1、2017-2018学年度五校上学期期末考试高二数学（文科）试卷第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 下列格式的运算结果为纯虚数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】A、；B、；C、；D、；所以纯虚数的是C。故选C。2. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人参加一项活动，则甲被选中的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故选C。3. “”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由题
2、意，则，得，所以是既不充分也不必要条件，故选D。4. 我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A. 222石 B. 220石 C. 230石 D. 232石【答案】A【解析】，故选A。5. 已知实数1，4构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】C【解析】，则，当，则，离心率；当，则，离心率；所以离心率为或，故选C。6. 下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”B. 命题“”的否定是“”C. 命题“若，则”的
3、逆否命题为假命题D. 若“或”为真命题，则中至少有一个为真命题【答案】D【解析】A、否命题为“若，则”，所以错误；B、否定为“”，所以错误；C、原命题为真命题，则逆否命题也为真命题，所以错误；D、若“或”为真命题，则中至少有一个为真命题，正确；.所以正确的为D。故选D。7. 如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故选C。点睛：本题考查面积型的几何概型。概率等于阴影面积与总面积的比值。所以本题的关键就是求解阴影部分的面积，可以利用割补法求面积。常见的几何概型有长度型
4、、面积型、体积型。8. 美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一.美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的.如图所示程序框图，若输入的值分别为8,2,0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（ ）A. 2.84 B. 2.81 C. 2.83 D. 2.82【答案】A【解析】（1）；（2），所以输出，故选C。9. 一个人打靶时连续射击两次，则事件“恰有一次中靶”的互斥的事件是（ ）A. 至多有一次中靶 B. 两次都中靶C. 恰有一次不中靶 D. 至少有一次中靶【答案】B【解析】互斥事件指的是两个事件的交集为空集。事件A、C、D都包括事件“恰有一
5、次中靶”，事件B不包括“恰有一次中靶”。故选B。10. 已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，垂足为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】过作，得，得为中点，且，所以，故选B。11. 如图，已知椭圆的中心为原点，为的左焦点，为上一点，满足且，则椭圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，设，则，得，又，所以椭圆方程为，故选D。点睛：本题考查椭圆标准方程的求解。本题已经知道焦点坐标，则只需再找到一个条件就可以求出标准方程，由题意可知，我们可以求出点P坐标，又，就可以求出标准方程。12. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐
6、标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为：，化简得.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】类比方法：，即，故选C。点睛：本题考查证明与推理中的类比推理。模仿题设中的方法应用，找到其方法特点，得到问题的求解方法。类比推理主要考查学生的数学应用能力，对学生的能力要求较高。第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若命题“存在实数，使”为假命题，则实数的取值范围为_【答案】【解析】由题意，解得。14. 设点是以为左、右焦点的双曲线右支上一点，且满足，
7、直线与圆有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为_【答案】【解析】由题意，所以，所以离心率。15. 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值得一个实例，若输入的值分别为3,4，则输出的值为_【答案】100【解析】16. 已知点是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，在圆上，则的最小值为_【答案】5【解析】，即圆上的点到准线的最小距离。又准线方程为。所以最小值为。点睛：本题考查抛物线的性质。抛物线的性质是抛物线上的点到准线的距离相等，所以本题中得到，即圆上的点到准线的最小距离。由图象
8、得到最小值为。三、解答题 （本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：双曲线的离心率，若命题中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：先求出、都为真的取值范围，因为、一真一假，所以实数的取值范围为。试题解析：若为真，则，即若为真，则，即若命题、中有且只有一个为真命题，则、一真一假.若真、假则,即无解若假、真则，即 .综上所述，所实数的取值范围为点睛：本题考查由命题的真假求参数的范围。一般的，此类题型都先求出命题为真的范围，再由具体的真假情况，分类讨论或直接列方程组求解范围。命题真假判断还会考查关
9、系联结词“或”、“且”、“非”的真假判断。18. 为研究患肺癌与是否吸烟有关，某肿瘤机构随机抽取了40人做相关调查，其中不吸烟人数与吸烟人数相同，已知吸烟人数中，患肺癌与不患肺癌的比为；不吸烟的人数中，患肺癌与不患肺癌的比为.（1）现从患肺癌的人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调查，求这两人都是吸烟患肺癌的概率；（2）是否有99.9%的把握认为患肺癌与吸烟有关？附：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）（2）有99.9%的把握认为患肺癌与吸烟有关【解析】试题分析：（1）由题意可得列联表，穷举得到两人都是吸
10、烟患肺癌的概率为；（2）由列联表得，. 所以有99.9%的把握认为患肺癌与吸烟有关。试题解析：由题意可得列联表如下：（1）吸烟患肺癌的有人，不患肺癌的有人用分层抽样的方法抽取人，则应抽取吸烟患肺癌的人，记为，不吸烟患肺癌的人，记为从人中随机抽取人，所有可能的结果有，共种，则这两人都是吸烟患肺癌的情形共有种，即这两人都是吸烟患肺癌的概率为（2）由列联表得，.所以有99.9%的把握认为患肺癌与吸烟有关。19. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）
11、由题易知，双曲线方程为；（2）直线的方程为，由弦长公式得，所以试题解析：（1）设所求双曲线方程为代入点得，即所以双曲线方程为，即.（2）.直线的方程为.设联立得 满足由弦长公式得 点到直线的距离.所以20. 已知的三边的倒数成等差数列，求证：.【答案】见解析【解析】试题分析：由题意，利用余弦定理和基本不等式，得，所以.试题解析：由题意，则而，又因为所以（当时取等号） 即21. 某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润保费收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计平均收益率；（2）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史
12、销售记录中抽样得到如下5组与的对应数据；（元）2530384552销量（万份）7.57.16.05.64.8据此计算出的回归方程为.（i）求参数的估计值；（ii）若把回归方程当作与的线性关系，用（1）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出最大收益.【答案】（1）0.275（2）（i）0.10（ii）99万元【解析】试题分析：（1）先根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率求概率,再根据组中值与对应区间概率乘积的和为平均数可得平均收益率,（2）（i）根据回归方程过点 ,先根据数据求平均值,再代入回归方程求参数的估计值；（ii）先根据收
13、入等于销量与每份保单的保费乘积得一个一元二次函数,根据二次函数对称轴确定函数最值.试题解析：（）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，平均收益率为 .（）（i） 所以（ii）设每份保单的保费为元，则销量为，则保费收入为 万元， 当元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获利为万元.22. 已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，平面上四个点，中有两个点在椭圆上，另外两个点在抛物线上.（1）求的标准方程；（2）是否存在直线满足以下条件：过的焦点；与交于两点，且以为直径的圆经过原点.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）或【解析】试题分析：（1）由题意，易知椭圆的标准方程为，抛物线的标准方程为；（2）设直线的方程为，利用韦达定理，得到直线的方程。试题解析：（1）设抛物线，则有据此验证四个点知，在抛物线上，易得，抛物线的标准方程为设椭圆，把点，代入可得所以椭圆的标准方程为（2）以为直径的圆经过原点,则 的焦点. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为直线交椭圆于点 ，不满足题意当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，消去得于是由得 将代入式，得 解得所以存在直线满足条件，且的方程为或.
