1、2016-2017学年江西省抚州市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1如图程序输出的结果是（）A3，4B4，4C3，3D4，32命题：“x00，使210”，这个命题的否定是（）Ax0，使2x10Bx0，使2x10Cx0，使2x10Dx0，使2x103如图所示的流程图，最后输出n的值是（）A3B4C5D64表是某工厂14月份用电量（单位：万度）的一组数据月份x1234用电量y4.5432.5由表可知，用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是0.6x+a，则a等于（）A5.1B4.8C5D5.25由经验得知，在学校食堂某窗口处排
2、队等候打饭的人数及其概率如下：排队人数012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04则至多2个人排队的概率为（）A0.56B0.44C0.26D0.146“0m3”是“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编号为130号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间130，151上的运动员人数是（）A3B4C5D68设函数f（x）=（x0），记f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x），fn+1（x）=ffn（x）
3、则f2017（x）等于（）ABCD9三棱锥SABC中，ASB=ASC=90，BSC=60，SA=SB=SC=2，点G是ABC的重心，则|等于（）A4BCD10下列命题：“若a2b2，则ab”的否命题；“全等三角形面积相等”的逆命题；“若a1，则ax22ax+a+30的解集为R”的逆否命题；“若x（x0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题其中正确的命题是（）ABCD11如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC侧面A1B1BA，且AA1=AB=BC=2，则AC与平面A1BC所成角为（）ABCD12已知F1、F2是双曲线C：=1（a0，b0）的左右焦点，P是双曲线C上一点，且|PF1|+|
4、PF2|=6a，PF1F2的最小内角为30，则双曲线C的离心率e为（）AB2CD 二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13已知平面的法向量是（2，3，1），直线l的方向向量是（4，2），若l，则的值是14命题“x（0，+），x23ax+90”为假命题，则实数a的取值范围为15已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C： +=1（ab0且a，b为常数）上关于y轴对称的两点，P是椭圆上的左顶点，且直线PM，PN的斜率都存在（记为kPM，kPN），则kPMkPN=类比上述性质，可以得到双曲线的一个性质，并根据这个性质得：若M，N是双曲线C：=1（a0，b0）上关于y轴对称的两点，P是双曲线C的
5、左顶点，直线PM，PN的斜率都存在（记为kPM，kPN），双曲线的离心率e=，则kPMkPN等于16已知ABC是一个面积较大的三角形，点P是ABC所在平面内一点且+2=，现将3000粒黄豆随机抛在ABC内，则落在PBC内的黄豆数大约是三、解答题（本题共70分）17设命题p：mx|x2+（a8）x8a0，命题q：方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线（1）若当a=1时，命题pq假命题，pq”为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围18调查某车间20名工人的年龄，第i名工人的年龄为ai，具体数据见表：i12345678910111213141516171
6、81920ai2928301931283028323130312929313240303230（1）作出这20名工人年龄的茎叶图；（2）求这20名工人年龄的众数和极差；（3）执行如图所示的算法流程图（其中是这20名工人年龄的平均数），求输出的S值19已知数列an满足a1=2，an+1=（nN+）（1）计算a2，a3，a4，并猜测出an的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜测20四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，BCCD，PD=1，AB=，BC=CD=，AD=1（1）求异面直线AB、PC所成角的余弦值；（2）点E是线段AB的中点，求二面角EPCD的大小21已知椭圆C： +=1（ab
7、0）的离心率e=，左顶点、上顶点分别为A，B，OAB的面积为3（点O为坐标原点）（1）求椭圆C的方程；（2）若P、Q分别是AB、椭圆C上的动点，且=（0），求实数的取值范围22已知抛物线C1：y2=2px（p0）与双曲线C2：=1（a0b0）有公共焦点F，且在第一象限的交点为P（3，2）（1）求抛物线C1，双曲线C2的方程；（2）过点F且互相垂直的两动直线被抛物线C1截得的弦分别为AB，CD，弦AB、CD的中点分别为G、H，探究直线GH是否过定点，若GH过定点，求出定点坐标；若直线GH不过定点，说明理由2016-2017学年江西省抚州市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题
8、（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1如图程序输出的结果是（）A3，4B4，4C3，3D4，3【考点】伪代码【分析】根据赋值语句的含义对语句从上往下进行运行，最后的a和b就是所求得到结果【解答】解：从所给的赋值语句中可以看出：a=3，b=4，a是b赋给的值，a=4而b又是a赋给的值，b=4输出的a，b的值分别是4，4故选B2命题：“x00，使210”，这个命题的否定是（）Ax0，使2x10Bx0，使2x10Cx0，使2x10Dx0，使2x10【考点】命题的否定【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【解答】解：特称命题的否定是全称命题命题p：“x00，使210”，的否定是：xR，
