1、2021年江西省重点中学盟校高考数学第二次联考试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1已知集合Mx|x，Nx|x21，则（RM）N（）A（，1）B（，1C，1D，1）2已知数列an为等比数列，公比为q，若a54（a4a3），则q（）A4B3C2D13i为虚数单位，z1sin+icos，z2cos+isin，则|z1z2|（）A1B2CD4已知a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，且a，b，则“a”是“ab”（）A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件5设，是两个不共线的平面向量，若32，+k，且与共线，则实数k的值为（）ABCD6设a40.8，b（）1.5，cln7
2、，则（）AabcBacbCbacDcab7在（x）6的展开式中，所有项的系数和为0，则展开式中的常数项为（）A15B15C20D208如图所示的程序框图，若输入正整数n5，那么输出的结果S（）A13B25C46D849已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作斜率为的直线l交双曲线右支于点P，若线段PF1的长度正好等于双曲线的焦距，则该双曲线的离心率为（）ABC2D2+10“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月会变化”月是历法中的一种时间单位，传统上都是以月相变化的周期作为一个月的长度在旧石器时代的早期，人类就已经会依据月相来计算日子而星期的概念起源于巴比伦，罗马
3、皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天为一周，这个制度一直沿用至今，若某年某月星期一比星期三多一天，星期二和星期天一样多，则该月3日可能是星期（）A一或三B二或三C二或五D四或六11已知函数f（x），则f（x）在（0，10）上的零点个数为（）A6B7C8D912在四面体ABCD中，AB2，CD4，ACADBCBD4则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A84B96C100D112二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若x，y满足约束条件，则zx+2y的最大值为 14已知正项数列an的前n项和为Sn，若a12，an+12Sn+1+Sn+2，则+ 15已知函数f（x）sinx+co
4、sx（0），若f（x）在（0，）上恰有2个极值点，则的取值范围为 16已知抛物线y24x，斜率小于0的直线l交抛物线于A（1，2）、B两点，点Q是线段AB的中点，过点Q作与y轴垂直的直线l，交抛物线于点C，若点P满足2，则直线OP的斜率的最大值为 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（bcosC+ccosB）sinB+bcosA0（1）求A；（2）若c2，a2，角B的角平分线交边AC于点D，求
5、BD的长18如图，在ABC中，AB3，AC5，BAC120，D为AC上一点，AD3，现将ABC沿BD翻折至图所示，使得平面ABD平面BCD（1）若点E在BC上，满足DEAB求证：DE平面ABD；（2）求二面角DACB的余弦值192021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某校组织了党史知识竞赛活动，共有200名同学参赛，为了解竞赛成绩的分布情况，将200名同学的竞赛成绩按30，40）、40，50）、50，60）、60，70）、70，80）、80，90）、90，100分成7组，绘制成了如图所示的频率分布直方图（1）求这200名同学竞赛成绩的中位数及
6、竞赛成绩不低于80分的同学人数；（2）现从竞赛成绩不低于80分的同学中，采用分层抽样的方法抽取9人，再从9人中随机抽取3人，记这3人中竞赛成绩不低于90分的同学人数为X，求P（X2）；（3）学校决定对竞赛成绩不低于80分的同学中以抽奖的方式进行奖励，其中竞赛成绩不低于90分的同学有两次抽奖机会，低于90分不低于80分的同学只有一次抽奖机会，奖品为党史书籍，每次抽奖的奖品数量（单位：本）及对应的概率如表：奖品数量（单位：本）24概率现在从竞赛成绩不低于80分的同学中随机选一名同学，记其获奖书籍的数量为，求的分布列和数学期望20设椭圆C：+1（ab0），0为原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为A、B，
