1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点精准研析考点一利用空间向量证明空间的平行问题1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.相交B.平行C.垂直D.不能确定2.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM平面BDE,则M点的坐标为()A.(1,1,1) B.,1C.,1 D.,13.平面的法向量u=(x,1,-2),平面的法向量v=-1,y,已知,
2、则x+y=_.世纪金榜导学号4.如图,在四面体ABCD中,AD平面BCD,BCCD,AD=2,BD=2,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.世纪金榜导学号证明:PQ平面BCD.【解析】1.选B.分别以C1B1,C1D1,C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.因为A1M=AN=a,所以M,N.所以=.又C1(0,0,0),D1(0,a,0),所以=(0,a,0).所以=0.所以.因为是平面BB1C1C的法向量,且MN平面BB1C1C,所以MN平面BB1C1C.2.选C.建系如图,则A(,0),B(0,0),D(,0,0),E(0,0,1),设M(a,a,
3、1),则=(a-,a-,1),可求出平面BDE的一个法向量n=(1,1,),因为AM平面BDE,所以n=0,可得a=,M的坐标为,1.3.因为,所以vu,所以=,所以所以x+y=.答案:4.方法一:如图,取BD的中点O,以O为原点,OD,OP所在射线分别为y,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知,A(0,2),B(0,-,0),D(0,0).设点C的坐标为(x0,y0,0).因为=3,所以Q.因为M为AD的中点,故M(0,1).又P为BM的中点,故P,所以=.又平面BCD的一个法向量为a=(0,0,1),故a=0.又PQ平面BCD,所以PQ平面BCD.方法二:在线段CD上取点F
4、,使得DF=3FC,连接OF,同方法一建立空间直角坐标系,写出点A,B,D的坐标,设点C坐标为(x0,y0,0).因为=,设点F的坐标为(x,y,0),则(x-x0,y-y0,0)=(-x0,-y0,0),所以所以=,又由方法一知=,所以=,所以PQOF.又PQ平面BCD,OF平面BCD,所以PQ平面BCD.1.证明线面平行的常用方法:(1)证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面.(2)证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行.(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.2.证明面面平行常用的方法:(1)利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面.(2)证明两个平面的法
5、向量平行.(3)证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量.秒杀绝招结合线面平行的性质定理解T2:设AC与BD相交于O点,连接OE,因为AM平面BDE,且AM平面ACEF,平面ACEF平面BDE=OE,所以AMEO,又O是正方形ABCD对角线的交点,所以M为线段EF的中点.在空间直角坐标系中,E(0,0,1),F(,1).由中点坐标公式,知点M的坐标为,1.考点二利用空间向量证明空间的垂直问题命题精解读考什么:(1)考查利用空间向量证明线面、面面垂直问题.(2)考查直观想象与逻辑推理的核心素养.怎么考:与空间图形中与垂直有关的定理结合考查利用空间向量证明空间的垂直问题.新趋势:以柱、锥、台体为
6、载体,与证明空间角综合命题.学霸好方法1.向量法证明线面平行和垂直问题用向量法的关键在于构造向量,再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理.2.交汇问题: 一般先证明线面、面面垂直,再求线面角或二面角.证明线面垂直【典例】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中点.世纪金榜导学号证明:(1)AECD.(2)PD平面ABE.【证明】AB,AD,AP两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系,设PA=AB=BC=1,则P(0,0,1).(1)因为ABC=60,所以ABC为正三角形,所以C,0,E,.设D(0,y,0
7、),由ACCD,得 =0,即y=,则D0,0,所以=-,0.又 =,所以 =-+0=0,所以,即AECD.(2)方法一:因为P(0,0,1),所以=0,-1.又 =0+(-1)=0,所以,即PDAE.因为=(1,0,0),所以 =0.所以PDAB,又ABAE=A,所以PD平面AEB.方法二:=(1,0,0),=,设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z),则令y=2,则z=-,所以n=(0,2,-).因为=0,-1,显然=n.因为n,所以平面ABE,即PD平面ABE.向量法证明线面垂直的常见思路有哪些?提示:(1)将线面垂直的判定定理用向量表示.(2)证明直线的方向向量与平面的法向量共线.证
8、明面面垂直【典例】如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,PC=2,在四边形ABCD中,B=C=90,AB=4,CD=1,点M在PB上,PB=4PM,PB与平面ABCD成30的角.求证:世纪金榜导学号(1)CM平面PAD;(2)平面PAB平面PAD.【证明】以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CD所在直线为y轴,CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.因为PC平面ABCD,所以PBC为PB与平面ABCD所成的角,所以PBC=30,因为PC=2,所以BC=2,PB=4,所以D(0,1,0),B(2,0,0),A(2,4,0),P(0,0,2),M,所以=(0,-1,
9、2),=(2,3,0),=.(1)设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,由即令y=2,得n=(-,2,1).因为n=-+20+1=0,所以n.又CM平面PAD,所以CM平面PAD.(2)方法一:由(1)知=(0,4,0),=(2,0,-2),设平面PAB的一个法向量为m=(x0,y0,z0),由即令x0=1,得m=(1,0,),又因为平面PAD的一个法向量n=(-,2,1),所以mn=1(-)+02+1=0,所以平面PAB平面PAD.方法二:取AP的中点E,连接BE,则E(,2,1),=(-,2,1).因为PB=AB,所以BEPA.又因为=(-,2,1)(2,3,0)=0,所以.所以B