9、x0，使2x10故选：B3如图所示的流程图，最后输出n的值是（）A3B4C5D6【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的n的值，当n=5时，满足条件2n=32n2=25，退出循环，输出n的值为5【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=1，n=2不满足条件2nn2，n=3不满足条件2nn2，n=4不满足条件2nn2，n=5满足条件2n=32n2=25，退出循环，输出n的值为5故选：C4表是某工厂14月份用电量（单位：万度）的一组数据月份x1234用电量y4.5432.5由表可知，用电量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是0.6x+a，则a等于（）A5.1
10、B4.8C5D5.2【考点】线性回归方程【分析】由题中表格数据计算、，根据回归直线方程过样本中心点（，）求出a的值【解答】解：由题中表格数据，计算=（1+2+3+4）=2.5，=（4.5+4+3+2.5）=3.5，且回归直线方程0.6x+a过样本中心点（，），则a=3.5（0.6）2.5=5故选：C5由经验得知，在学校食堂某窗口处排队等候打饭的人数及其概率如下：排队人数012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04则至多2个人排队的概率为（）A0.56B0.44C0.26D0.14【考点】离散型随机变量及其分布列【分析】至多2个人排队的概率为p=p（X=0）+P（X=1）+P（
11、X=2），由此能求出结果【解答】解：由在学校食堂某窗口处排队等候打饭的人数及其概率表知：至多2个人排队的概率为：p=p（X=0）+P（X=1）+P（X=2）=0.1+0.16+0.3=0.56故选：A6“0m3”是“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】求出“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的充要条件，根据集合的包含关系判断即可【解答】解：m4时，椭圆的焦点在y轴上，此时a2=m，b2=4，c2=m4，故，解得：m，0m4时，椭圆的焦点在x轴上，此时a2=4，b2=m，c2=4m，
12、故，解得：0m3，故“0m3”是“方程+=1表示离心率大于的椭圆”的充分不必要条件，故选：A7在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编号为130号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间130，151上的运动员人数是（）A3B4C5D6【考点】茎叶图【分析】根据系统抽样方法的特征，将运动员按成绩由好到差分成6组，得出成绩在区间130，151内的组数，即可得出对应的人数【解答】解：将运动员按成绩由好到差分成6组，则第1组为，第2组为，第3组为，第4组为，第5组为，第6组为，故成绩在区间130，151内的恰有5组，故有5人故选：C8设函
13、数f（x）=（x0），记f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x），fn+1（x）=ffn（x）则f2017（x）等于（）ABCD【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】由题意，可先求出f1（x），f2（x），f3（x），归纳出fn（x）的表达式，即可得出f2017（x）的表达式【解答】解：由题意f1（x）=f（x）=，（x0），f2（x）=f（f1（x）=，f3（x）=f（f2（x）=，fn（x）=f（fn1（x）=，f2017（x）=，故选：A9三棱锥SABC中，ASB=ASC=90，BSC=60，SA=SB=SC=2，点G是ABC的重心，则|等于（）A4BCD【考点】棱锥的结构特
14、征【分析】如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则SDBC，ADBC由题意，AS平面SBC，SA=2，SD=，AG=2GD=，cosSAD=利用余弦定理可得|【解答】解：如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则SDBC，ADBC由题意，AS平面SBC，SA=2，SD=，AG=2GD=，cosSAD=由余弦定理可得|=，故选D10下列命题：“若a2b2，则ab”的否命题；“全等三角形面积相等”的逆命题；“若a1，则ax22ax+a+30的解集为R”的逆否命题；“若x（x0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题其中正确的命题是（）ABCD【考点】命题的真假判断与应用【分析】结合四种命题的定义
15、，及互为逆否的两个命题，真假性相同，分别判断各个结论的真假，可得答案【解答】解：“若a2b2，则ab”的否命题为“若a2b2，则ab”为假命题，故错误；“全等三角形面积相等”的逆命题“面积相等的三角形全等”为假命题，故错误；若a1，则=4a24a（a+3）=12a0，此时ax22ax+a+30恒成立，故“若a1，则ax22ax+a+30的解集为R”为真命题，故其逆否命题为真命题，故正确；“若x（x0）为有理数，则x为无理数”为真命题，故其的逆否命题，故正确故选：A11如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC侧面A1B1BA，且AA1=AB=BC=2，则AC与平面A1BC所成角为（）A
