1、河北省五校 2020-2021 学年高二下学期数学期末联考试卷一、单选题（共 8 题；共 40 分）1.已知集合 ，则 中的元素个数为（）A.2B.3C.4D.52.设向量 ，则“”是“”成立的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设 是 边 上的任意一点，为 上靠近 的三等分点，若 ，则 （）A.B.C.D.14.已知函数 ，则不等式 的解集为（）A.B.C.D.5.随着 2022 年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长.下面是 2014 年至 2020 年中国雪场滑
2、雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是（）2015 年至 2020 年，中国雪场滑雪人次逐年减少；2015 年至 2017 年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加；2020 年与 2015 年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等；2020 年与 2018 年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为 30.5%A.B.C.D.6.已知定义在 上的偶函数 在 上单调递减，则（）A.B.C.D.7.面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力的技术手段，中国疫苗的上市为全球战胜疫情注入信心.各地通过多种有效措施加快推进新冠病毒疫苗接种，目前接种能力显著
3、提升.同时根据任务需要，针对市民关心的问题，某市需要在每个接种点安排专职负责健康状况询问与接种禁忌核查的医师.经协商，现安排甲、乙、丙等 5 位医师前往 、四个接种点进行答疑解惑，每位医师去一个接种点，每个接种点至少安排一名医师，其中，甲必须去 地，乙与丙需要安排到不同的接种点，则不同的安排方法共（）A.120 种B.54 种C.336 种D.80 种8.已知双曲线 的上下焦点分别为 ，过点 且垂直于 轴的直线与该双曲线的上支交于 ，两点，分别交 轴于 ，两点，若 的周长为 12，则 取得最大值时，双曲线 的渐近线方程为（）A.B.C.D.二、多选题（共 4 题；共 20 分）9.已知各项均为
4、正数的等比数列 ，是数列 的前 项和，若 ，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.10.已知 ，则（）A.B.C.D.11.（多选题）在如图所示的几何体中，底面 是边长为 2 的正方形，均与底面 垂直，且 ，点 ，分别为线段 ，的中点，则下列说法正确的是（）A.直线 与平面 平行B.三棱锥 的外接球的表面积是 C.点 到平面 AEF 的距离为 D.若点 在线段 上运动，则异面直线 和 所成角的取值范围是 12.已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时，若方程 有两个不同的实数根，则实数 可以是（）A.B.C.D.三、填空题（共 4 题；共 20 分）13.已知 是虚数单位，复数 满足 ，则复数
5、的共轭复数在复平面内对应的点位于第_象限.14.已知圆 的圆心 ，其中 ，圆 与 轴相切且半径为 1，直线 过 点且倾斜角为 45，直线 与圆 交于 两点，则 的面积为_.15.已知 为常数，函数 的最大值为 ，则 的值为_.16.设 为坐标原点，抛物线 焦点坐标为_，过 的直线与抛物线的第一象限的交点为 ，若点 满足 ，求直线 斜率的最小值_.四、解答题（共 6 题；共 70 分）17.的内角 所对的边分别为 ，且满足 .（1）求 ；（2）若 ，且向量 与 垂直，求 的面积.18.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，是 与 的等比中项.（1）求数列 的通项公式；（2）从 ，这两个条件中任选一
6、个补充在下列问题中，并解答:数列 满足，其前 项和为 ，求 .19.九个人围成一圈传球，每人可传给圈中任何人（自己出外），现在由甲发球.（1）求经过 3 次传球，球回到甲的手里的概率；（2）求经过 次传球，球回到甲手里的概率 .20.为等腰直角三角形，分别为边 的中点，将三角形 沿 折起，使 到达 点，且 ，为 中点.（1）求证：平面 .（2）求二面角 的余弦值.21.已知椭圆 过点 ，为椭圆的左右顶点，且直线 ，的斜率的乘积为 .（1）求椭圆 的方程；（2）过左焦点 F 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，交直线 于点 ，求 的最小值.22.已知函数 ，.（1）求函
7、数 的单调区间；（2）存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.答案解析部分一、单选题（共 8 题；共 40 分）1.已知集合 ，则 中的元素个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】B 【考点】交集及其运算【解析】【解答】中的元素必满足 ，且 ，中的元素必在这七个元素中 ，为 中的元素，故答案为：B.【分析】根据集合的元素特征可得 中的元素必在这七个元素中 ，即可得出答案。2.设向量 ，则“”是“”成立的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】【解答】若 ，所以 ，所以 ，所以 或 ，即 或
