1、2020-2021学年山西省运城市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1设Ax|x1，Bx|x2x20，则（RA）B（）Ax|x1Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x22在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1，2），则（i为虚部单位）的虚部为（）ABC3D3i3已知m，n是直线，是平面，且n，则mn是m的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（）
2、A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳5向量，其中x0，y0且，则的最小值为（）A9B8C7D6如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北45的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为60，则此山的高度CD为（）ABCD6007设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在0，+）上单调递增，则下列不等式成立的是（）ABCf（0.23）f（20.1）f（log20.5）D8已知向量，满足，与的夹角为，则的最大值
3、为（）ABCD二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9下列结论正确的是（）A设A，B是一个随机试验中的两个事件，则P（AB）P（A）+P（B）B概率是客观存在的，与试验次数无关C如果事件A，B互斥，分别为事件A，B的对立事件，则与一定互斥D若A，B是相互独立事件，且，则10已知函数，则关于x的方程f（x）23f（x）+20的解可以为（）A4B0C2Dlog2611已知四边形ABCD为等腰梯形，其中ABCD，AB2CD2AD4，M，N分别为BC，CD的中点，线段AN，DM的交点为P，则下列说法正确的是（）AB在上的投影向量为CDNPM6
4、012正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M是A1B1的中点，点P是A1D1的中点，N为DC的中点，点Q在正方形DCC1D1及其内部运动，若PQ面MBC1，则下列说法正确的是（）A过点M，B，Q的截面为菱形B三棱锥C1QMB的体积为定值CAQ与平面DCC1D1所成角正切值的最小值为D三棱锥NMBC1外接球的表面积为9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13在ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，b6，则角B为 14已知样本数据x1，x20的平均数为5，方差为3，另一组样本数据y1，y30的平均数为10，方差为4，则样本数据x1，x20，y1，y30的方差为 1
5、5最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的数书九章（1247年）该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水来测量平地降雨量（水的体积比盆口面积）已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸当盆中积水深九寸（注：1尺10寸）时，平地降雨量是 寸16在RtABC中，ACBC2，已知MN为ABC内切圆的一条直径，点P在ABC的外接圆上，则的最大值为 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在四棱锥PABCD中
6、，四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，M是PC的中点，PAAD2，AB1（1）求证：PA平面MBD（2）求点D到平面PBC的距离18某种产品的质量以其质量指标值m衡量，并按照质量指标值m划分等级如表：质量指标值mm8585m105m105等级三等品二等品一等品现在从某企业生产的这种产品中随机抽取了200件作为样本，检验其质量指标值m，得到的频率分布直方图如图所示（每组只含最小值，不含最大值）（1）求第75百分位数（精确到0.1）；（2）在样本中，按照产品等级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件产品，则这8件产品中，一等品的件数是多少；（3）将频率视为概率，已知该企业的这种产品中每件一等品
7、的利润是10元，每件二等品和三等品的利润都是6元，试估计该企业销售600件这种产品，所获利润是多少元19已知向量，若函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）将f（x）的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，得到g（x）的图象，求g（x）0时x的取值集合20为庆祝建党100周年，某校从全校随机抽取了48名同学参加“党史知识竞赛”，竞赛分选择题（满分140分）和论述题（满分100分）两部分，每位同学两部分都作答，成绩统计如图，x代表选择题得分，y代表论述题得分，并设置奖励标准：x100且y60为一等奖，每人奖励400元；x60或y40为三等奖，奖励0元；其余皆为二等奖，每
