1、提升考能、阶段验收专练卷(三)数列、不等式、推理与证明(时间:80分钟满分:120分).小题提速练(限时35分钟)填空题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1(2016南京师大附中月考)设等差数列an的前n项和为Sn,a2a46,则S5_.解析:由等差中项可得a2a4a1a5,所以S515.答案:152一个由正数组成的等比数列,它的前4项和是前2项和的5倍,则此数列的公比为_解析:由题意知an0,S45S2,显然公比q1,且q0,所以,即q45q240,解得q24或q21(舍去),又q0,所以q2.答案:23观察下列等式11234934567254567891049照此规律,第n个等式为
2、_解析:观察这些等式,第一个等式左边1个数,从1开始;第二个等式左边3个数相加,从2开始;第三个等式左边5个数相加,从3开始;第n个等式左边是2n1个数相加,从n开始等式的右边为左边2n1个数的中间数的平方,故第n个等式为n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.答案:n(n1)(n2)(3n2)(2n1)24(2016苏州测试)若等差数列an前n项和Sn有最大值,且1,则当Sn取最大值时,n的值为_解析:由等差数列的前n项和有最大值,可知d0,再由1,知a110,a120,从而使Sn取最大值的n11.答案:115若关于x的不等式x2ax6a0有解且解的区间长度不超过5个单位长度,则a的取值范
3、围是_解析:由x2ax6a0有解得a224a0,由解的区间长度不超过5个单位长度,得5,由得25a24或0a1.答案:25,24)(0,16已知等差数列an中,有,则在等比数列bn中,会有类似的结论:_.解析:由等比数列的性质可知b1b30b2b29b11b20,.答案:7若正数x,y满足4x29y23xy30,则xy的最大值是_解析:由x0,y0,得4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当2x3y时等号成立),12xy3xy30,即xy2,xy的最大值为2.答案:28(2016南京调研)已知不等式组所表示的平面区域为D,若直线ykx3与平面区域D有公共点,则k的取值范围为_解析:
4、满足约束条件的平面区域如图中阴影部分所示因为直线ykx3过定点(0,3),所以当ykx3过点C(1,0)时,k3;当ykx3过点B(1,0)时,k3,所以k3或k3时,直线ykx3与平面区域D有公共点答案:(,33,)9(2016苏州调研)已知数列an满足an1若a31,则a1的所有可能取值为_解析:当a2为奇数时,a3a241,a25;当a2为偶数时,a3a21,a22;当a1为奇数时,a2a125,a17,或a2a122,a14(舍去);当a1为偶数时,a2a15,a110,或a2a12,a14.综上,a1的可能取值为4,7,10.答案:4,7,1010观察下列各式: 2, 3, 4 ,若
5、 9,则m_.解析:由于2可改写为2; 3可改写为3; 4可改写为4,由此可归纳出: 9中,m9317291728.答案:72811已知函数f(x)(ax1)(xb),如果不等式f(x)0的解集是(1,3),则不等式f(2x)0的解集是_解析:由f(x)0,得ax2(ab1)xb0,又其解集是(1,3),a0,且解得a1或a(舍去),a1,b3,f(x)x22x3,f(2x)4x24x3,由4x24x30,得4x24x30,解得x或x.答案:12(2016洛阳一测)若关于x的不等式ax2|x|2a0的解集为空集,则实数a的取值范围为_解析:当a0时,不等式为|x|0,令t|x|,则原不等式等价
6、于at2t2a0(t0),所以a0的解集为(1,3)时,求实数a,b的值;(2)若对任意实数a,f(2)0,即3x2a(5a)xb0,3x2a(5a)xb0,解得或(2)f(2)0,即122a(5a)b0对任意实数a恒成立,1008(12b)0,b.实数b的取值范围为.15(本小题满分16分)已知数列an的前n项和Sn2n2,bn为等比数列,且a1b1,b2(a2a1)b1.(1)求数列an和bn的通项公式;(2)设cn,求数列cn的前n项和Tn.解:(1) Sn2n2,a12,n2时,anSnSn12n22(n1)24n2,当n1时,上式也成立,an4n2,nN*.b1a1,b2(a2a1)
7、b1,b12,b2,又为等比数列,公比q,bnb1qn12n1.(2)由(1)得cn(2n1)4n1,则Tn140341542(2n3)4n2(2n1)4n1,4Tn141342543(2n3)4n1(2n1)4n.所以3Tn124142434n1(2n1)4n1(2n1)4n.所以Tn.16(本小题满分16分)在数列中,a11,a12a23a3nanan1(nN*)(1)求数列的通项an;(2)若存在nN*,使得an(n1)成立,求实数的最小值解:(1)令bnnan,的前n项和为Sn,则Snbn1,Sn1bn(n2),两式相减得3.又b1a11,在条件式中令n1,2,得a21,a32,b22a22,bnb23n223n2.an(2)an(n1),由(1)可知当n2时,设f(n)(n2,nN*),则f(n1)f(n)(n2),又及,所以所求实数的最小值为.