7、点D（0，2），椭圆C的离心率为，且OABODA（1）求椭圆C的方程；（2）不与x轴平行的直线1与椭圆C交于不同点P、Q，已知点P关于x轴对称点为点M，点Q关于原点的对称点为点N，且D、M、N三点共线，求证：直线l过定点21设函数f（x）ex+tx2+s（x0）在点 （1，f（1）处的切线为y（e1）x（1）求t，s的值，并证明：f（x）x；（2）若x0，a1，不等式 恒成立，求实数a的取值范围（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡.上将所选题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系
8、xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2cos（+）+10（1）求曲线C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）设P（0，），直线1交曲线C于M，N两点，求+的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x|，函数g（x）f（x1）f（xa），a0（1）求不等式f（x21）f（x1）x+3的解集；（2）若函数g（x）的最小值为1，且正实数m，n满足m+na，求+的最大值参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选
9、项中，只有一项是符合题目要求的.1已知集合Mx|x，Nx|x21，则（RM）N（）A（，1）B（，1C，1D，1）解：集合Mx|x，Nx|x21，RM（，+），N1，1，则（RM）N（，1故选：B2已知数列an为等比数列，公比为q，若a54（a4a3），则q（）A4B3C2D1解：由题意，得4（），解得q2故选：C3i为虚数单位，z1sin+icos，z2cos+isin，则|z1z2|（）A1B2CD解：z1sin+icos，z2cos+isin，则|z1z2|z1|z2|111故选：A4已知a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，且a，b，则“a”是“ab”（）A充要条件B充分不必要条件
10、C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解：若a，b，则b，ab，充分性成立，若ab，则a与不一定垂直，a是ab的充分不必要条件，故选：B5设，是两个不共线的平面向量，若32，+k，且与共线，则实数k的值为（）ABCD解：因为32，+k，且与共线，所以，解得k，所以实数k的值为故选：C6设a40.8，b（）1.5，cln7，则（）AabcBacbCbacDcab解：a40.821.6，b（）1.521.5，所以ab2，而cln7lne22，所以abc故选：A7在（x）6的展开式中，所有项的系数和为0，则展开式中的常数项为（）A15B15C20D20解：在（x）6的展开式中，令x1，可得所有项的系
11、数和为（1a）60，a则展开式中的常数项为（a）320，故选：D8如图所示的程序框图，若输入正整数n5，那么输出的结果S（）A13B25C46D84解：模拟程序的运行，可得S2，k2，不满足k5；S6，k3，不满足k5；S13，k4，不满足k5；S25，k5，不满足k5；S46，k6，此时，满足k5，退出循环，输出S的值为46故选：C9已知双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作斜率为的直线l交双曲线右支于点P，若线段PF1的长度正好等于双曲线的焦距，则该双曲线的离心率为（）ABC2D2+解：双曲线1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1作斜率为的直线l，可得tanPF1F2，cosP
12、FF1F2，解得e2+故选：D10“一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月会变化”月是历法中的一种时间单位，传统上都是以月相变化的周期作为一个月的长度在旧石器时代的早期，人类就已经会依据月相来计算日子而星期的概念起源于巴比伦，罗马皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天为一周，这个制度一直沿用至今，若某年某月星期一比星期三多一天，星期二和星期天一样多，则该月3日可能是星期（）A一或三B二或三C二或五D四或六解：若这个月为31天，则该月1日为星期天，符合题意，此时3日为星期二；若这个月为29天，则该月1日为星期一，符合题意，此时3日为星期三故选：B11已知函数f（x），则f（x）