8、人奖励200元；（1）估计这部分学生获得奖金的平均数；（2）鉴于此项活动导向积极、易于组织，其他学校竞相效仿，相继举行此项活动（并设立同样的奖励标准）若以样本估计总体，从参加此项活动的学生中（人数很多）随机抽取两人，记两人所获奖金之和为n，求n400的概率21ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为（1）求角B的大小；（2）若，求的取值范围22如图所示，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，ADC90，ABCD，ADAFCD2，AB2AD，M为AB的中点（1）求证：AC平面CBE；（2）若点P是线段CE上一动点，求FPB周长的最小值；
9、（3）求二面角FCEM的大小参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）. 1设Ax|x1，Bx|x2x20，则（RA）B（）Ax|x1Bx|1x1Cx|1x1Dx|1x2解：RAx|x1，Bx|1x2；（RA）Bx|1x1故选：B2在复平面内，复数z对应的点的坐标为（1，2），则（i为虚部单位）的虚部为（）ABC3D3i解：复数z对应的点的坐标为（1，2），的虚部为故选：B3已知m，n是直线，是平面，且n，则mn是m的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：根据线面垂直的可以m必须垂直平面内的两条相交直线，才有m，即充分性不成立，若m，则mn成
10、立，即必要性成立，故mn是m的必要不充分条件，故选：B4某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据可得：月接待游客量逐月有增有减，故A错误；年接待游客量逐年增加，故B正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确
11、；各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确；故选：A5向量，其中x0，y0且，则的最小值为（）A9B8C7D解：根据题意，向量，若，则2x+y10，变形可得2x+y1，（）（2x+y）5+5+49，当且仅当xy时等号成立，即的最小值为9；故选：A6如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北45的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为60，则此山的高度CD为（）ABCD600解：由题意可得AB600，BAC45，CBA18075105，BCA180ABCBAC30ABC中，由正弦定
12、理可得，即 ，求得BC600CBD60，直角三角形BCD中，tan60，CD600，故选：C7设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在0，+）上单调递增，则下列不等式成立的是（）ABCf（0.23）f（20.1）f（log20.5）D解：log20.51，00.231，2320.11，f（x）是定义在R上的偶函数，且在0，+）上单调递增，f（log20.5）f（1），则00.23120.123，则f（0.23）f（1）f（20.1）f（23），则f（0.23）f（log20.5）f（20.1）f（23），故选：D8已知向量，满足，与的夹角为，则的最大值为（）ABCD解：设，因为，所以（）（）0
13、，即0，所以向量的终点C在以AB为直径的圆上，如图：显然C在D的位置时，取得最大值|4，|2，与的夹角为，可得|2，|+|+|，所以|+|+，即的最大值为+故选：B二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9下列结论正确的是（）A设A，B是一个随机试验中的两个事件，则P（AB）P（A）+P（B）B概率是客观存在的，与试验次数无关C如果事件A，B互斥，分别为事件A，B的对立事件，则与一定互斥D若A，B是相互独立事件，且，则解：设A，B是一个随机试验中的两个事件，则P（AB）P（A）+P（B）P（AB），故A错误；由于概率是客观存在的，它与试
14、验次数无关，故B正确；如果事件A，B互斥，分别为事件A，B的对立事件，则与不一定互斥，例如扔一个骰子，A表示出现一点，B表示出现二点， 表示不出现一点，表示不出现二点，但此时，中都包括了出现4点、5点、6点的情况，故C错误；A，B是相互独立事件，P（A），P（B），则P（A）P（A）P（）（1），故D正确，故选：BD10已知函数，则关于x的方程f（x）23f（x）+20的解可以为（）A4B0C2Dlog26解：令tf（x），则关于x的方程f（x）23f（x）+20即为t23t+20，解得t1或t2，故f（x）1或f（x）2，函数，当x0时，由f（x）1可得，2x41，解得xlog25，由f（x
15、）2可得，2x42，解得xlog26；当x0时，由f（x）1可得，x24x+11，解得x0（舍去），x4，由f（x）2可得，x24x+12，即x2+4x+10，解得x综上所述，关于x的方程f（x）23f（x）+20的解为xlog25，xlog26，x4，x故选：AD11已知四边形ABCD为等腰梯形，其中ABCD，AB2CD2AD4，M，N分别为BC，CD的中点，线段AN，DM的交点为P，则下列说法正确的是（）AB在上的投影向量为CDNPM60解：以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，0），B（4，0），C（3，），D（1，），M，N分别为BC，CD的中点，M（，），N（2，），（
