1、湖北省孝感高中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合A=2，lnx，B=x，y，若AB=0，则y的值为（）A0B1CeD2（5分）设f（x）=，则ff（）=（）ABCD3（5分）sin330等于（）ABCD4（5分）sin2（）+cos（）sin（）的值为（）Acos2B2sin2C1D05（5分）下列函数中，在区间上为增函数且以为周期的函数是（）ABy=sinxCy=tanxDy=cos2x6（5分）如果数列an各项成周期性变化，那么称数列an为周期数列若数列bn满
2、足b1=2，bn=（n2），观察数列bn的周期性，b2015的值为（）A2B1CD27（5分）平面向量与的夹角为60，=（2，0），|=1，则|+2|=（）ABC4D128（5分）将函数y=sin（2x+）的图象沿x轴向左平移m（m0）个单位后，得到一个奇函数的图象，则m的最小值为（）ABCD9（5分）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，则b的值为（）ABCD10（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx（0），如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f（x1）f（x）f（x1+2015）成立，则的最小值为（）ABCD二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，
3、共25分）11（5分）f（x）=lnxx+4的零点个数为12（5分）弧长为3，圆心角为的扇形的面积为13（5分）角的终边经过点P（x，4）且cos=，则sin=14（5分）如图，矩形ABCD中边长AB=2，BC=1，E为BC的中点，若F为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为15（5分）如果ABC长均为正整数，且依次成公差不为零的等差数列，最短边的长记为n，nN*，那么称ABC为“n等增整三角形”有关“n等增整三角形”的下列说法：“2等增整三角形”是钝角三角形；“3等增整三角形”一定是直角三角形；“2015等增整三角形”中无直角三角形；“n等增整三角形”有且只有n1个；当n为3的正整数倍时，
4、“n等增整三角形”中钝角三角形有1个正确的有（请将你认为正确说法的序号都写上）三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（12分）已知A=x|a4x2a，B=x|x1或x5（1）若AB=R，求a的取值范围；（2）若AB=B，求a的取值范围17（12分）已知向量=（1，x），=（1，3），且（2+）（1）求|；（2）若（k+2）（24），求k的值18（12分）已知tan2=2，22（）求tan的值；（）求的值19（12分）已知A，B两点分别在射线CM，CN（不含端点C）上运动，MCN=，在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c若c=，ABC=，（
5、1）试用表示ABC的边AC、BC的长；（2）试用表示ABC的周长f（），并求周长的最大值20（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+sin2xcos2x（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）将f（x）的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，可得到函数g（x）的图象，求g（x）的对称轴；（3）若f（）=，（0，），求cos2的值21（14分）若函数f（x）在xa，b时，函数值y的取值区间恰为，就称区间a，b为f（x）的一个“倒域区间”定义在2，2上的奇函数g（x），当x0，2时，g（x）=x2+2x（1）求g（x）的解析式；（2）求函数g（x）在1，2内的“倒
6、域区间”；（3）若函数g（x）在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数y=h（x）的图象，是否存在实数m，使集合（x，y）|y=h（x）（x，y）|y=x2+m恰含有2个元素湖北省孝感高中2014-2015学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合A=2，lnx，B=x，y，若AB=0，则y的值为（）A0B1CeD考点：交集及其运算 专题：计算题分析：根据给出的集合A与集合B，且AB=0，说明A中的lnx=0，由此求出x=1，则集合B中只有y=0解答：解：由A=2，ln
7、x，B=x，y，若AB=0，说明元素0即在A当中，又在B当中，显然lnx=0，则x=1，所以y=0故选A点评：本题考查了交集及其运算，考查了集合中元素的特性，是基础的会考题型2（5分）设f（x）=，则ff（）=（）ABCD考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值 分析：判断自变量的绝对值与1的大小，确定应代入的解析式先求f（），再求ff（），由内而外解答：解：f（）=，即ff（）=故选B点评：本题考查分段函数的求值问题，属基本题3（5分）sin330等于（）ABCD考点：运用诱导公式化简求值 分析：根据330=36030，由诱导公式一可得答案解答：解：故选B点评：本题主要考查根据三角