13、在（0，10）上的零点个数为（）A6B7C8D9解：函数y|lnx|与ysinx的图象在（0，1）和1，3内各有一个交点，根据周期性可知，在（0，10）内共有7个交点，即函数f（x）在（0，10）上有7个零点故选：B12在四面体ABCD中，AB2，CD4，ACADBCBD4则四面体ABCD的外接球的表面积为（）A84B96C100D112解：如图，取CD的中点E，分别延长AE、BE至O2，O1，使得BEEO1，AEEO2，分别过O1、O2作平面BCD、平面ACD的垂线，交于点O，则O为该四面体的外接球的球心，BCBD4，CD，BE，cosCBD，sin，则，得EO12同理可求得AEEO22，在
14、AEB中，由余弦定理求得，故可得，则外接球的半径该四面体外接球的表面积为4R2112故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13若x，y满足约束条件，则zx+2y的最大值为解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），由zx+2y，得y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为故答案为：14已知正项数列an的前n项和为Sn，若a12，an+12Sn+1+Sn+2，则+解：由a12，an+12Sn+1+Sn+2，可得当n1时，解得a22（舍去）或a23；当n2时，an2Sn+Sn1+2，两式联立可得，即an+1an1，验证n1时满足，故an是首项为2，公
15、差为1的等差数列，则an2+1（n1）n+1，+故答案为：15已知函数f（x）sinx+cosx（0），若f（x）在（0，）上恰有2个极值点，则的取值范围为（，解：函数f（x）sinx+cosx2sin（x+）（0），f（x）在（0，）上恰有2个极值点，x+（ ，+），+，求得，则的取值范围为（，故答案为：（，16已知抛物线y24x，斜率小于0的直线l交抛物线于A（1，2）、B两点，点Q是线段AB的中点，过点Q作与y轴垂直的直线l，交抛物线于点C，若点P满足2，则直线OP的斜率的最大值为解：设直线l为y2k（x1），联立得，整理得ky24y+84k0，则2+yB，yB，xB，Q为AB的中点，x
16、Q，yQyCyP，xC，2，xP3xC2xQ，kOP，k0，2k2，当且仅当2k时取等号，kOP的最大值为故答案为：三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足（bcosC+ccosB）sinB+bcosA0（1）求A；（2）若c2，a2，角B的角平分线交边AC于点D，求BD的长解：（1）由正弦定理及（bcosC+ccosB）sinB+bcosA0得（sinBcosC+sinCcosB）sinB+si
17、nBcosA0因为sinB0，所以sin（B+C）+，即sinAcosA，所以tanA，由A为三角形内角得A；（2）由余弦定理得a2b2+c22bccosA，所以12b2+4+2b，解得b2或b4（舍），ABD中，BD为ABC的平分线，ABD，则ADB，由正弦定理得，所以BD18如图，在ABC中，AB3，AC5，BAC120，D为AC上一点，AD3，现将ABC沿BD翻折至图所示，使得平面ABD平面BCD（1）若点E在BC上，满足DEAB求证：DE平面ABD；（2）求二面角DACB的余弦值【解答】（1）证明：取BD中点O，因为ABAD3，所以OABD，平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDB
18、D，所以OA平面BCD，因为DE平面BCD，所以DEOA，因为DEAB，ABOAA，AB平面ABD，OA平面ABD，所以DE平面ABD；（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，过C作CFx轴于F，DCACAD2，CDFADB30，ABAD3，OA，OBOD，DF2cos30，CF2sin301，（，1，），（，0，），（，0，），设平面ACB与平面ACD的法向量分别为（x，y，z）与（u，v，w），令x1，（1，4，），令u2，（1，），由图知二面角DACB为钝角，所以二面角DACB的余弦值为192021年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某校组
19、织了党史知识竞赛活动，共有200名同学参赛，为了解竞赛成绩的分布情况，将200名同学的竞赛成绩按30，40）、40，50）、50，60）、60，70）、70，80）、80，90）、90，100分成7组，绘制成了如图所示的频率分布直方图（1）求这200名同学竞赛成绩的中位数及竞赛成绩不低于80分的同学人数；（2）现从竞赛成绩不低于80分的同学中，采用分层抽样的方法抽取9人，再从9人中随机抽取3人，记这3人中竞赛成绩不低于90分的同学人数为X，求P（X2）；（3）学校决定对竞赛成绩不低于80分的同学中以抽奖的方式进行奖励，其中竞赛成绩不低于90分的同学有两次抽奖机会，低于90分不低于80分的同学只
