x)xelnx可得f(x)1 ex xex，易得f(x)在xe处取得极小值(也是最小值)f(e)0，满足f(x)0恒成立，排除A、B.故选C.第28页方法二：若x1，f(x)x22ax2a(xa)2a22a，当a1时，可得f(x)的最小值为f(a)a22a，令f(a)0，解得0a2，故0a1；当a1时，可得f(x)的最小值为f(1)10，满足条件，所以a0.若x1，由f(x)xalnx可得f(x)1 ax xax，当a1时，f(x)0，则f(x)单调递增，故只需f(1)0，显然成立；当a1时，由
12、f(x)0可得xa，易得f(x)的最小值为f(a)aalna，令f(a)0，解得ae，故1ae，所以ae.综上，a的取值范围是0，e 第29页3(2019浙江)设a，bR，函数f(x)x，x0，13x312（a1）x2ax，x0.若函数yf(x)axb恰有3个零点，则()Aa1，b0 Ba0 Ca1，b1，b0 第30页答案 C 解析 由题意可得，当x0时，f(x)axb 13 x3 12(a1)x2b，令f(x)axb0，则b13x312(a1)x216x22x3(a1)因为对任意的xR，f(x)axb0有3个不同的实数根，所以要使满足条件，则当x0时，b 16 x22x3(a1)必须有2个
13、零点，所以3（a1）20，解得a1.所以b0.故选C.第31页4(2013课标全国)已知函数f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0 B函数f(x)的图象是中心对称图形 C若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(，x0)单调递减 D若x0是f(x)的极小值点，则f(x0)0 第32页答案 C 解析 由三次函数值域为R知f(x)0有解，所以A项正确；因为yx3的图象为中心对称图形，而f(x)x3ax2bxc的图象可以由yx3的图象平移得到，故B项正确；若f(x)有极小值点，则f(x)0有两个不等实数根x1，x2(x10，解得a0或a4.故选A.【答案】A 第4
14、1页 【回顾】求过某一点的切线方程的步骤：设切点，求导并且表示出切点处的斜率；根据点斜式写出切线方程；将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；将切点代入切线方程，得到表达式 第42页(5)(2019石家庄教学质量检测)将函数yex(e为自然对数的底数)的图象绕坐标原点O顺时针旋转角 后第一次与x轴相切，则角 满足的条件是()Aesin cos Bsin ecos Cesin 1 Decos 1【审题】yex的图象绕原点O顺时针转 角第一次与x轴相切，相当于x轴绕原点O逆时针转 角后第一次与yex相切，即应为yex过原点切线的倾斜角 第43页【解析】本题考查导数的几何意义及其应用、函数的图象由题意
15、，设yf(x)ex的图象的切线(过原点O)的斜率为K，设切点坐标为(x0，y0)，则由题意可得，切线的斜率为K ex0 x0，再由导数的几何意义可得Kf(x0)ex0，ex0 x0 ex0，x01，故Ke.再由 的意义可得函数f(x)的图象的切线绕坐标原点O顺时针旋转角 后落在了x轴上，故有tan sincosKe，sinecos.故选B.【答案】B 第44页【结论拓展】(1)曲线yex有两条重要切线，一条过(0，0)点，一条切点为(0，1)，如图：由此得切线推论：exx1(xR)；exex(xR)第45页(2)曲线ylnx有两条重要切线，一条过(0，0)点，一条切点为(1，0)，如图：由此得
16、切线推论：lnxx1；lnx1ex.第46页押题二 单调性与不等式押题方向：(1)求单调区间；(2)解不等式；(3)比较大小；(4)不等式恒成立，求参数 第47页(1)(2019福建厦门质检)函数y12x2lnx的单调递减区间为()A(1，1)B(0，1 C(1，)D(0，2)【审题】先求定义域，再解不等式y0.【解析】由题意知，函数的定义域为(0，)，由yx1x0，得00)，由x9x 0，得00且a13，解得1x恒成立，则实数m的取值范围是()A(e21e1，)B(0，e21e1 C(，e21e1 D(，e21e 第51页【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值根据题意可得x32ex2
17、mxlnxx恒成立，因为x0，所以不等式可化为mlnxx x22ex1恒成立，令g(x)lnxx x22ex1，则g(x)1lnxx22x2e（1lnx）2x2（ex）x2，可得当x(0，e)时，g(x)0，当x(e，)时，g(x)f(x)，且yf(x)2 019为奇函数，则不等式f(x)2 019exf(x)，又因为不等式中含ex，可得exf(x)exf(x)即f(x)exf(x)exf(x)，所以g(x)0，所以g(x)在R上单调递减 第55页 因为yf(x)2 019为奇函数，所以f(0)2 0190，所以f(0)2 019，所以g(0)2 019.因为不等式f(x)2 019ex0等价
18、于g(x)0.故选B.【答案】B 第56页【回顾】(1)(2)导数法求函数单调区间的步骤：确定函数f(x)的定义域；求导数f(x)；第57页解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间(3)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路：由函数在区间a，b上单调递增(或递减)可知f(x)0(或f(x)0)在区间a，b上恒成立 利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题 第58页 对等号单独检验，检验参数的取值能否使f(x)在整个区间恒等于0，若f(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别处有f(x)0，则参数可取此值(4)利用