8、函数的诱导公式进行化简求值的问题属基础题对于三角函数的诱导公式一定要强化记忆4（5分）sin2（）+cos（）sin（）的值为（）Acos2B2sin2C1D0考点：三角函数的化简求值；运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：根据诱导公式和平方关系化简原式即可解答：解：sin2（）+cos（）sin（）=sin2+coscos=1，故选：C点评：本题考查利用诱导公式和平方关系对三角函数化简求值，属于基础题5（5分）下列函数中，在区间上为增函数且以为周期的函数是（）ABy=sinxCy=tanxDy=cos2x考点：三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性 专题：常规题型分析：求出选项
9、中的每个函数在区间上为增函数且以为周期的函数即可解答：解：在区间上为增函数且以4为周期的函数，不合题意；y=sinx在区间上为增函数且以2为周期的函数，不合题意；y=tanx不满足在区间上为增函数且以为周期的函数y=cos2x在区间上为增函数且以为周期的函数，满足题意，正确故选D点评：本题是基础题，考查三角函数的周期，增区间的求法，考查计算能力，常考题目6（5分）如果数列an各项成周期性变化，那么称数列an为周期数列若数列bn满足b1=2，bn=（n2），观察数列bn的周期性，b2015的值为（）A2B1CD2考点：数列递推式；数列的概念及简单表示法 专题：等差数列与等比数列分析：由已知条件结
10、合递推公式，利用递推思想依次求出数列的前4项，由此得到数列bn为以3为周期的周期数列，从而能求出b2015解答：解：数列bn满足b1=2，bn=（n2），=1，=，=2，数列bn为以3为周期的周期数列，又2015=6713+2，b2015=b2=1故选：B点评：本题考查数列的第2015项的求法，是基础题，解题时要注意递推思想的合理运用，解题的关键是推导出数列bn为以3为周期的周期数列7（5分）平面向量与的夹角为60，=（2，0），|=1，则|+2|=（）ABC4D12考点：向量加减混合运算及其几何意义 分析：根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程
11、中的数量积问题，题目最后不要忘记开方解答：解：由已知|a|=2，|a+2b|2=a2+4ab+4b2=4+421cos60+4=12，|a+2b|=故选：B点评：本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定8（5分）将函数y=sin（2x+）的图象沿x轴向左平移m（m0）个单位后，得到一个奇函数的图象，则m的最小值为（）ABCD考点：函数y=Asin（x+）的图象变换 专题：计算题；三角函数的图像与性
12、质分析：根据图象变换规律，把函数y=sin（2x+）的图象向右平移m个单位得到函数y=sin2（x+m）+；要使所得到的图象对应的函数为奇函数，只需2m+=k，从而求得m的最小值解答：解：y=sin（2x+）的图象向右平移m个单位长度后得到y=sin2（x+m）+，y=sin2（x+m）+为奇函数，sin（2m+）=0，2m+=k，kZ，即有m=，kZ，正数m最小值为：故选：A点评：本题考查了三角函数的图象变换以及三角函数的奇偶性，属于基础题型解决本题的关键在于得到平移后的函数解析式9（5分）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，则b的值为（）ABCD考点：正弦定理
13、 专题：计算题；解三角形分析：在锐角ABC中，利用sinA=，SABC=，可求得bc，在利用a=2，由余弦定理可求得b+c，解方程组可求得b的值解答：解：在锐角ABC中，sinA=，SABC=，bcsinA=bc=，bc=3，又a=2，A是锐角，cosA=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，b+c=2由得：，解得b=c=故选A点评：本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查方程思想与运算能力，属于中档题10（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx（0），如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f（x1）f（x）f
14、（x1+2015）成立，则的最小值为（）ABCD考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：由题意可得区间x1，x1+2015能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公式求得f（x）=sin（x+），由2015求得的最小值解答：解：显然要使结论成立，只需保证区间x1，x1+2015能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，又f（x）=sinx+cosx=sin（x+），则2015，则的最小值为：，故选：B点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11（5分）f