16、BCD【考点】直线与平面所成的角【分析】证明AD平面A1BC，得出ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，求出AC=，AD=，即可得出结论【解答】解：如图，AB1A1B=D，连结CD，AA1=AB，ADA1B，平面A1BC侧面A1ABB1，且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B，AD平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影，ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，又BC平面A1BC，所以ADBC，因为三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，则AA1底面ABC，所以AA1BC又AA1AD=A，从而BC侧面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，故ABBCAA1=AB=BC=2，AC=，AD
17、=sinACD=，ACD=，故选A12已知F1、F2是双曲线C：=1（a0，b0）的左右焦点，P是双曲线C上一点，且|PF1|+|PF2|=6a，PF1F2的最小内角为30，则双曲线C的离心率e为（）AB2CD 【考点】双曲线的简单性质【分析】利用双曲线的定义和已知即可得出|PF1|，|PF2|，进而确定最小内角，再利用余弦定理和离心率计算公式即可得出【解答】解：设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=6a，解得|PF1|=4a，|PF2|=2a则PF1F2是PF1F2的最小内角为30，（2a）2=（4a）2+（2c）224a2c，解得e=故选：C二、填空题
18、（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13已知平面的法向量是（2，3，1），直线l的方向向量是（4，2），若l，则的值是【考点】平面的法向量【分析】由l，知平面的法向量是与直线l的方向向量垂直，由此能示出结果【解答】解：平面的法向量是（2，3，1），直线l的方向向量是（4，2），l，（2，3，1）（4，2）=8+3+2=0，解得=故答案为：14命题“x（0，+），x23ax+90”为假命题，则实数a的取值范围为a2【考点】命题的真假判断与应用；特称命题【分析】若命题“x（0，+），x23ax+90”为假命题，则命题“x（0，+），x23ax+90”为真命题，即命题“x（0，+），a=”为真命
19、题，结合基本不等式可得答案【解答】解：若命题“x（0，+），x23ax+90”为假命题，则命题“x（0，+），x23ax+90”为真命题，即命题“x（0，+），a=”为真命题，x（0，+）时，=2，故a2，故答案为：a215已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C： +=1（ab0且a，b为常数）上关于y轴对称的两点，P是椭圆上的左顶点，且直线PM，PN的斜率都存在（记为kPM，kPN），则kPMkPN=类比上述性质，可以得到双曲线的一个性质，并根据这个性质得：若M，N是双曲线C：=1（a0，b0）上关于y轴对称的两点，P是双曲线C的左顶点，直线PM，PN的斜率都存在（记为kPM，kPN），双曲线的
20、离心率e=，则kPMkPN等于4【考点】椭圆的简单性质【分析】设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（m，n），且，又设点P的坐标为（a，0），表示出直线PM和PN的斜率，求得两直线斜率乘积的表达式即可【解答】解：M，N是双曲线C：=1（a0，b0）上关于y轴对称的两点，P是双曲线C的左顶点，直线PM，PN的斜率都存在（记为kPM，kPN）设设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（m，n），则，即n2=，又设点P的坐标为（a，0），由kPM=，kPN=，kPMkPN=（e21）（常数）双曲线的离心率e=时，则kPMkPN等于4故答案为：416已知ABC是一个面积较大的三角形，点P是ABC所
21、在平面内一点且+2=，现将3000粒黄豆随机抛在ABC内，则落在PBC内的黄豆数大约是1500粒【考点】模拟方法估计概率【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是ABC边BC上的中线AO的中点再根据几何概型公式，将PBC的面积与ABC的面积相除可得概率，即可得到本题的答案【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则+=，+2=，+=2，得： =2，由此可得，P是ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的SPBC=SABC将一粒黄豆随机撒在ABC内，黄豆落在PBC内的概率为P=，将3000粒黄豆随机抛在ABC内，则落在PBC内的黄豆数
22、大约是1500粒故答案为1500粒三、解答题（本题共70分）17设命题p：mx|x2+（a8）x8a0，命题q：方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线（1）若当a=1时，命题pq假命题，pq”为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假【分析】（1）分别求出p，q为真时的m的范围，根据p，q一真一假，得到关于m的不等式组，解出即可；（2）通过讨论a的范围，得到关于m的不等式组，解出即可【解答】解：（1）a=1时，x2+（a8）x8a0，即x27x80，解得：1x8，故p：1m8，若方程+=1表示焦
