1、8.6抛物线组基础题组1.(2014安徽,3,5分)抛物线y=x2的准线方程是()A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-22.(2015浙江杭州六中期末)已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是()A.B.C.2D.-13.(2014课标,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A.B.C.D.4.(2015浙江嘉兴桐乡第一中学调研卷一,9,5分)抛物线y2=x的焦点为F,点P(x,y)为该抛物线上的动点,点A,则的最小值是()A.B.C.D.5.(20
2、14四川,10,5分)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,=2(其中O为坐标原点),则ABO与AFO面积之和的最小值是()A.2B.3C.D.6.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.7.(2015浙江名校(镇海中学)交流卷一,14)过抛物线y2=2x的焦点的直线与该抛物线交于A,B两点,且|AB|=4,则AB的中点的横坐标是.8.(2015浙江模拟训练冲刺卷一,11)已知点F为抛物线x2=4y的焦点,O为坐标原点,点M是抛物线准线上一动点,A在抛物线上,且|AF|=2,则|OA|=;|MA|+
3、|MO|的最小值是.9.(2015浙江新高考研究卷四(舟山中学),11)已知抛物线C:y2=2px(p0),抛物线C上横坐标为的点到焦点的距离为3.(1)p=;(2)点M在抛物线C上运动,点N在直线x-y+5=0上运动,则|MN|的最小值等于.10.(2016超级中学原创预测卷七,11,6分)已知正六边形ABCDEF的边长是2,抛物线y2=2px(p0)恰好经过该正六边形的四个顶点,过抛物线的焦点Q的直线交抛物线于M,N两点.若焦点Q是弦MN靠近点N的三等分点,则该抛物线的标准方程是,直线MN的斜率k等于.11.(2015浙江冲刺卷一,14,4分)已知直线x=my+2与抛物线y2=8x交于A,
4、B两点,点C(-1,0),若ACB=90,则m=.12.(2015浙江名校(绍兴一中)交流卷五,14)已知M(a,4)为抛物线y2=2px(p0)上一点,F为抛物线的焦点,N为y轴上的动点,当sinMNF的值最大时,MNF的面积为5,则p的值为.13.(2015浙江七校联考,18)已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.15.(2013浙江,
5、22,14分)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).(1)求抛物线C的方程;(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.16.(2015浙江模拟训练冲刺卷一,19)已知抛物线C1:x2=4y的焦点为F,过点F且斜率不为零的直线l与抛物线C1相交于不同的两点A,C,并与曲线C2:x2=-4(y-2)相交于不同的两点B,D,其中A,B两点在y轴右侧.(1)求A,B两点的横坐标之积;(2)记直线OA,OB,OC,OD的斜率分别为k1,k2,k3,k4,是否存在常数,使得k1+k3=(k2+k4)?若存在,求出的值
6、;若不存在,请说明理由.B组提升题组1.(2015陕西,3,5分)已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)2.(2014课标,10,5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=()A.1B.2C.4D.83.(2015宁波高考模拟考试,5,5分)已知F是抛物线y2=4x的焦点,A,B是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=12,则线段AB的中点到y轴的距离为()A.4B.5C.6D.114.(2015河南焦作期中,11)已知点P在抛物线y2=4x上,
7、点M在圆(x-3)2+(y-1)2=1上,点N的坐标为(1,0),则|PM|+|PN|的最小值为()A.5B.4C.3D.+15.(2014课标,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,则|AB|=()A.B.6C.12D.76.已知点P为抛物线y2=2px(p0)上一点,F为抛物线的焦点,直线l过点P且与x轴平行,若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴相切于点Q,则()A.Q点位于原点的左侧B.Q点与原点重合C.Q点位于原点的右侧D.以上均有可能7.(2015四川,10,5分)设直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,
8、与圆(x-5)2+y2=r2(r0)相切于点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)8.(2015稽阳联考,13,6分)过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B,若|AF|=3|BF|,则l的斜率是.9.(2015浙江六校联考,13,4分)已知F为抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,过F作斜率为1的直线交抛物线C于A、B两点,设|FA|FB|,则=.10.(2015杭州二中高三仿真考,13,4分)已知点A在抛物线C:y2=2px(p0)的准线上,点M,N在抛物线C上,且位于x轴的两侧,O是坐
9、标原点,若=3,则点A到动直线MN的最大距离为.11.(2015嘉兴教学测试二,14,4分)抛物线y2=4x的焦点为F,过点(0,3)的直线与抛物线交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点D,若|AF|+|BF|=6,则点D的横坐标为.12.(2016超级中学原创预测卷五,14,6分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,则点F的坐标为,若A,B是抛物线上横坐标不相等的两点,且线段AB的垂直平分线与x轴的交点为M(4,0),则|AB|的最大值为.13.(2015稽阳联考文,19,15分)点P是在平面坐标系中不在x轴上的一个动点,满足:过点P可作抛物线x2=y的两条切线,切点分别为A,B.(1)