15、（x）=lnxx+4的零点个数为2考点：函数零点的判定定理 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用分析：f（x）=lnxx+4的零点个数即函数y=lnx与函数y=x4的图象的交点的个数，作图求解解答：解：作函数y=lnx与函数y=x4的图象如下，函数有两个交点，故f（x）=lnxx+4的零点个数为2，故答案为：2点评：本题考查了函数的零点与函数的图象的交点的关系应用，属于基础题12（5分）弧长为3，圆心角为的扇形的面积为6考点：扇形面积公式 专题：计算题；三角函数的求值分析：根据扇形面积公式，则必须知道扇形所在圆的半径，设其半径是r，则其弧长是，再根据弧长是3，列方程求解解答：解：设扇形的半径
16、是r，根据题意，得：=3，解，得r=4则扇形面积是=6故答案为：6点评：此题考查了扇形的面积公式以及弧长公式，求出扇形的半径是解题关键13（5分）角的终边经过点P（x，4）且cos=，则sin=或1考点：任意角的三角函数的定义 专题：三角函数的求值分析：由条件利用任意角的三角函数的定义求得x的值，然后利用同角三角函数的基本关系式求解即可解答：解：由题意可得cos=，求得x=0或x=3，角的终边经过点P（0，4）且cos=0，此时sin=1当角的终边经过点P（3，4）且cos=，此时sin=故答案为：或1点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系式的应用，属于基础题14（5
17、分）如图，矩形ABCD中边长AB=2，BC=1，E为BC的中点，若F为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题分析：画出向量在向量上的投影，推出F的位置，使得的最大值，通过E，C的坐标，求出向量的数量积解答：解：因为=，如图，F在C位置时AP最大，设AB为x轴，AD为y轴，则E（2，），C（2，1）所以的最大值为：（2，）（2，1）=故答案为：点评：本题考查向量的数量积的应用，向量在向量方向上的投影的应用，考查计算能力15（5分）如果ABC长均为正整数，且依次成公差不为零的等差数列，最短边的长记为n，nN*，那么称ABC为“n等增整三角形”有关“n等增整
18、三角形”的下列说法：“2等增整三角形”是钝角三角形；“3等增整三角形”一定是直角三角形；“2015等增整三角形”中无直角三角形；“n等增整三角形”有且只有n1个；当n为3的正整数倍时，“n等增整三角形”中钝角三角形有1个正确的有（请将你认为正确说法的序号都写上）考点：命题的真假判断与应用；等差数列的性质 专题：综合题；推理和证明分析：“2等增整三角形”是边长为2、3、4的钝角三角形；“3等增整三角形”是边长为3、4、5的直角三角形，或3、5、7的钝角三角形；用反证法证明命题成立；用归纳法得出命题成立；n为3的正整数倍时，设n=3k，kN*，表示出三边长，得出钝角三角形的个数是多少解答：解：对于
19、，“2等增整三角形”只有1个，边长分别是2、3、4，22+3242，最大角是钝角，正确；对于，“3等增整三角形”有2个，边长为3、4、5，或3、5、7；当边长为3、4、5时，是直角三角形，当边长为3、5、7时，是钝角三角形，错误；对于，假设“2015等增整三角形”中有直角三角形，不妨设三边长为2015、2015+d、2015+2d，其中dN*，则20152+2=2，解得d=N*，假设不成立，正确；对于，“n等增整三角形”有且只有n1个，由、知，n=2、3时，命题成立，猜想“n等增整三角形”有且只有n1个，命题也成立，正确；对于，当n为3的正整数倍时，不妨设n=3k，kN*，“n等增整三角形”的
20、三边长分别为3k、3k+d、3k+2d，dN*，当且仅当（3k）2+（3k+d）2（3k+2d）2，即d时，k，为钝角三角形，钝角三角形的个数有n1个，正确；综上，正确的选项有点评：本题考查了推理与证明的应用问题，考查了归纳与猜想的应用能力，是综合性题目三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16（12分）已知A=x|a4x2a，B=x|x1或x5（1）若AB=R，求a的取值范围；（2）若AB=B，求a的取值范围考点：并集及其运算；交集及其运算 专题：集合分析：（1）利用并集是R，列出不等式组，即可求出a的取值范围；（2）通过AB=B，说明AB，列出不等式
21、即可求a的取值范围解答：解：（1）依题意 （3分）（6分）（2）AB=BAB当A=时 a42a，a4； （8分）当A时 a42a1或5a42a4或a9 （10分）综上或a9（10分）点评：本题考查集合的并集及其运算，集合的基本运算集合的包含关系，基本知识的考查17（12分）已知向量=（1，x），=（1，3），且（2+）（1）求|；（2）若（k+2）（24），求k的值考点：平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：（1）利用向量的坐标运算、向量垂直与数量积的关系、模的计算公式即可得出；（2）利用向量共线定理即可得出解答：解：（1）向量=（1，x），=（1，3
22、），2+=（3，2x3）（2+）=33（2x3）=0，解得x=2=（1，2），|=（2）k+2=（k+2，2k6），24=（2，16），（k+2）（24），（k+2）16=（2k6）（2），k=1点评：本题考查了向量的坐标运算、向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、向量共线定理，考查了计算能力，属于基础题18（12分）已知tan2=2，22（）求tan的值；（）求的值考点：二倍角的正切；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的余弦函数；半角的三角函数 专题：计算题分析：（1）通过正切的倍角公式根据tan2求出tan的值（2）先用余弦的二倍角公式和两角和公式对原式进行化简，再把（1）中的tan代
