1、江西省重点中学协作体2014届高三第二次联考 数学（理）试卷命题人：临川一中 尧秋元 九江一中 江俊 【试卷综析】本卷为模拟训练卷，注重基础知识考查与基本技能训练，重点考查考纲要求的知识与能力，覆盖全面，难度适中，全面的考查了学生的综合能力，对常用方法，解题技巧，解题思路全面考查，试题的题型比例配置与高考要求一致，侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查，侧重于知识交汇点的考查.在函数、三角函数、数列、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计等仍然是支撑整份试卷的主体内容，在解答题，涉及高中数学的重点知识.明确了教学方向和考生的学习方向.本卷具有一定的综合性，对考生数学能力提出了较高的要求.本试
2、卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集,集合,则实数的取值范围是( )A B C D 【知识点】集合的定义；交集、补集概念.【答案解析】B解析：解：中，时或时.【思路点拨】先求出A集合中代表元素的取值，再求它的补集，根据条件可得B集合的情况，进而求出a的范围.2.函数的定义域是（ ）A. B. C. D.【知识点】对数的定义；分式的意义；根式的意义.【答案解析】D解析：解：函数的定义域为解得：或【思路点拨】可按各种函数的定义域解不等式得
3、到的值.3.已知为虚数单位,若复数满足,则的共轭复数是( )A B C D【知识点】复数的运算；共轭复数.【答案解析】A解析：解：z=-i【思路点拨】本题主要是把复数的分母实数化，是对共轭复数的考查.4.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（ ）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；在线性回归分析中，相关系数越小，表明两个变量相关性越弱；已知随机变量服从正态分布，且则某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人.A1 B
4、2 C3 D4【知识点】方差；期望；相关系数；正态分布；分层抽样.【答案解析】B解析：解：数据变化后，期望变化，方差不变所是错；相关系数越小，表明两个变量的相关性越强，所以错；随机变量服从正态分布所以它以5为对称轴，根据正确；样本容量为正确.【思路点拨】根据每一小题的要求，按各知识点的概念进行分析可得出正确结果.5.已知锐角满足：，则的大小关系是（ ）A B C D. 【知识点】三角函数的性质；两角和的正切公式. 【答案解析】B解析：解：为锐角，又，.【思路点拨】本题可以根据三角函数值的大小来确定角的大小，熟记三角的诱导公式是解题的关键.6.程序框图如下图所示，该程序运行后输出的的值是（ ）开
5、始结束否是输出A B C D【知识点】程序框图；函数的周期性.【答案解析】C解析：解:设每次运行的结果为则-，所 以周期为4，.【思路点拨】本题可根据程序运算的过程求出前5次的结果，然后发现其中的规律，找出周期即可求得最后的值.【典型总结】出现比较大的项或数值时我们要考虑函数的周期性，一般对周期的考查，可以用列举法找到周期.7.等比数列是递减数列，其前项积为，若，则( )A B C D【知识点】等比数列；等比中项的性质.【答案解析】D解析：解：根据题意可知，又数列为递减数列，所以不能为负值，若为负值则是摆动数列，所以.【思路点拨】本题主要是根据等比数列的定义与等比中项的性质来求解，数列为单调数
6、列时奇偶项为同号.【典型总结】与数列有关的问题都要依据数列的性质进行转化，一般会用到等比中项等差中项的问题.8.已知在二项式的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式中，有理项的项数是( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【知识点】二项式定理；二项式系数；特定项的求法.【答案解析】C解析：解：根据题意若二项式第9项最在，可求出n=16, 设有理项为第r+1项，则当为整数时为有理项，有理项有3项.【思路点拨】可以依据二项式的对称性先求出项的系数，然后再按特定项的求法来表示，最后找出有理项.9. 已知函数，过点的直线与的图像交于两点，则的最大值为（ ）A. 1 B. C. D. 【知识