10、设点A(x1,y1),求证:切线PA的方程为y=2x1x-;(2)若直线AB交y轴于R,OPAB于点Q,求证:R是定点并求的最小值.14.(2015浙江五校二联文,19,15分)已知抛物线y2=2x上有四点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4),点M(3,0),直线AB、CD都过点M,且都不垂直于x轴,直线PQ过点M且垂直于x轴,交AC于点P,交BD于点Q.(1)求y1y2的值;(2)求证:MP=MQ.15.(2015浙江冲刺卷一,22)已知点M(0,-1),抛物线E:x2=4y,过点N(-4,1)的直线l交抛物线E于A,B两点,点A在第一象限.(1)若直线MA
11、与抛物线相切,求直线MA的方程;(2)若直线MA交抛物线E于另一点C,问直线BC是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.16.(2014浙江,22,14分)已知ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3.(1)若|=3,求点M的坐标;(2)求ABP面积的最大值.组基础题组1.A由y=x2得x2=4y,焦点在y轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=-=-1.故选A.2.D由题意知,抛物线的焦点为F(1,0),设点P到直线l的距离为d,由抛物线的定义可知,点P到y轴的距离为|PF|-1,所以点P到直线l的距离与到y轴的距
12、离之和为d+|PF|-1,易知d+|PF|的最小值为点F到直线l的距离,故d+|PF|的最小值为=,所以d+|PF|-1的最小值为-1.3.D易知直线AB的方程为y=,与y2=3x联立并消去x得4y2-12y-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=3,y1y2=-.SOAB=|OF|y1-y2|=.故选D.4.C点A是抛物线的准线与x轴的交点,过P作抛物线准线的垂线,记垂足为B,则由抛物线的定义可得=sinPAB,当PAB最小时,的值最小,此时,直线PA与抛物线相切,可求得直线PA的斜率k=1,所以PAB=45,的最小值为,故选C.5.B依题意不妨设A(x1,),B(x2
13、,-),=2x1x2-=2=2或=-1(舍去).当x1=x2时,有x1=x2=2,则SABO+SAFO=2+=;当x1x2时,直线AB的方程为y-=(x-x1),则直线AB与x轴的交点坐标为(2,0).于是SABO+SAFO=2(+)+=+2=3当且仅当=时取“=”,而3.故选B.6.答案2解析抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-(p0),故直线x=-过双曲线x2-y2=1的左焦点(-,0),从而-=-,得p=2.7.答案解析由已知得AB为抛物线的焦点弦,则|AB|=xA+xB+1=4,xA+xB=3,故AB的中点的横坐标是.8.答案;解析易知F(0,1).设A(x,y),由|AF|=
14、2,得y+1=2,y=1,代入x2=4y得x=2,所以A(2,1),则|OA|=.设B(0,-2),因点M在抛物线准线上,则|MO|=|MB|,从而|MA|+|MO|的最小值就是|MA|+|MB|的最小值.因A,B为定点,则|MA|+|MB|的最小值即为|AB|=,故|MA|+|MO|的最小值是.9.答案(1)1(2)解析(1)依题意得+=3,解得p=1.(2)设M(x,y),则y2=2x.则|MN|的最小值等于点M到直线x-y+5=0的距离d的最小值.而d=,则当y=1时,dmin=,故|MN|的最小值等于.10.答案y2=x;2解析如图所示,根据对称性,可设正六边形ABCDEF的顶点A,B
15、,C,F在抛物线y2=2px(p0)上,A(x1,1),F(x2,2),则即x2=4x1,又|AF|=2,即(x1-x2)2=(x1-4x1)2=3,所以=,x1=,则p=,则抛物线的方程是y2=x,则Q,设直线MN的方程为x=my+.将直线MN的方程与抛物线的方程联立,消去x得y2-my-=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),所以y3+y4=m,y3y4=-,因为焦点Q是弦MN靠近点N的三等分点,所以=2,所以y3=-2y4,联立消去y3,y4,得m=,所以直线MN的斜率k=2.11.答案解析设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得消去x得y2-8my-16=0,则有y1+y2=8
16、m,y1y2=-16.由ACB=90,知=0,即有(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,则有(my1+3)(my2+3)+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+3m(y1+y2)+9=0,则-16(m2+1)+24m2+9=0,解得m=.12.答案2或8解析设N(0,n),当sinMNF的值最大时,有MNF=,从而有=0,得ap+n2-4n=0.又2ap=16,所以n2-4n+4=0,所以n=2,所以N的坐标为(0,2)时,sinMNF的值最大.过M作MMy轴,垂足为M,则梯形OFMM的面积为10,10=4,又ap=8,得p=2或8.13.解析(1)直线AB的方程是y=2,由消去y得4x2-
17、5px+p2=0,所以x1+x2=.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4,4x2-5px+p2=0可得x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).设=(x3,y3)=(1,-2)+(4,4)=(4+1,4-2),由=8x3,得2(2-1)2=8(4+1),即(2-1)2=4+1,解得=0或=2.14.解析(1)由抛物线的定义得|AF|=2+.因为|AF|=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证法一:因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m