8、，所以“”不能推出“”，但“”可以推出“”，故“”是“”成立的必要而不充分条件，故答案为：B.【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合二倍角公式，同角三角函数间的关系进行判断即可。3.设 是 边 上的任意一点，为 上靠近 的三等分点，若 ，则 （）A.B.C.D.1【答案】B 【考点】向量的线性运算性质及几何意义【解析】【解答】由题得 ，又 所以 ,因为 三点共线，所以 ，故答案为：B【分析】首先利用向量共线的充要条件求出 ，进一步利用向量的线性运算求出结果，可得答案。4.已知函数 ，则不等式 的解集为（）A.B.C.D.【答案】D 【考点】分段函数的应用【解析】【解答】当 时，所以 ，所以
9、 ，解得 ，所以解集为 ，当 时，所以 ，所以 ，解得 ，所以解集为 ，又 ，所以不等式解集为 ，故答案为：D.【分析】通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式，解出，即可得出答案。5.随着 2022 年北京冬奥会临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，将引领户外用品行业市场增长.下面是 2014 年至 2020 年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图，则下面结论中正确的是（）2015 年至 2020 年，中国雪场滑雪人次逐年减少；2015 年至 2017 年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加；2020 年与 2015 年相比，中国雪场滑
10、雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数也近似相等；2020 年与 2018 年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为 30.5%A.B.C.D.【答案】A 【考点】频率分布直方图【解析】【解答】由 2014 年至 2020 年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率的统计图可知：对于，由条状图可知，2015 年至 2020 年，中国雪场滑雪人次逐年增加，故错误；对于，2015 年至 2017 年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，故正确；对于，2020 年与 2015 年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，但是同比增长人数不相等，2020 年比 2015 年增长人数多，故错误；对于
11、，2020 年与 2018 年相比，中国雪场滑雪人次增长率约为 -，故正确故答案为：A【分析】根据条状图的信息逐项进行分析可得答案。6.已知定义在 上的偶函数 在 上单调递减，则（）A.B.C.D.【答案】D 【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】【解答】解：因为定义在 上的偶函数 在 上单调递减，所以 在 上单调递增，因为 在 上为增函数，且 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，因为 在 上单调递增，所以 ，即 ，故答案为：D【分析】由于偶函数 在 上单调递减，可得 在 上单调递增，而 ，进行比较可得答案。7.面对全球蔓延的疫情，疫苗是控制传染的最有力的技术手段，中国疫苗的上市为全球战胜疫情注入
12、信心.各地通过多种有效措施加快推进新冠病毒疫苗接种，目前接种能力显著提升.同时根据任务需要，针对市民关心的问题，某市需要在每个接种点安排专职负责健康状况询问与接种禁忌核查的医师.经协商，现安排甲、乙、丙等 5 位医师前往 、四个接种点进行答疑解惑，每位医师去一个接种点，每个接种点至少安排一名医师，其中，甲必须去 地，乙与丙需要安排到不同的接种点，则不同的安排方法共（）A.120 种B.54 种C.336 种D.80 种【答案】B 【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】【解答】由题意，5 位医师前往 、四个接种点进行答疑解惑，则其中一个接种点有 2 人，其他的接种点各 1 人，若 地有 2 人
13、，则不同的派法共有 种；若 地只派 1 人，则只能是甲，则剩余的 4 人分成 3 组，其中乙与丙需要安排到不同的接种点，共有 种，所以不同的派法有 种，所以不同的安排方法共有 种.故答案为：B.【分析】由题意，5 位医师前往 A、B、C、D 四个接种点进行答疑解惑，则其中一个接种点有 2 人，其他的接种点各 1 人，再根据分布计数原理可得答案。8.已知双曲线 的上下焦点分别为 ，过点 且垂直于 轴的直线与该双曲线的上支交于 ，两点，分别交 轴于 ，两点，若 的周长为 12，则 取得最大值时，双曲线 的渐近线方程为（）A.B.C.D.【答案】C 【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质【解析】【解
14、答】由题意，得 ，且 分别为 的中点,由双曲线定义，知 ，联立，得 因为 的周长为 12，所以 的周长为 24，即 ，亦即 ，所以 令 ，则 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以当 时，取得最大值，此时 ，所以渐近线为 ，即 .故答案为：C【分析】由题意，结合中位线定理可得 的周长为 24，利用双曲线的定义可得 ，进而转化，利用导数求单调性和最值，即可得出渐近线方程。二、多选题（共 4 题；共 20 分）9.已知各项均为正数的等比数列 ，是数列 的前 项和，若 ，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.【答案】A,C,D 【考点】对数的运算性质，等比数列的前 n 项和【解析】【解答】解：
