1、天水一中2020届2019-2020学年度第二学期模拟考试理数一、选择题：1.已知集合，且、都是全集（为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）A. B. 或C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据韦恩图可确定所表示集合为，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合，根据补集和交集定义可求得结果.【详解】由韦恩图可知：阴影部分表示，.故选：.【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.2.演讲比赛共有10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从10个原始评分中去掉1个最高分、1个
2、最低分，得到8个有效评分8个有效评分与10个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A【解析】【分析】根据平均数、中位数、方差、极差的概念来进行求解，得到答案.【详解】设10位评委评分按从小到大排列为，则原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，A正确原始平均数，后来平均数，平均数受极端值影响较大，与不一定相同，B不正确；，由易知，C不正确原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确故选：A.【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.属于较易题.3.已知，则向量在向量方向上的投影为A. B. C. D. 【答案】B
3、【解析】【分析】分别求出向量、的坐标和数量积，以及模，再由向量在向量方向上的投影为，计算即可得到所求值详解】由，可得，则向量在向量方向上的投影为，故选B.【点睛】本题考查向量的投影的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示和模的求法，考查化简整理的运算能力，属于基础题4.的展开式中的系数为（ ）A. B. C. 、D. 【答案】C【解析】【分析】把按照二项式定理展开，可得的展开式中的系数【详解】解： ，故它的展开式中含的项有的和故的系数为，故选：【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题5.已知实数，则下列不等式中成立的是（）A. B. C. D. 【
4、答案】B【解析】【分析】此题要结合指数函数的图象，利用指数函数的单调性解决【详解】由指数函数图象与性质得，此指数函数在是减函数，.故选B【点睛】同底数幂比较大小，通常利用指数函数的图象与性质中单调性解决，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.6.已知双曲线的一条渐近线倾斜角为，则（ ）A. 3B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由双曲线方程可得渐近线方程，根据倾斜角可得渐近线斜率，由此构造方程求得结果.【详解】由双曲线方程可知：，渐近线方程为：，一条渐近线的倾斜角为，解得：.故选：.【点睛】本题考查根据双曲线渐近线倾斜角求解参数值的问题，关键是明确直线倾斜角与斜率的关系；易错点是忽略方
5、程表示双曲线对于的范围的要求.7.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵屏”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是两人随意猜一个数字其中满足条件的满足|a-b|1的情形包括19种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果【详解】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有7种可能，故基本事件是种，“心有灵犀”的情况包括：，即，有7种可能；，若甲说的是1和7时，“心有灵犀”的情况各有1
6、种，若甲说的数字是2，3，4，5，6时，各有2种，共有种，故他们“心有灵犀”概率为，故选.【点睛】本题是古典概型问题，解本题关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各种情形8.已知，是不同的直线，是不同的平面，则下列条件能使成立的是（ ）A. ，B. ，C. ， D. ，【答案】B【解析】中，不能说明与关系，错误；中，能推出，正确；中，可以得到与面平行，相交，故错误；中，则与平面可能平行，错误；故选9.已知函数下列命题：（ ）函数的图象关于原点对称； 函数是周期函数；当时,函数取最大值；函数的图象与函数的图象没有公共点，其中正确命题的序号是A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：函
7、数的图象关于原点对称，此命题正确，因为函数满足，故函数为奇函数，所以函数的图象关于原点对称；函数是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，所以函数图象无限靠近于轴，故不是周期函数；当时,函数取最大值，由函数的图象可以看出，当时,函数不是最大值，另外可用导数法，求出函数的导函数，当时，故当时,函数不是最大值，此命题不正确；函数的图象与函数的图象没有公共点，由图像可以看出，函数的图象与函数的图象没有公共点，此命题正确考点：函数的周期性；函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性10.设函数，则使得成立的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由