7、点】圆的方程；直线与圆的位置关系；三角形的面积公式.【答案解析】B解析：解：函数可化为设圆心到直线的距离为d, 【思路点拨】本题主要是考查直线与圆的位置关系，先求出弦的长度，再表示也三角形的面积.10.如图，过原点的直线与圆交于两点，点在第一象限，将轴下方的图形沿轴折起，使之与轴上方的图形成直二面角，设点的横坐标为，线段的长度记为，则函数的图像大致是( )【知识点】直线与圆；对称问题；曲线方程.【答案解析】B解析：解：设P点的坐标为（x,y），由对称性，可得点Q的坐标为（-x,-y），分别过点P，Q作x轴的垂线，垂足分别为折成直二面角后，图像是双曲线的一部分.【思路点拨】本题可根据对称性设出对
8、称点的坐标，按直二面角的关系列出函数式，观察函数式与曲线方程的对应关系.二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按所做的第一题评阅记分，本题共5分.11（1）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( ) A. B. C. D.【知识点】参数方程与极坐标.【答案解析】D解析：解：由题可知【思路点拨】本题可依据条件写出直线上的点与角之间的关系式，进而求出方程.11（2）（不等式选讲选做题）若存在,使成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【知识点】绝对值不等式求最值.【答案解析】C解析：解：.【思路点拨】本题主要是依据绝对值不
9、等式的公式求解，也要注意存在性问题的转化.第卷注意事项：第卷须用黑色签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.12.已知为单位向量，当的夹角为时，在上的投影为 .【知识点】向量的数量积；求向量投影的定义.【答案解析】【解析】在上的投影为：【思路点拨】按数量积的定义可以表示出一个向量在另一个向量上的投影.【典型总结】向量问题一般会涉及向量的定义，尤其是数量积问题考查较多，或与之相关的问题值得注意.13.若一组数据的中位数为，则直线与曲线围成图形的面积为 .【知识点】中位数的概念；导数与微积分.【答案解析】【解析
10、】由中位数的定义可得，直线与曲线围成图形的面积.【思路点拨】可根据题意求出的值，再按微积分的定义求出面积.14.已知双曲线和双曲线，其中，且双曲线与的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线的离心率是 .【知识点】双曲线方程；双曲线的几何性质；离心率.【答案解析】【解析】由题意,可得两双曲线在第一象限的交点为【思路点拨】本题可先求出交点坐标，代入方程找出的关系求出离心率.15.对于定义在上的函数，若存在距离为的两条直线和，使得对任意都有恒成立，则称函数有一个宽度为的通道.给出下列函数：；其中在区间上通道宽度可以为的函数有 (写出所有正确的序号).【知识点】新定义问题；函数的值域.【
11、答案解析】解析：解：函数，在区间上的值域为满足所以在此区间上的通道宽度可以为1；函数在区间上的值域为，显然通道为2；函数是双曲线在在第一象限的部分，它的渐近线方程为，满足的通道宽度为，当然可以是1；函数，当时的值域为，通道宽度最小为，也可以为1，所以满足题意的有.【思路点拨】按题义求出各函数的值域，根据值域判断函数是不是存在宽度为1的通道.四、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16（本小题满分12分）P1如图，设，为单位圆上逆时针均匀分布的六个点现从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量（1）求的概率；（2）求的分布列及数
12、学期望【知识点】概率；分布列；数学期望.【答案解析】（2）SP解析：解：从六个不在一条直线上的三个点构成一个三角形共有种方法，其中的三角形为有一个角是30的直角三角形，（如）共有12个，所以， （2）的所有可能取值为，的为顶角是的等腰三角形（如），共6种，所以， 的为等边三角形（如），共2种，所以，又由知，所以S的分布列为：SP. 【思路点拨】本题先求出满足条件的三角形个数，再求出可构成的三角形总数，即可求出概率；根据不同面积的三角形个娄不同可列分布列，根据分布列代入期望公式即可.17.(本小题满分12分）在中，.(1)求角的大小；(2)已知分别是内角的对边，若且 求的面积.【知识点】二倍角公