15、设等比数列 的公比为 ，因为 ，所以 ，解得 或 （舍去），所以 ，A 符合题意，B 不符合题意；，C 符合题意；当 时，故 ，D 符合题意.故答案为：ACD【分析】设等比数列 的公比为 ，根据 ，即可计算出 q 值，从而得到通项公式与前 n 项和公式即可对选项进行逐一判断，可得答案。10.已知 ，则（）A.B.C.D.【答案】A,C 【考点】二项式定理【解析】【解答】令 ，可得 ，A 符合题意；的展开式通项为 ，则 ，B 不符合题意；令 ，可得 ，又 ，则 ，C 符合题意；令 ，可得 ，又 ，两式相减可得 ，D 不符合题意.故答案为：AC.【分析】令 ，可求得 ，即可判断选项 A；利用二项展
16、开式的通项可求得 a4,即可判断选项B；令 ，结合选项 A 即可求解 ，从而判断选项 C;令 ，结合选项 C,即可求解 ，从而判断选项 D.11.（多选题）在如图所示的几何体中，底面 是边长为 2 的正方形，均与底面 垂直，且 ，点 ，分别为线段 ，的中点，则下列说法正确的是（）A.直线 与平面 平行B.三棱锥 的外接球的表面积是 C.点 到平面 AEF 的距离为 D.若点 在线段 上运动，则异面直线 和 所成角的取值范围是 【答案】A,C 【考点】球的体积和表面积，异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，点、线、面间的距离计算【解析】【解答】解：对于 A：连接 ，依题意可知 ，即 四点共
17、面，因为 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 ，因为 平面 ，平面 ，所以 平面 ，即直线 与平面 平行，A符合题意；对于 B：三棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，所以外接球的直径即为 ，所以 ，所以外接球的表面积为 ，B 不符合题意；如图建立空间直角坐标系，则 ，所以 ，设面 的法向量为 ，所以 ，令 ，则 ，所以 ，所以点 到平面 AEF 的距离 ，C 符合题意；因为点 在线段 上运动，所以异面直线 和 所成角即为 与 所成的角，显然当 在 的端点处时，所成角为 ，当 在 的中点时 ，即所成角为 ，所以 与 所成的角的范围为 ，D 不符合题意；故答案为：AC【分析】由线面平行的判定定理
18、证明 A；棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球，则外接球的直径即为 ，利用勾股定理求出外接球的直径即可判断 B；建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到面的距离，由 ，异面直线 和 所成角即为 与 所成的角，利用特殊位置即可判断 D。12.已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时，若方程 有两个不同的实数根，则实数 可以是（）A.B.C.D.【答案】B,D 【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】【解答】解：因为 ，且当 时，所以当 时，所以 ，当 时，所以 在 上单调递增，当 时，所以 在 上单调递减，因为方程 有两个不同的实数根，所以函数 的图像与直线 有两个不同的交点，作出函数 的大致图像如图
19、所示，当直线 与 的图像相切时，结合图像，设切点为 ，由 ，可得 ，代入 得 ，解得 ，当直线 过 时，当直线 过（1，1）时，所以由图可知实数 的取值范围为 ，故答案为：BD【分析】由 ，求出函数 在 上的解析式，作出函数大致的图像，将方程根的问题转化为函数图像的交点问题，结合函数的图像即可求解 a 的取值范围，再结合选项可得答案。三、填空题（共 4 题；共 20 分）13.已知 是虚数单位，复数 满足 ，则复数 的共轭复数在复平面内对应的点位于第_象限.【答案】四【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，即 ，所以 ，再复平面内所对应的点的坐标为 位于第四象限
20、，故答案为：四【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出 的共轭复数，得到其坐标即可。14.已知圆 的圆心 ，其中 ，圆 与 轴相切且半径为 1，直线 过 点且倾斜角为 45，直线 与圆 交于 两点，则 的面积为_.【答案】【考点】直线与圆相交的性质【解析】【解答】因为圆 的圆心 ，其中 ，圆 与 轴相切且半径为 1，所以 ，所以圆 的圆心 ，直线 l 的方程为 ，圆心 到直线 l 的距离为 ，所以弦长 ，所以 的面积为 ，故答案为：.【分析】求出直线 l 的方程为 ，圆 的圆心 半径为 1，根据点到直线的距离得 ，直线与圆相交的性质可求出 ，再根据面积公式可得答案。15.已知 为常数，
21、函数 的最大值为 ，则 的值为_.【答案】【考点】三角函数中的恒等变换应用，二倍角的余弦公式【解析】【解答】因为 ，当 时，当 时，此时 或 ，均不满足最大值为 ，所以由上可知：，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，故答案为：.【分析】利用三角函数的关系式的变换，函数的性质的应用求出结果。16.设 为坐标原点，抛物线 焦点坐标为_，过 的直线与抛物线的第一象限的交点为 ，若点 满足 ，求直线 斜率的最小值_.【答案】；【考点】基本不等式，平面向量的综合题【解析】【解答】由 得 ，所以其焦点坐标为 ；设 ，因为 位于第一象限，所以 ，又 ，即 在线段 上，所以 ，则 ，代入 可得 ，则 ，所以直线