19、导数比较大小或解不等式的常见技巧：利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式 第59页押题三 极值、最值与零点问题押题方向：1求极值、最值；2.逆求参数；3.零点问题；4.确定函数图象 第60页(1)设函数f(x)xex1，则()Ax1为f(x)的极大值点 Bx1为f(x)的极小值点 Cx1为f(x)的极大值点 Dx1为f(x)的极小值点 第61页 【解析】由题意，得f(x)(x1)ex，令f(x)0，得x1，当x(，1)时，f(x)0，则f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以x1为f(x)的极小
20、值点故选D.【答案】D 第62页(2)函数f(x)2x39x22在4，2上的最大值和最小值分别是()A25，2 B50，14 C50，2 D50，14 第63页【解析】f(x)2x39x22，f(x)6x218x.令f(x)0，得x3或x0.即f(x)在4，3)，(0，2上单调递增，在3，0上单调递减又f(4)14，f(3)25，f(0)2，f(2)50，函数f(x)2x39x22在4，2上的最大值和最小值分别为50，2.故选C.【答案】C 第64页(3)已知函数f(x)x36bx3b在(0，1)上有极小值，则实数b的取值范围是()A(，0)B(0，12)C(12，)D(0，1)第65页【解析
21、】函数f(x)x36bx3b的导数为f(x)3x26b.因为函数f(x)x36bx3b在(0，1)上有极小值，所以f(x)3x26b在(0，1)上有零点，则f(0)0，即6b0，所以0bx2.解方程可得，x123，x22 3，所以x2x12 3.【答案】2 3 第68页(5)已知定义域为R的奇函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，f(1x)f(1x)，f(1)a，且当0 x1时，f(x)的导函数f(x)f(x)，则f(x)的区间2 017，2 018上的最小值为()Aa B0 Ca D2 016 第69页【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)又因为f(1x)f(1x)，所以f(x
22、2)f(x1)1)f(x)f(x)，即f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以求f(x)在区间2 017，2 018上的最小值即为求f(x)在区间1，2上的最小值当0 x1时，设F(x)f（x）ex，则F(x)f（x）f（x）ex0，所以函数F(x)在(0，1)上为减函 第70页 数，所以f（x）exf（0）e00，所以f(x)0，所以f(x)f(x)0 x1g(x)在(0，1)单调递减，在(1，)单调递增 有唯一零点，ag(1)213f(x)2x33x21.求导可知在1，1上，f(x)minf(1)4，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(
23、x)max3.【答案】3 第73页(7)(2019江西八所重点中学4月联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2 xlnxln2，则函数g(x)f(x)sinx的零点个数为()A1 B2 C3 D5 第74页【审题】函数yf(x)与ysinx的图象的交点个数即是函数g(x)f(x)sinx的零点个数【解析】函数g(x)f(x)sinx的零点个数即为函数f(x)的图象与ysinx的图象的交点个数当x0时，f(x)2 xlnxln2，则f(x)2 1x2x x，令f(x)0，得x2.易知当0 x2 时，f(x)2 时，f(x)0.第75页 则f(x)在(0，2)上单调递减，在(
24、2，)上单调递增，所以当x2 时，f(x)取得极小值，且极小值为f(2)1.函数ysinx在x 2 处取得最大值1，所以当x0时，f(x)的图象与ysinx的图象的交点有且只有一个，为点(2，1)第76页 由f(x)和ysinx均为奇函数，可得当x0时，f(x)的图象与ysinx的图象的交点也有且只有一个，为点(2，1)又两函数的图象均过原点，所以函数f(x)的图象与ysinx的图象的交点个数是3，即函数g(x)f(x)sinx的零点个数是3.故选C.【答案】C 第77页【讲评】(1)求函数f(x)的零点个数，若直接画出函数f(x)的图象较困难时，可将函数f(x)拆成两个图象易得的函数h(x)
25、和t(x)的差，根据f(x)0h(x)t(x)，可得函数f(x)的零点个数即函数yh(x)和yt(x)的图象的交点个数(2)涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象的交点个数问题时，一般先通过导数研究函数的单调性、最值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程的根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，最后通过数形结合的思想找到解题的思路 第78页【回顾】(1)由导函数图象判断函数yf(x)的极值，要抓住两点：由yf(x)的图象与x轴的交点，可得函数yf(x)的可能极值点；由yf(x)的图象可以看出yf(x)的函数值的正负，从而可得到函数yf(x)的单调性两点可得极值点(2)利用导数研究函数极值问题的一般流程：求定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0；检验根左右f(x)的符号；确定极值 第79页(3)求函数极值时，不要误把导数为0的点作为极值点 对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件(4)第80页(5)利用导数研究方程根(函数零点)的技巧：研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等；根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置；利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现 请做：小题专练作业（九）