13、式；两角与差的正弦公式；正弦定理.【答案解析】(1) (2) 解,， (8分)当时, (10分)当时,由正弦定理可得,又由余弦定理可得【思路点拨】(1)把式子中的角向着相同的角进行转化，把三角函数化成一个三角函数，利用角的范围求出角A ；(2)将式子中的角转化成B与C的关系，分情况求解，利用边与角的关系和正余弦定理将角转化成边进行求解.【典型总结】三角函数求角、求单调性、求周期、求最值，一般都要根据诱导公式把式子转化成一个三角函数的形式后再求解，这是解题方向应该掌握，边与角的关系一般都用到正余弦定理进行转化.18（本小题满分12分）若数列的前项和为，对任意正整数都有. （1）求数列的通项公式；
14、（2）若且对任意正整数都有,求证：对任意.【知识点】数列的前n项和与的关系；裂项求和法.【答案解析】略解析：解：当n=1时，当时=6=-2+2，所以数列是首项为，公比为的等比数列，当时， ， (9分) (10分) . 【思路点拨】直接利用数列前n项和与的关系求出通项，根据数列的特点发现适合用裂项求和求解.19（本小题满分12分）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，面，设为中点，点在线段上且（1）求证：平面；（2）设二面角的大小为，若，求的长【知识点】空间坐标系；空间向量的运算；法向量；向量的夹角.【答案解析】略(2)解析：解：由AD=2，AB=1，ABC=60得AC=，ABAC，又因为PA
15、面ABCD，所以以AB,AC,AP分别为x,y,z轴建立坐标系如图：则设P，则，设F解得所以设面ACF的法向量为因为且BE不属于面ACF，所以BE平行于平面ACF. 设面PCD法向量为因为，所以，取 (9分)由，得 ，所以. 【思路点拨】可依据题意建立空间坐标系，利用直线与平面法向量的关系判定直线与平面平行，利用已知夹角的条件，可以找出法向量也二面角向量的关系可求解PA. 20.（本小题满分13分）已知椭圆的左焦点与抛物线的焦点重合，直线与以原点为圆心,以椭圆的离心率为半径的圆相切.（1）求该椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点记的面积为，的面积
16、为试问：是否存在直线，使得？说明理由【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系.【答案解析】(1) (2)略解析：解：(1) 依题意，得,即所求椭圆的方程为. （2）假设存在直线AB，使得，显然直线AB不能与x,y轴垂直，所以直线AB的分辨率存在，设其方程为将其代入，整理得.设，解得 即又, (11分) 所以 ， 整理得 ,因为此方程无解，所以不存在直线，使得 【思路点拨】利用椭圆的几何性质求出标准方程，设出直线方程依题意建立关系式求出方程是否成立，最后判断问题是否成立.21（本小题满分14分）已知函数（其中为常数）.(1)当时，求函数的单调区间；（2）当时，对于任意大于的实数，恒有成立，
17、求实数的取值范围；(3)当时，设函数的3个极值点为，且.求证：【知识点】复合函数的导数；导数与函数的增减性；利用导数比较大小【答案解析】(1) 单调减区间为，增区间为(2) (3)略.解析：解：(1) 令列表如下：x(0，1)（1，）（，）-0+减减极小值增单调减区间为，增区间为(2)当时可得因为所以当时恒成立，所以上是增函数，所以当时，满足题意，所以，当时令所以当在此区间上为减函数，所以当不合题意，舍去综上可得，的取值范围是(3)对于函数所以函数上单调递减，在上单调递增又因为有个极值点从而当时， 函数的递增区间有和，递减区间有，此时，函数有3个极值点，且；当时，是函数的两个零点，消去有令，有零点所以函数在上递减，在上递增，要证明因为也就是证构造函数 只需要证明它在上单调递减即可，而，所以在 上单调递增, 当时，. 【思路点拨】可利用导数直接判断函数的单调区间，再根据函数的增减性转化到自变量之间的关系上，再利用导数比较大小，主要是构造函数的方法比较大小的问题