10、EDA.又PADA=A,所以BE平面PAD.又因为BE平面PAB,所以平面PAB平面PAD.向量法证明面面垂直的常见思路有哪些?提示:(1)利用面面垂直的判定定理,证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量.(2)证明两平面的法向量互相垂直.如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,ABC=BCD=90,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC底面ABCD.证明:(1)PABD;(2)平面PAD平面PAB.【证明】(1)取BC的中点O,连接PO,因为平面PBC底面ABCD,PBC为等边三角形,所以PO底面ABCD.以BC的中点O为坐标原点,以BC所在直线为x轴,过点O与A
11、B平行的直线为y轴,OP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.不妨设CD=1,则AB=BC=2,PO=.所以A(1,-2,0),B(1,0,0),D(-1,-1,0),P(0,0,).所以=(-2,-1,0),=(1,-2,-).因为=(-2)1+(-1)(-2)+0(-)=0,所以,所以PABD.(2)取PA的中点M,连接DM,则M.因为=,=(1,0,-),所以=1+00+(-)=0,所以,即DMPB.因为=1+0(-2)+(-)=0,所以,即DMPA.又因为PAPB=P,所以DM平面PAB.因为DM平面PAD,所以平面PAD平面PAB.1.如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的
12、所有棱长都为2,D为CC1的中点.求证:AB1平面A1BD.【证明】方法一:设平面A1BD内的任意一条直线的方向向量为m.由共面向量定理,则存在实数,使m=+.令=a,=b,=c,显然它们不共面,并且|a|=|b|=|c|=2,ab=ac=0,bc=2,以它们为空间的一个基底,则=a+c,=a+b,=a-c,m=+=+a+b+c,m=(a-c)+a+b+c=4+-2-4=0,故m,所以AB1平面A1BD.方法二:如图所示,取BC的中点O,连接AO.因为ABC为正三角形,所以AOBC.因为在正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC平面BCC1B1,所以AO平面BCC1B1.取B1C1的中点O1
13、,以O为原点,以,所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,),A(0,0,),B1(1,2,0).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),=(-1,2,),=(-2,1,0).因为n,n,故令x=1,则y=2,z=-,故n=(1,2,-)为平面A1BD的一个法向量,而=(1,2,-),所以=n,所以n,故AB1平面A1BD.2.如图,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形,AD=DE=2AB.求证:平面BCE平面CDE.【证明】设AD=DE=2AB=2a,以A为原点,分别以AC,AB所在直线为x轴,z轴,以过点A垂
14、直于AC的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(2a,0,0),B(0,0,a),D(a,a,0),E(a,a,2a).所以=(a,a,a),=(2a,0,-a),=(-a,a,0),=(0,0,-2a).设平面BCE的法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1=0,n1=0可得即令z1=2,可得n1=(1,-,2).设平面CDE的法向量为n2=(x2,y2,z2),由n2=0,n2=0可得即令y2=1,可得n2=(,1,0).因为n1n2=1+1(-)+20=0.所以n1n2,所以平面BCE平面CDE.考点三利用空间向量解决平行与垂直的探索性问题【典例】如图,在棱
15、长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=(02).世纪金榜导学号(1)当=1时,证明:直线BC1平面EFPQ.(2)是否存在,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【解题导思】序号联想解题(1)由=1,即P,Q为中点,想到FPB且FP=BC1 ,可利用向量共线解决,也可以直接用线面平行的判定定理.(2)由平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,想到若存在,会有平面EFPQ与平面PQMN垂直,求出两平面的法向量,利用向量
16、垂直可求值.【解析】以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,),M(2,1,2),N(1,0,2),=(-2,0,2),=(-1,0,),=(1,1,0),=(-1,-1,0),=(-1,0,-2).(1)当=1时,=(-1,0,1),因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直线BC1平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(,-,1).同理可得平面P
17、QMN的一个法向量为m=(-2,2-,1).若存在,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则mn=(-2,2-,1)(,-,1)=0,即(-2)-(2-)+1=0,解得=1.故存在=1,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.对于“是否存在”型问题的探索方式有两种:一种是根据条件作出判断,再进一步论证;另一种是利用空间向量,先设出假设存在点的坐标,再根据条件求该点的坐标,即找到“存在点”,若该点坐标不能求出,或有矛盾,则判定“不存在”.(2020金华模拟)如图,棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2,ABC和A1AC均为60,平面AA1C1C平面ABCD.(
18、1)求证:BDAA1;(2)在直线CC1上是否存在点P,使BP平面DA1C1,若存在,求出点P的位置,若不存在,请说明理由.【解析】(1)设BD与AC交于点O,则BDAC,连接A1O,在AA1O中,AA1=2,AO=1,A1AO=60,所以A1O2=A+AO2-2AA1AOcos 60=3,所以AO2+A1O2=A,所以A1OAO.由于平面AA1C1C平面ABCD,且平面AA1C1C平面ABCD=AC,A1O平面AA1C1C,所以A1O平面ABCD.以OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),D(-,0,0),A1(0,0,),C1(0,2,).由于=(-2,0,0),=(0,1,),所以=0(-2)+10+0=0,所以,即BDAA1.(2)假设在直线CC1上存在点P,使BP平面DA1C1,设=,P(x,y,z),则(x,y-1,z)=(0,1,).从而有P(0,1+,),=(-,1+,).设n3平面DA1C1,则又=(0,2,0),=(,0,),设n3=(x3,y3,z3),则取n3=(1,0,-1),因为BP平面DA1C1,则n3,即n3=-=0,得=-1,即点P在C1C的延长线上,且C1C=CP.关闭Word文档返回原板块
