61如图,已知椭圆,直线的方程为,过右焦点的直线与椭圆交于异于左顶点的两点,直线、交直线分别于点、.()当时,求此时直线的方程; ()试问、两点的纵坐标之积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.【答案】解:()当直线的斜率不存在时,由可知方程为 代入椭圆得又 不满足 当直线的斜率存在时,设方程为 代入椭圆得 设得 - 故直线的方程; 62.已知是圆上的一个动点,过点作两条直线,它们与椭圆都只有一个公共点,且分别交圆于点.()若,求直线的方程;()(i)求证:对于圆上的任一点,都有成立;(ii)求面积的取值范围.【答案】解:()设,代入消去,得 由得, 设的斜率分别为,得. 所以直线的方程分别为 ()(i)证明:当中有一条斜率不存在时,不妨设无斜率, 因为与椭圆只有一个公共点,所以其方程为.当方程为时,此时与圆交于点,所以方程为(或),显然直线垂直; 同理可证方程为时,直线垂直 当斜率都存在时,设点,且. 设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为, 代入消去,得. 由化简整理得, 因为,所以有 设的斜率分别为,因为与椭圆只有一个公共点, 所以满足上述方程,所以,即 垂直. 综上,成立 (ii)方法1:记原点到直线的距离分别为, 则面积 因为,所以. 所以面积的取值范围为 方法:2:记原点到直线的距离分别为,因为,所以面积 满足, 且,所以,即. 所以面积的取值范围为