16、4，0），（1，），（，），（2，），（，），即选项A错误；+（2，），即选项C正确；对于选项B，（，）（4，0）10，在上的投影向量为，即选项B错误；对于选项D，设（2，），则P（2，），设，则（21，）（，），解得，P（，），（，），（，），cosNPM，NPM60，即选项D正确故选：CD12正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M是A1B1的中点，点P是A1D1的中点，N为DC的中点，点Q在正方形DCC1D1及其内部运动，若PQ面MBC1，则下列说法正确的是（）A过点M，B，Q的截面为菱形B三棱锥C1QMB的体积为定值CAQ与平面DCC1D1所成角正切值的最小值为D三棱锥NMBC1
17、外接球的表面积为9解：如图：取CGD1F，H，E，O分别为AB，C1D1，BD的中点，连接PF，A1E，MH，HN，NE，HC，OG，FG，AF，AG，则易知四边形PFGO为平行四边形，PMBO为平行四边形，则有FGMB，又PFMC1，则平面PFGO平面MBC1，由题意点Q在正方形DCC1D1及其内部运动且PQ面MBC1，故可知Q在线段FG上，对A：过点M，B，Q的截面为平行四边形MBGF，故A错误；对B：SQMBh，由FGMB，Q在线段FG上，则SQMB为定值，又C1到平面MBGF的距离h也为定值，所以SQMBh也为定值，故B正确；对C：设AQ与平面DCC1D1所成角为，则tan，易知当DQ
18、最大时，tan最小，则DQmaxDF，所以tan的最小值为，故C正确；对D：三棱锥NMBC1外接球即长方体MHNEBB1C1C的外接球，且此时外接球的半径R满足（2R）（）+1+1，所以三棱锥NMBC1外接球的表面积为4R，故D错误；故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13在ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若，b6，则角B为 解：由于在ABC中，b6，则，整理得：sinB，由于：0B，所以B故答案为：14已知样本数据x1，x20的平均数为5，方差为3，另一组样本数据y1，y30的平均数为10，方差为4，则样本数据x1，x20，y1，y30的方差为 9.6解
19、：根据题意，设样本数据x1，x20，y1，y30的平均数为，方差为S2，样本数据x1，x20的平均数为5，则有（x1+x2+x20）5，故x1+x2+x20100，方差为3，则有（x12+x22+x202）20253，故x12+x22+x202560，另一组样本数据y1，y30的平均数为10，则有（y1+y2+y30）10，故y1+y2+y30300，方差为4，则有（y12+y22+y302）301004，故y12+y22+y3023120，对于样本数据x1，x20，y1，y30，其平均数（x1+x2+x20）+（y1+y2+y30）8，则其方差S2（x12+x22+x202）+（y12+y2
20、2+y302）50649.6，故答案为：9.615最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的数书九章（1247年）该书第二章为“天时类”，收录了有关降水量计算的四个例子，分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”其中“天池测雨”法是下雨时用一个圆台形的天池盆收集雨水来测量平地降雨量（水的体积比盆口面积）已知天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸当盆中积水深九寸（注：1尺10寸）时，平地降雨量是 3寸解：如图所示，由题意知天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸；由积水深9寸，所以水面半径为（14+6）10寸，则盆中水的体积为9（62+102+
21、610）588（立方寸）所以平地降雨量等于3（寸）故答案为：316在RtABC中，ACBC2，已知MN为ABC内切圆的一条直径，点P在ABC的外接圆上，则的最大值为 解：设内切圆的圆心为O1，外接圆的圆心为O2，在RtABC中，ACBC2，AB2，内切圆O1的半径r12，外接圆O2的半径r2AB，则（+）（+）+（+）+|+46，要求的最大值，只需求|的最大值又|2，|的最大值为r2+|2，的最大值为42故答案为：42四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，M是PC的中点，PAAD2，A
22、B1（1）求证：PA平面MBD（2）求点D到平面PBC的距离解：（1）证明：在矩形ABCD中，连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，连接MOM为PC的中点，OMPA又OM平面MBD，PA平面MBD，PA平面MBD（2）ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，AD平面PBC，D到平面PBC的距离等于A到平面PBC的距离，PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC，又ABBC，PAABA，BC平面PAB又BC平面PBC，平面PBC平面PAB过A作AHPB，则AH平面PBC，AH即为所求在RtPAB中，PA2，AB1，解得所以点D到平面PBC的距离为18某种产品的质量以其质量指标值m衡量，并按