18、=2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以kGA=,kGB=-,所以kGA+kGB=0,从而AGF=BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.证法二:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而
19、B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r=.又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d=r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.15.解析(1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.由消去y,整理得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.由解得点M的横坐标xM=.同理,点N的横坐标xN=.所以|MN|=|xM-xN|=8=.令4k-3=t,t0,则k=.当t0时
20、,|MN|=22.当t0,x20.又易知F(0,1),则由A,B,F三点共线得=,即x2=x1,得(x1+x2)x1x2=4(x1+x2),x10,x20,x1+x20,x1x2=4,故A,B两点的横坐标之积为4.(2)存在.显然直线l的斜率存在,且不为零,故可设直线l的方程为y=kx+1(k0).由得x2-4kx-4=0.设C(x3,y3),则有x1+x3=4k,且x1x3=-4.则k1+k3=+=+=+=k.由得x2+4kx-4=0.设D(x4,y4),则有x2+x4=-4k,且x2x4=-4.则k2+k4=+=+=+-=+k=+k=3k,k0,k1+k3=(k2+k4).故存在常数=,使
21、得k1+k3=(k2+k4).B组提升题组1.B抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-,由题设知-=-1,即=1,所以焦点坐标为(1,0).故选B.2.A由y2=x得2p=1,即p=,因此焦点F,准线方程为l:x=-,设A点到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x0+=x0,解得x0=1,故选A.3.B记A,B在抛物线准线x=-1的投影分别为A,B,故|AA|+|BB|=|AF|+|BF|=12,由中位线定理可得所求距离d=-1=5,故选B.4.C因为抛物线y2=4x的焦点为N(1,0),所以|PM|+|PN|的最小值等于点M到抛物线的准线x=-1的距离的最小值.而点M在
22、圆(x-3)2+(y-1)2=1上,则点M到准线x=-1的距离的最小值等于圆心(3,1)到准线的距离减去半径1,即(|PM|+|PN|)min=4-1=3,故选C.5.C焦点F的坐标为,直线AB的斜率为,所以直线AB的方程为y=,即y=x-,代入y2=3x,得x2-x+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,所以|AB|=x1+x2+=+=12,故选C.6.B如图,设直线l,x轴分别与抛物线的准线交于C,D两点,由抛物线的定义知|PC|=|PF|,由圆的切线性质知|PA|=|PB|,于是|AC|=|BF|.又|AC|=|DO|,|BF|=|FQ|,所以|DO|=|FQ|,而
23、|DO|=|FO|,得O,Q两点重合.故选B.7.D显然0r0、k4(y00),即r2.另一方面,由AB的中点为M,知B(6-x1,2y0-y1),(2y0-y1)2=4(6-x1),又=4x1,-2y0y1+2-12=0.=4-4(2-12)0,即12.r2=(3-5)2+=4+16,rxB,解得xA=p,xB=p,所以=3+2.10.答案解析由题意知抛物线的准线方程为x=-=-,解得p=1,所以抛物线的方程为y2=2x.设直线MN的方程为x=ty+m,M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN与x轴的交点为D(m,0),联立直线MN与抛物线的方程,得y2-2ty-2m=0,所以y1y2=
24、-2m.因为=3,所以x1x2+y1y2=3,即(y1y2)2+y1y2-3=0.因为M,N位于x轴的两侧,所以y1y2=-6,所以m=3,则直线MN恒过点D(3,0).当直线MN绕定点D(3,0)旋转时,旋转到ADMN时,点A到动直线MN的距离最大,且为=.11.答案4解析设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y-3=kx(k0),则直线MA的方程为y=x-1,与x2=4y联立消去y,得x1x2-(+4)x+4x1=0,由=-16=0,得=4,而x10,故x1=2,即有A(2,1).则直线MA的方程为y=x-1.(2)显然直线BC的斜率存在,设直线BC的方程为y=kx+n,与
25、x2=4y联立消去y,得x2-4kx-4n=0.设B(x2,y2),C(x3,y3),则有x2+x3=4k,x2x3=-4n.由(1)知x1,x3是方程x1x2-(+4)x+4x1=0的两根,且x12.则有x1x3=4,即x1=,从而y1=.因为N,A,B三点共线,所以=+,即有-1=+x2+,化简得x2+x3+x2x3+4=0,即有4k-4n+4=0,得n=k+1.从而直线BC的方程为y=kx+k+1=k(x+1)+1,故直线BC过定点,且定点坐标为(-1,1).16.解析(1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,所以P(2,2)或P(-2,2).由=3,分别得M或M.(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).由得x2-4kx-4m=0,于是=16k2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以由=4y0得k2=-m+.由0,k20,得-f,所以,当m=时,f(m)取到最大值,此时k=.所以,ABP面积的最大值为.
