1、第2节直线与圆的位置关系【选题明细表】知识点、方法题号圆周角、圆心角、弦切角和圆的切线问题1圆内接四边形的判定和性质2四点共圆3圆的综合问题41.(2016大同调研)如图,AB是O的直径,AC是弦,BAC的平分线AD交O于D,DEAC交AC延长线于点E,OE交AD于点F. (1)求证:DE是O的切线;(2)若=,求的值.(1)证明:连接OD,因为OA=OD,所以ODA=OAD,因为BAC的平分线是AD,所以OAD=DAC,所以DAC=ODA,可得ODAE.又因为DEAE,所以DEOD,因为OD是O的半径,所以DE是O的切线.(2)解:连接BC,DB,过D作DHAB于H, 因为AB是O的直径,所
2、以ACB=90,RtABC中,cosCAB=.因为ODAE,所以DOH=CAB,所以cosDOH=cosCAB=.因为RtHOD中,cosDOH=,所以=,设OD=5x,则AB=10x,OH=3x,所以RtHOD中,DH=4x,AH=AO+OH=8x,RtHAD中,AD2=AH2+DH2=80x2,因为BAD=DAE,AED=ADB=90.所以ADEABD,可得=,所以AD2=AEAB=AE10x,而AD2=80x2,所以AE=8x,又因为ODAE,所以AEFDOF,可得=.2.(2016银川市模拟)如图,已知四边形ABCD内接于圆O,且AB是圆O的直径,过点D的圆O的切线与BA的延长线交于点
3、M. (1)若MD=6,MB=12,求AB的长;(2)若AM=AD,求DCB的大小.解:(1)因为MD为圆O的切线, 所以由切割线定理知MD2=MAMB,又MD=6,MB=12,MB=MA+AB,所以MA=3,AB=12-3=9.(2)因为AM=AD,所以AMD=ADM,连接DB,又MD为圆O的切线,所以由弦切角定理知ADM=ABD,又因为AB是圆O的直径,所以ADB为直角,即BAD=90-ABD.又BAD=AMD+ADM=2ABD,于是90-ABD=2ABD,所以ABD=30,所以BAD=60.又四边形ABCD是圆内接四边形,所以BAD+DCB=180,所以DCB=120.3.如图,D,E分
4、别为ABC的边AB,AC上的点,且不与ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根. (1)证明:C,B,D,E四点共圆;(2)若A=90,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.(1)证明:连接DE,根据题意在ADE和ACB中,ADAB=mn=AEAC,即=.又DAE=CAB,从而ADEACB,因此ADE=ACB,所以ACB+EDB=180,所以C,B,D,E四点共圆.(2)解:m=4,n=6时, 方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12,故AD=2,AB=12.取CE的中点G,DB的中点F,分别过G,F作
5、AC,AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.因为C,B,D,E四点共圆,所以C,B,D,E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.由于A=90,故GHAB, HFAC,从而HF=AG=5,DF=(12-2)=5,故C,B,D,E四点所在圆的半径为5.4.(2015高考新课标全国卷)如图,O为等腰三角形ABC内一点,O与ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点. (1)证明:EFBC;(2)若AG等于O的半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积.(1)证明:由于ABC是等腰三角形,ADBC,所以AD是CAB的平分线.又因为O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故ADEF.从而EFBC.(2)解:由(1)知AE=AF,ADEF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为O的弦,所以O在AD上.连接OE,OM,则OEAE.由AG等于O的半径得AO=2OE,所以OAE=30.因此ABC和AEF都是等边三角形.因为AE=2,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=MN=,所以OD=1.于是AD=5,AB=.所以四边形EBCF的面积为()2-(2)2=.