23、入即可得到答案解答：解：（1）tan2=2，tan=或tan=，22，tan=（2）原式=3+2点评：本题主要考查三角函数中的两角和公式和倍角公式的运用属基础题19（12分）已知A，B两点分别在射线CM，CN（不含端点C）上运动，MCN=，在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c若c=，ABC=，（1）试用表示ABC的边AC、BC的长；（2）试用表示ABC的周长f（），并求周长的最大值考点：解三角形的实际应用；余弦定理 专题：计算题；解三角形分析：（1）ABC中由正弦定理知，即可用表示ABC的边AC、BC的长；（2）f（）=2sin（+）+，根据（0，），即可求周长的最大值解答：解：
24、（1）ABC中由正弦定理知AC=2sin，BC=2sin（） （6分）（2）f（）=2sin+2sin（）+=sin+cos+，即f（）=2sin（+）+ （9分）（0，），当=时，f（）取得最大值2+ （12分）点评：本题考查正弦定理，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题20（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+sin2xcos2x（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）将f（x）的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍，可得到函数g（x）的图象，求g（x）的对称轴；（3）若f（）=，（0，），求cos2的值考点：函数y=Asin（x+）的图象
25、变换；三角函数中的恒等变换应用 专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（1）化简函数解析式可得f（x）=sin（2x），由+2k2x+2k得f（x）的递减区间（2）根据函数y=Asin（x+）的图象变换可得g（x）的解析式，由4x=+k，kZ，即可解得g（x）的对称轴方程（3）由已知可得sin，可得sin2=2sincos=由cos2=cos2sin2=（cos+sin）（cossin）0，即可求得cos2的值解答：解：（1）f（x）=2sinxcosx+sin2xcos2x=sin2xcos2x即f（x）=sin（2x），（2分）由+2k2x+2k得+kx+k，kZf（x）的递减区
26、间为：+k，+k，kZ（4分）（2）g（x）=sin4x，（6分）由4x=+k，kZ，g（x）的对称轴方程为x=+，kZ （8分）（3）f（）=sincos=，sin，（10分）sin2=2sincos=（0，），sincos0，sin0，cos0，cossin0，cos2=cos2sin2=（cos+sin）（cossin）0，cos2= （13分）点评：本题主要考查了函数y=Asin（x+）的图象变换，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的单调性，属于基本知识的考查21（14分）若函数f（x）在xa，b时，函数值y的取值区间恰为，就称区间a，b为f（x）的一个“倒域区间”定义在2，2上的奇函
27、数g（x），当x0，2时，g（x）=x2+2x（1）求g（x）的解析式；（2）求函数g（x）在1，2内的“倒域区间”；（3）若函数g（x）在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数y=h（x）的图象，是否存在实数m，使集合（x，y）|y=h（x）（x，y）|y=x2+m恰含有2个元素考点：函数奇偶性的性质；分段函数的应用 专题：函数的性质及应用分析：（1）运用奇偶性得出g（x）=；（2）得出方程组问题；（3），利用方程思想求解h（x）= m应当使方程x2+m=x2+2x，在1，内恰有一个实数根，并且使方程x2+m=x2+2x，在，1内恰有一个实数解答：解：（1）当x2，0）时，g（x）=g（x
28、）=（x）2+2（x）=x2+2xg（x）=（2）设1ab2，g（x）在x1，2上递减，整理得，解得g（x）在1，2内的“倒域区间”为1，（3）g（x）在xa，b时，函数值y的取值区间恰为，其中ab，a、b0，a、b同号只考虑0ab2或2ab0当0ab2时，根据g（x）的图象知，g（x）最大值为1，1，a1，2），1ab2，由（）知g（x）在1，2内的“倒域区间”为1，；当2ab0时间，g（x）最小值为1，1，b（2，1，2ab1，同理知g（x）在2，1内的“倒域区间”为，1h（x）=依题意：抛物线与函数h（x）的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限因此，m应当使方程x2+m=x2+2x，在1，内恰有一个实数根，并且使方程x2+m=x2+2x，在，1内恰有一个实数由方程2x2x2=m在1，内恰有一根知2m0；由方程x2+m=x2+2x在，1内恰有一根知1m2，综上：m=2点评：本题考查了函数的性质，运用求解数学问题，考查了分类思想，方程的运用，难度大，属于难题