20、有一次抽奖机会，奖品为党史书籍，每次抽奖的奖品数量（单位：本）及对应的概率如表：奖品数量（单位：本）24概率现在从竞赛成绩不低于80分的同学中随机选一名同学，记其获奖书籍的数量为，求的分布列和数学期望解：（1）因为0.025+0.15+0.200.375，0.025+0.15+0.20+0.250.625，设这200名同学竞赛成绩的中位数为x，则0.025+0.15+0.20+0.025（x60）0.5，解得x65，竞赛成绩不低于80分的学生人数为200（0.10+0.05）30（2）由题意可知，抽取的9人中，竞赛成绩不低于90分的学生人数为3，所以P（X2）；（3）设这名同学获得数量为，则的
21、可能取值为2，4，6，8，P（2），P（4），P（6），P（8）， 2 4 6 8 P E（）2+4+6+820设椭圆C：+1（ab0），0为原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为A、B，点D（0，2），椭圆C的离心率为，且OABODA（1）求椭圆C的方程；（2）不与x轴平行的直线1与椭圆C交于不同点P、Q，已知点P关于x轴对称点为点M，点Q关于原点的对称点为点N，且D、M、N三点共线，求证：直线l过定点【解答】（1）解：由题意可得：，又OABODA，tanOABtanODA，a22b，2b22b，故椭圆的方程为（2）证明：由题意，可设直线l：xmy+n，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x1
22、，y1），N（x2，y2），联立方程，得（m2+2）y2+2mny+n220，4m2n24（m2+2）（n22）0，即m2+2n2，D，M，N三点共线，x1（y22）x2（y1+2），（my1+n）（y22）（my2+n）（y1+2），2my1y2+（2m+n）（y1+y2）+4n0，m2n，直线l过定点21设函数f（x）ex+tx2+s（x0）在点 （1，f（1）处的切线为y（e1）x（1）求t，s的值，并证明：f（x）x；（2）若x0，a1，不等式 恒成立，求实数a的取值范围解：（1）证明：函数f（x）ex+tx2+s，则f（x）ex+2tx，因为f（x）在点 （1，f（1）处的切线为y（
23、e1）x，则有，即，解得，则，令g（x）f（x）x，则g（x）exx1，令h（x）g（x）exx1，则h（x）ex10，则h（x）在0，+）上单调递增，所以h（x）h（0）0，所以g（x）在0，+）上单调递增，则g（x）g（0）0，所以f（x）x；（2）由a1，可得对x0恒成立，令F（x）ln（x+1）（ex1）x2，由（1）可知，（当且仅当x0时取等号），则当x0时，F（x），令，则，故（x）在（0，+）上单调递增，则（x）（0）0，所以F（x）0对x0恒成立，又当x0时，F（x）0，故，解得1a0，所以a的取值范围为（1，0（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果
24、多做，则按所做第一一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡.上将所选题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2cos（+）+10（1）求曲线C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）设P（0，），直线1交曲线C于M，N两点，求+的值解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），转换为普通方程为x2+y21直线1的极坐标方程为2cos（+）+10，根据，转换为直角坐标方程为2x2y+10（2）将直线l的方程转换为参数方程为（t为参数）代入曲线C的方程为，整理得，所以：+选修4
25、-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x|，函数g（x）f（x1）f（xa），a0（1）求不等式f（x21）f（x1）x+3的解集；（2）若函数g（x）的最小值为1，且正实数m，n满足m+na，求+的最大值解：（1）不等式f（x21）f（x1）x+3可化为|x21|x1|x30，当x1时，则原不等式可化为x21+x1x30，解得x25，所以x；当1x1时，则原不等式可化为x2+1+x1x30，解得x23，所以无解；当x1时，则原不等式可化为x21x+1x30，解得x1或x3，综上，原不等式的解集为x|x或x3（2）因为|g（x）|x1|xa|（x1）（xa）|a1|，所以g（x）的最小值为|a1|1，因为a0，所以a2，所以m+n2（m0，n0），因为m+n（+）22（+）22（）2，所以（+）24，所以+的最大值为2，当且仅当mn1时等号成立，所以+的最大值为2
