1、考点突破夯基释疑考点一考点三考点二例 1训练1例 2训练2例 3训练3第 7 讲 抛物线 概要课堂小结考点四例 4训练4结束放映返回目录第2页 夯基释疑判断正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 xa4.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形()(4)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线 x22ay(a0)的通径长为 2a.()结束放映返回目录第3页 考点突破考点一
2、抛物线的定义及应用所以线段 AB 的中点到准线的距离为12(|AD|BE|)3.又抛物线的准线为 x12，所以线段 AB 的中点到 y 轴的距离为52.解析(1)如图，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E，由|AF|BF|6及抛物线的定义知|AD|BE|6，【例1】(1)F是抛物线y22x的焦点，A，B是抛物线上的两点，|AF|BF|6，则线段AB的中点到y轴的距离为_(2)已知点P是抛物线y24x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|4时，|PA|PM|的最小值是_ 利用抛物线的定义结束放映返回目录第4页 考点突破考点一 抛物线的定义及应用最小值为|AF|
3、1 9a21.答案(1)52(2)9a21(2)将x4代入抛物线方程y24x，得y4，|a|4，所以A在抛物线的外部，如图 由题意知F(1，0)，抛物线上点P到准线l：x1的距离为|PN|，由定义知，|PA|PM|PA|PN|1|PA|PF|1.当A，P，F三点共线时，|PA|PF|取最小值，此时|PA|PM|也最小，(2)已知点P是抛物线y24x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是(4，a)，则当|a|4时，|PA|PM|的最小值是_ 结束放映返回目录第5页 考点突破规律方法 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题
4、也有一定的难度“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 考点一 抛物线的定义及应用结束放映返回目录第6页 考点突破答案 A【训练 1】已知点 P 是抛物线 y22x 上的一个动点，则点 P 到点(0，2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为()A 172 B3 C 5D92解析 抛物线 y22x 的焦点为 F12，0，准线是 l，因此所求的最小值等于 122(2)2 172，选 A考点一 抛物线的定义及应用由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0，2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点
5、P到点(0，2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得出相应的最小值就等于焦点F到点(0，2)的距离.结束放映返回目录第7页 考点突破考点二 抛物线的标准方程和几何性质【例 2】(1)已知双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2.若抛物线 C2：x22py(p0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为2，则抛物线 C2 的方程为()Ax28 33 yBx216 33yCx28yDx216y(2)见下一页解析(1)x2a2y2b21 的离心率为 2，ca2，即c2a2a2b2a24，ba 3.x22py 的焦点坐标为0，p2，x2a2y2b21 的渐近线方程为
6、 ybax，即 y 3x.由题意得p21(3)22，p8.故C2的方程为x216y.结束放映返回目录第8页 考点突破考点二 抛物线的标准方程和几何性质【例 2】(2)过抛物线 y24x 的焦点为 F 的直线交抛物线于 A，B两点，O 为坐标原点若|AF|3，则AOB 的面积为_ x12，y12 2，由y24x，x1t y，消去 x 得 y24t y40 y2 2，x212，SAOB121|y1y2|3 22(2)由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)，如图所示，|AF|x113，设AB的方程为x1t y，y1 y24答案(1)D(2)3 22xyCBOFA结束放映返回目录
7、第9页 考点突破规律方法(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题是，需要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、定点、准线的问题更是如此考点二 抛物线的标准方程和几何性质结束放映返回目录第10页 考点突破解析 由点A(2，3)在抛物线C：y22px的准线上，得焦点F(2，0)，【训练 2】(1)已知点 A(2，3)在抛物线 C：y22px 的准线上，记 C 的焦点为 F，则直线 AF 的斜率为()A43B1
8、C34D12(2)见下一页kAF32234，故选 C考点二 抛物线的标准方程和几何性质结束放映返回目录第11页 考点突破(2)由正方形的定义可知BCCD，结合抛物线的定义得点D为抛物线的焦点，【训练 2】(2)(2014湖南卷)如图，正方形 ABCD 和正方形 DEFG的边长分别为 a，b(a0)经过 C，F 两点，则ba_所以|AD|pa，Dp2，0，Fp2b，b，考点二 抛物线的标准方程和几何性质b22pp2b a22ab，变形得 ba22ba 10，解得ba1 2或ba1 2(舍去)，将点F的坐标代入抛物线的方程得所以ba1 2.答案(1)C(2)1 2结束放映返回目录第12页 考点突破