23、点在x轴上的双曲线，则，解得：m5故q：m5；若命题pq假命题，pq”为真命题，则p，q一真一假，故或，解得：m1，5（8，+）；（2）命题p：mx|x2+（a8）x8a0=x|（x8）（x+a）0，a8即a8时，p：a，8，a8，即a8时，p：8，a，q：m5，若命题p是命题q的充分不必要条件，即a，8（5，+），或8，a（5，+），故a5，解得：a518调查某车间20名工人的年龄，第i名工人的年龄为ai，具体数据见表：i1234567891011121314151617181920ai2928301931283028323130312929313240303230（1）作出这20名工人年龄
24、的茎叶图；（2）求这20名工人年龄的众数和极差；（3）执行如图所示的算法流程图（其中是这20名工人年龄的平均数），求输出的S值【考点】程序框图；茎叶图【分析】（1）根据画茎叶图的步骤，画图即可；（2）根据众数和极差的定义，即可得出；（3）利用方差的计算公式，代入数据，计算即可【解答】解：（1）茎叶图如下：（2）这20名工人年龄的众数为30，极差为4019=21；（3）年龄的平均数为： =30模拟执行程序，可得：S= （1930）2+3（2830）2+3（2930）2+5（3030）2+4（3130）2+3（3230）2+（4030）2=12.619已知数列an满足a1=2，an+1=（nN+）
25、（1）计算a2，a3，a4，并猜测出an的通项公式；（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜测【考点】数学归纳法；数列递推式【分析】（1）由an+1=，分别令n=1，2，3，能求出a2，a3，a4的值，根据前四项的值，总结规律能猜想出an的表达式（2）当n=1时，验证猜相成立；再假设n=k时，猜想成立，由此推导出当n=k+1时猜想成立，由此利用数学归纳法能证明猜想成立【解答】解：（1）a1=2，an+1=，当n=1时，a2=，当n=2时，a3=0，当n=4时，a4=，猜想an=，（nN+）（2）当n=1时，a1=2，等式成立，假设n=k时，猜想成立，即ak=，那么当n=k+1时，ak+1=，等式成
26、立，由可知，an=，（nN+）20四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，BCCD，PD=1，AB=，BC=CD=，AD=1（1）求异面直线AB、PC所成角的余弦值；（2）点E是线段AB的中点，求二面角EPCD的大小【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角【分析】（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C点作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB、PC所成角的余弦值（2）求出平面PCE的法向量和平面PCB的法向量，利用向量法能求出二面角EPCD的大小【解答】解：（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，过C点作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直
27、角坐标系，A（，0），B（0，0），C（0，0，0），P（），=（，0，0），=（），设异面直线AB、PC所成角为，则cos=，异面直线AB、PC所成角的余弦值为（2）E（，0），=（，0），=（），=（0，），设平面PCE的法向量=（x，y，z），则，取x=，得，设平面PCB的法向量=（a，b，c），则，取a=，得=（），设二面角EPCD的大小为，则cos=arccos二面角EPCD的大小为arccos21已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率e=，左顶点、上顶点分别为A，B，OAB的面积为3（点O为坐标原点）（1）求椭圆C的方程；（2）若P、Q分别是AB、椭圆C上的动点，且=（0），求实数
28、的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由e=，sOAB=3，a2b2=c2，求得a2，b2即可（2）由（1）得直线AB的方程为：2x3y+6=0由得P（，y1）由得Q（，y2）由=（0）得=即可求解【解答】解：（1）e=，sOAB=3，a2b2=c2a2=9，b2=4椭圆C的方程为：（2）由（1）得A（3，0），B（0.2），直线AB的方程为：2x3y+6=0P、Q分别是AB、椭圆C上的动点，且=（0），P、O、Q三点共线，设直线PQ的方程为：y=kx （k0）由得P（，y1）由得Q（，y2）由=（0）得=k09k+，1，当直线PQ的斜率为0或不存在时，=1，综上：实数的取值范围：1，
29、22已知抛物线C1：y2=2px（p0）与双曲线C2：=1（a0b0）有公共焦点F，且在第一象限的交点为P（3，2）（1）求抛物线C1，双曲线C2的方程；（2）过点F且互相垂直的两动直线被抛物线C1截得的弦分别为AB，CD，弦AB、CD的中点分别为G、H，探究直线GH是否过定点，若GH过定点，求出定点坐标；若直线GH不过定点，说明理由【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）P（3，2）代入抛物线C1：y2=2px（p0），可得p，求出抛物线方程焦点F（2，0），则，求出a，b，可得双曲线C2的方程；（2）欲证明直线GH过定点，只需求出含参数的直线GH的方程，观察是否过定点即可设出A，B，G，H的坐标，用A，B坐标表示G，H坐标，求出直线GH方程，化为点斜式，可以发现直线必过点（3，0）【解答】解：（1）P（3，2）代入抛物线C1：y2=2px（p0），可得p=4，抛物线C1：y2=8x；焦点F（2，0），则，a=1，b=，双曲线C2的方程=1；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4）把直线AB：y=k（x2）代入y2=8x，得：k2x2（4k2+8）x+4k2=0，x3=2+，y3=k（x32）=，同理可得，x4=2+4k2，y4=4k，kGH=，直线GH为y=（x2），即y=（x3），过定点P（3，0）2017年2月10日