22、斜率为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.故答案为：；.【分析】由 得 ，所以其焦点坐标为 ；设 ，因为 位于第一象限，所以 ，又 ，即 在线段 上，得 ，代入 可得 直线 斜率为 ，根据基本不等式可得直线 斜率的最小值。四、解答题（共 6 题；共 70 分）17.的内角 所对的边分别为 ，且满足 .（1）求 ；（2）若 ，且向量 与 垂直，求 的面积.【答案】（1）因为 ，所以 ，整理得：，所以 ，化简得：，所以 ，故 ，由于 ，所以 .（2）向量 与 垂直，可得 ，即 ，由余弦定理可得 ，解得 ，的面积 .【考点】正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）根据已知条件，运用正弦定理可得 ，再结
23、合三角函数的两角差公式即可求解；（2）由向量 与 垂直，以及正弦定理可得 ，再结合余弦定理和三角形面积公式，即可求解。18.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，是 与 的等比中项.（1）求数列 的通项公式；（2）从 ，这两个条件中任选一个补充在下列问题中，并解答:数列 满足，其前 项和为 ，求 .【答案】（1）设等差数列的公差为 ，即 解得 （2）选则 所以 选 【考点】数列的求和，等比数列的性质【解析】【分析】（1）直接利用已知条件建立方程组求出数列的通项公式；（2）选，利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和；选 利用裂项相消法求出数列的和。19.九个人围成一圈传球，每人可传给圈中任何人（自
24、己出外），现在由甲发球.（1）求经过 3 次传球，球回到甲的手里的概率；（2）求经过 次传球，球回到甲手里的概率 .【答案】（1）设经过 次传球，球回到甲手里的概率 ，则易知 ，.（2）分析可知，.【考点】相互独立事件的概率乘法公式，n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率【解析】【分析】（1）设经过 次传球，球回到甲手里的概率 ，分别求出 ，即可求出 P3；（2）通过分析可得，然后构造等比数列，由等比数列的通项公式求解即可。20.为等腰直角三角形，分别为边 的中点，将三角形 沿 折起，使 到达 点，且 ，为 中点.（1）求证：平面 .（2）求二面角 的余弦值.【答案】（1）证明：因为 、分
25、别为 、的中点，所以 ，在图（2）中 ，平面 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以平面 平面 ，又因为 ，所以 平面 ，在直角 中，所以 ，为等边三角形，又因为 为 中点，所以 ，又因为平面 平面 ，平面平 面 ，平面 ，所以 平面 ；（2）取 中点 ，以 为坐标原点，、所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系 .则 ，所以 ，设平面 的法向量为 ，则 得 ，所以 同理平面 的法向量 ，由图可知二面角 的平面角为锐角，所以二面角 的余弦值为 【考点】直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明 DE平面 PBD,从而得到平面 BCED平面 PBD,
26、进而证明 POBD,由面面垂直的性质定理即可证明；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.21.已知椭圆 过点 ，为椭圆的左右顶点，且直线 ，的斜率的乘积为 .（1）求椭圆 的方程；（2）过左焦点 F 的直线 与椭圆 交于 两点，线段 的垂直平分线交直线 于点 ，交直线 于点 ，求 的最小值.【答案】（1）依题意有，解得 ，椭圆的方程为 ；（2）由题意知直线 的斜率不为 0，设其方程为 ，设点 ，联立方程 ，得 得到，由弦长公式 ，又 ，令 ，上式 ，设 ，则 在 上是增函数，所以 取得最小值 .则 的最小值是
27、 .【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)由椭圆 C 过点 ，得 ，直线 ，的斜率的乘积为 ，解得 ，可得椭圆 的方程；(2)由(1)可知 F(1,0)，设其方程为 ，设点 ，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得|MN|,由中点坐标公式可得 ，进而可得|PQ|,再计算 即可得出答案.22.已知函数 ，.（1）求函数 的单调区间；（2）存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.【答案】（1），.当 时，而且 ，所以 ，单调递减；当 时，而且 ，所以 ，单调递增.故 在 上单调递减；在 上单调递增；（2）存在 ，使得 成立，即存在 ，即存在 ，.设 ，则 ，所以 在 上单调递减，在 上递增，所以 也在 上单调递减，在 上递增，结合本题第（1）问，也在 上单调递减，在 上递增，则函数 在 上单调递减，在 上递增，所以 ，所以只需 ，即 .【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为存在 ，使得 成立，设 ，求出函数的导数，根据函数的单调性求出 a 的取值范围即可.