9、考点三 抛物线焦点弦的性质【例 3】设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BCx 轴证明：直线 AC 经过原点 O.证明 法一 由题意可设直线 AB 的方程为 xmyp2，由根与系数的关系，得 yAyBp2，即 yBp2yA.BCx 轴，且 C 在准线 xp2上，代入y22px，得y22pmyp20.直线AC经过原点O.Cp2，yB.则 kOC yBp22pyAyAxAkOA.结束放映返回目录第13页 考点突破【例 3】设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在抛
10、物线的准线上，且 BCx 轴证明：直线 AC 经过原点 O.则|EN|AD|CN|AC|BF|AB|，|NF|BC|AF|AB|.|EN|AD|BF|AB|AF|BC|AB|NF|，法二 如图，记准线l与x轴的交点为E，过A作ADl，垂足为D.则ADEFBC.连接AC交EF于点N，|AF|AD|，|BF|BC|，即N是EF的中点，从而点N与点O重合，故直线AC经过原点O.考点三 抛物线焦点弦的性质结束放映返回目录第14页 考点突破规律方法 本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到yAyBp2这个重要结论还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生
11、对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何题目 考点三 抛物线焦点弦的性质结束放映返回目录第15页 考点突破则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.【训练 3】已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2p24；(2)1|AF|1|BF|为定值(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为p2，0.由题意可设直线方程为 xmyp2，代入 y22px，得 y22p(myp2)，即 y22pmyp20.(*)因为 y212px
12、1，y222px2，所以 y21y224p2x1x2，所以 x1x2y21 y 224p2 p44p2p24.考点三 抛物线焦点弦的性质结束放映返回目录第16页 考点突破(2)1|AF|1|BF|1x1p21x2p2x1x2px1x2p2(x1x2)p24.因为 x1x2p24，x1x2|AB|p，代入上式，得 1|AF|1|BF|AB|p24 p2(|AB|p)p242p(定值)【训练 3】已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2p24；(2)1|AF|1|BF|为定值(3)以 AB
13、为直径的圆与抛物线的准线相切考点三 抛物线焦点弦的性质结束放映返回目录第17页 考点突破则|MN|12(|AC|BD|)12(|AF|BF|)12|AB|.【训练 3】已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2p24；(2)1|AF|1|BF|为定值(3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切考点三 抛物线焦点弦的性质结束放映返回目录第18页 考点
14、突破考点四 直线与抛物线的位置关系【例 4】(2014大纲全国卷)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线 y4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|54|PQ|.(1)求 C 的方程；(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M，N 两点，且 A，M，B，N 四点在同一圆上，求 l 的方程解(1)设 Q(x0，4)，代入 y22px 得 x08p.所以|PQ|8p，|QF|p2x0p28p.由题设得p28p548p，解得p2(舍去)或p2.所以C的方程为y24x.结束放映返回目录第19页 考点突破考点四
15、直线与抛物线的位置关系【例 4】(2014大纲全国卷)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线 y4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|54|PQ|.(1)求 C 的方程；(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M，N 两点，且 A，M，B，N 四点在同一圆上，求 l 的方程|AB|m21|y1y2|4(m21)又 l的斜率为m，所以 l的方程为 x1my2m23.将上式代入 y24x，并整理得 y2 4my4(2m23)0.(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为xmy1(m0).代入y24x
16、得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24.故AB的中点为D(2m21，2m)，结束放映返回目录第20页 考点突破考点四 直线与抛物线的位置关系【例 4】(2014大纲全国卷)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线 y4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|54|PQ|.(1)求 C 的方程；(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M，N 两点，且 A，M，B，N 四点在同一圆上，求 l 的方程设 M(x3，y3)，N(x4，y4)，则 y3y44m，y3y44(
