1、第1页压轴大题24分提高练(二)第2页20(12 分)设 f(x)2xlnx1.(1)求 f(x)的最小值；(2)证明：f(x)x2x1x2lnx.解：(1)f(x)2(lnx1)所以当 x(0，1e)时，f(x)0，f(x)单调递增所以当 x1e时，f(x)取得最小值 f(1e)12e.第3页(2)证明：x2x1x2lnxf(x)x(x1)x1x2(x1)lnx(x1)(x1x2lnx)，令 g(x)x1x2lnx，则 g(x)11x22xx12x20，所以 g(x)在(0，)上单调递增，又 g(1)0，当 0 x1 时，g(x)1 时，g(x)0，所以(x1)(x1x2lnx)0，即 f(
2、x)x2x1x2lnx.第5页21(12 分)已知抛物线 C：y22px(p0)，其焦点为 F，O为坐标原点，直线 l 与抛物线 C 相交于不同的两点 A，B，M为 AB 的中点(1)若 p2，M 的坐标为(1,1)，求直线 l 的方程；(2)若直线 l 过焦点 F，AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N，试问：2|MN|2|FN|是否为定值？若为定值，试求出此定值；否则，说明理由第6页解：(1)由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0，故设直线 l的方程为 x1t(y1)，即 xty1t，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由xty1t，y24x，得 y24ty44t0，16t21616t16
3、(t2t1)0，y1y24t，4t2，即 t12.直线 l 的方程为 2xy10.第7页(2)2|MN|2|FN|为定值 2p，证明如下抛物线 C：y22px(p0)，焦点 F 的坐标为(p2，0)由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0，直线 l 过焦点 F，故设直线 l 的方程为 xtyp2(t0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由xtyp2，y22px，得 y22ptyp20，第8页y1y22pt，4p2t24p20.x1x2t(y1y2)p2pt2p，M(pt2p2，pt)MN 的方程为 yptt(xpt2p2)令 y0，解得 xpt23p2，N(pt23p2，0)，|MN|2p2p2t2，|FN|pt23p2 p2pt2p，2|MN|2|FN|2p2p2t2pt2p2p.