23、照质量指标值m划分等级如表：质量指标值mm8585m105m105等级三等品二等品一等品现在从某企业生产的这种产品中随机抽取了200件作为样本，检验其质量指标值m，得到的频率分布直方图如图所示（每组只含最小值，不含最大值）（1）求第75百分位数（精确到0.1）；（2）在样本中，按照产品等级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件产品，则这8件产品中，一等品的件数是多少；（3）将频率视为概率，已知该企业的这种产品中每件一等品的利润是10元，每件二等品和三等品的利润都是6元，试估计该企业销售600件这种产品，所获利润是多少元解：（1）由题意可得，（0.0025+0.0090+0.0100+0.020
24、0+0.0260+0.0025+x）101，解得x0.030，所以65，105）的频率为0.625，105，115）的频率为0.26，则第75百分位数在105，115）内，所以第75百分位数为（2）由频率分布直方图以及等级划分规则可知，样本中三等品、二等品、一等品的频率分别为：（0.0025+0.0100）100.125，（0.0200+0.0300）100.5，（0.0260+0.0090+0.0025）100.375，所以在样本中，三等品、二等品、一等品的件数分别为25，100，75，所以按照产品等级用比例分配分层随机抽样的方法抽取8件产品，则应抽取的一等品的件数为3件（3）由（2）知，从
25、该企业的这种产品中任取一件是一等品的概率为0.375，是二等品或三等品的概率为0.625，故该企业销售600件这种产品，所获利润约为600（0.37510+0.6256）4500（元）19已知向量，若函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）将f（x）的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，得到g（x）的图象，求g（x）0时x的取值集合解：（1）由题意可得f（x）2cosx（sinxcosx）+12sinxcosx2cosx+1sin2xcos2x，（2）的图象向左平移个单位长度得，再将横坐标缩短为原来的，得g（x）0即，kZ，解得x，kZ，g（x）0时x的取值集合为x
26、|x，kZ20为庆祝建党100周年，某校从全校随机抽取了48名同学参加“党史知识竞赛”，竞赛分选择题（满分140分）和论述题（满分100分）两部分，每位同学两部分都作答，成绩统计如图，x代表选择题得分，y代表论述题得分，并设置奖励标准：x100且y60为一等奖，每人奖励400元；x60或y40为三等奖，奖励0元；其余皆为二等奖，每人奖励200元；（1）估计这部分学生获得奖金的平均数；（2）鉴于此项活动导向积极、易于组织，其他学校竞相效仿，相继举行此项活动（并设立同样的奖励标准）若以样本估计总体，从参加此项活动的学生中（人数很多）随机抽取两人，记两人所获奖金之和为n，求n400的概率【解答】解（
27、1）由图可知，一等奖有8人，二等奖有24人，三等奖有16人，所以平均数为元；（2）由图可知，获一、二、三等奖的概率分别为，记两人中，甲获一，二，三等奖分别为事件A1，A2，A3，乙获一，二，三等奖为事件B1，B2，B3，所以n400的概率PP（A1B3）+P（A2B2）+P（A3B1）21ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为（1）求角B的大小；（2）若，求的取值范围解：（1）由题意可知，又0B，（2），由正弦定理可得，a2sinA，c2sinC，原式2sinAsinC+2cosAcosC2cos（CA），原式，又，则，的取值范围为（1，222如图所示，平面ABEF平
28、面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，ADC90，ABCD，ADAFCD2，AB2AD，M为AB的中点（1）求证：AC平面CBE；（2）若点P是线段CE上一动点，求FPB周长的最小值；（3）求二面角FCEM的大小【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD中，由题意可得，所以AC2+CB2AB2，则ACBC，因为四边形ABEF为矩形，则EBAB，又平面ABEF平面ABCD，平面ABEF平面ABCDAB，EB平面ABEF，则EB平面ABCD，又AC平面ABCD，所以ACEB，又EBCBB，EB，CB平面CBE，故AC平面CBE；（2）解：将棱锥FCBE的侧面展开到与平面FCE共面，可得平面四边形CBEF，当F，P，B三点共线时，FP+PB值最小，此时FPB周长最小，在平面四边形FECB中，可求得，由余弦定理可得，所以FPB周长最小值为；（3）解：连接FM，过M作MHCE，连接FH，在矩形ABEF中，可得FMME，又CMAB，平面ABEF平面ABCD，平面ABEF平面ABCDAB，所以CM平面ABEF，因为FM平面ABEF，则CMFM，又CMMEM，故FM平面CME，因为EC平面CME，所以FMCE，又MHCE，且MHMEM，故CE平面FHM，所以FHM即为二面角FCEM的平面角，在CME中，又，所以，则FHM60，故二面角FCEM的大小为60