17、2m23)故 MN 的中点为 E2m22m23，2m，|MN|1 1m2|y3y4|4（m21）2m21m2.由于MN垂直平分AB，故 A，M，B，N 四点在同一圆上等价于|AE|BE|12|MN|，结束放映返回目录第21页 考点突破考点四 直线与抛物线的位置关系【例 4】(2014大纲全国卷)已知抛物线 C：y22px(p0)的焦点为 F，直线 y4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|54|PQ|.(1)求 C 的方程；(2)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M，N 两点，且 A，M，B，N 四点在同一圆上，求
18、l 的方程从而14|AB|2|DE|214|MN|2，即 4(m21)22m2m22m2224（m21）2（2m21）m4.化简得m210，解得m1或m1.所求直线l的方程为xy10或xy10.结束放映返回目录第22页 考点突破规律方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法 提醒：涉及弦的中点、
19、斜率时一般用“点差法”求解 考点四 直线与抛物线的位置关系结束放映返回目录第23页 考点突破解(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，【训练 4】已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F(1，0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1.(1)求曲线 C 的方程；(2)是否存在正数 m，对于过点 M(m，0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有FAFB 0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由那么点 P(x，y)满足：（x1）2y2x1(x0)由xtym，y24x得 y24ty4m0，考点四 直线与抛物线的位置关系16(t2m)0，于是y1y24t，y1
20、y24m.化简得y24x(x0)(2)设过点M(m，0)(m0)的直线 l 与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)设 l 的方程为 xtym，结束放映返回目录第24页 考点突破(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y20.【训练 4】已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F(1，0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1.(1)求曲线 C 的方程；(2)是否存在正数 m，对于过点 M(m，0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有FAFB 0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由又FA(x11，y1)，FB(x21，y2)，F
21、AFB 0又 xy24，于是不等式等价于y214y224y1y2y214y224 10考点四 直线与抛物线的位置关系（y1y2）216y1y214（y1y2）22y1y2 10.由式，不等式等价于m26m14t2.对任意实数t，4t2的最小值为0，所以不等式对于一切t成立等价于m26m10，结束放映返回目录第25页 考点突破【训练 4】已知一条曲线 C 在 y 轴右边，C 上每一点到点 F(1，0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1.(1)求曲线 C 的方程；(2)是否存在正数 m，对于过点 M(m，0)且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有FAFB 0？若存在，求出 m 的取
22、值范围；若不存在，请说明理由即 32 2m32 2.都有FAFB 0，且 m 的取值范围是(32 2，32 2).考点四 直线与抛物线的位置关系由此可知，存在正数m，对于过点M(m，0)且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，结束放映返回目录第26页 1抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点M，一个定点F(抛物线的焦点)，一条定直线l(抛物线的准线)，一个定值1(抛物线的离心率)2抛物线的定义中指明了抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的等价性，故二者可相互转化，这一转化在解题中有着重要作用 思想方法课堂小结结束放映返回目录第27页 思想方法课堂小结3抛物线的焦点弦：设过抛物线 y22px
23、(p0)的焦点的直线与抛物线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：(1)y1y2p2，x1x2p24；(2)若直线 AB 的倾斜角为，则|AB|2psin2，|AB|x1x2p；(3)若 F 为抛物线焦点，则有 1|AF|1|BF|2p.结束放映返回目录第28页 1认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2(a0)与y22px(p0)，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0)易错防范课堂小结2直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件；由于抛物线及双曲线问题的特殊性，有时借助数形结合可能会更直观、更方便，当直线与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行时，都只有一个交点，但此时并非相切 结束放映返回目录第29页（见教辅）