8、奇偶性定义可判断出为偶函数，由单调性的性质可知在上单调递增，由此知在上单调递减，从而将所求不等式化为，解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知：定义域为，为偶函数，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则在上单调递减，由得：，解得：或，的取值范围为.故选：.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题；奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性，单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，进而化简不等式.11.在中，角、的对边分别是、，若，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用边角互化思想结合等式可得，利用边角互化思想可得
9、，利用基本不等式可求得所求代数式的最大值.【详解】，即，、均为锐角且，故选：B【点睛】本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，还需要结合基本不等式求最值，属中等题12.已知椭圆：的左，右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，若，且的三边长，成等差数列，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质设出，利用勾股定理列方程，结合椭圆的定义，求得.再利用勾股定理建立的关系式，化简后求得离心率.【详解】由已知，成等差数列，设，.由于，据勾股定理有，即，化简得；由椭圆定义知的周长为，有，所以，所以；在直角中，由勾股定理，离心率.故选：C【点睛】本小题主要考查椭圆离心率
10、的求法，考查椭圆的定义，考查等差数列的性质，属于中档题.二、填空题13.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，则_.【答案】【解析】试题分析：由坐标系可知考点：复数运算14.在平面直角坐标系中，已知一个角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则_.【答案】【解析】【分析】根据终边经过的点,可先求得,结合正弦二倍角公式即可求解.【详解】一个角的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点由三角函数定义可得则由正弦二倍角公式可得.故答案为:【点睛】本题考查了三角函数定义,正弦二倍角公式的用法,属于基础题.15.以，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，且满足，则点的轨迹
11、方程为_【答案】【解析】【分析】根据圆的性质可知在线段的垂直平分线上，由此得到，同理可得，由对数运算法则可知，从而化简得到，由此确定轨迹方程.【详解】，和的中点坐标为，且在线段的垂直平分线上，即，同理可得：，点的轨迹方程为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出满足的方程，由此得到结果.16.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 【答案】20【解析】【详解】三、解答题：17.如下图所示，四棱锥中，底面，为的中点，底面四边形满足，（）求证：平面平面；（）求二面角的余弦值【答案】（）证明见解析；（）.【解析】【分析】（）由题知
12、，如图以点为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，计算，证明，从而平面PAC，即可得证；（）求解平面PBE的一个法向量，计算，即可得二面角DPEB的余弦值【详解】（）底面，如图以点为原点，直线、分别为、轴，建立空间直角坐标系，则，平面，平面，平面平面；（）设为平面的一个法向量，又，则，取，得设为平面的一个法向量，又，则，取，得，二面角的余弦值【点睛】本题主要考查了平面与平面的垂直，二面角大小的求解，考查了空间向量在立体几何中的应用，考查了学生的空间想象能力与运算求解能力. 属于中档题.18.某市调硏机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼
13、市限购令”赞成人数如下表：月收入（单位：百元）频数51055频率0.10.20.10.1赞成人数4812521（1）若所抽调的50名市民中，收入在的有15名，求，的值，并完成频率分布直方图（2）若从收入（单位：百元）在的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，选中的2人中恰有人赞成“楼市限购令”，求的分布列与数学期望（3）从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民，恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这3名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果【答案】（1），频率分布直方图见解析；（2）分布列见解析，；（3）来自的可能性最大【解析】【分析】（1）由频率和为
14、可知，根据求得，从而计算得到频数，补全频率分布表后可画出频率分布直方图；（2）首先确定的所有可能取值，由超几何分布概率公式可计算求得每个取值对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望的计算公式可求得期望；（3）根据中不赞成比例最大可知来自的可能性最大.详解】（1）由频率分布表得：，即收入在的有名，则频率分布直方图如下：（2）收入在中赞成人数为，不赞成人数为，可能取值为，则；，的分布列为：（3）来自的可能性更大【点睛】本题考查概率与统计部分知识的综合应用，涉及到频数、频率的计算、频率分布直方图的绘制、服从于超几何分布的随机变量的分布列与数学期望的求解、统计估计等知识；考查学生的运算和求解能力.19
15、.已知数列的前项和为，满足（），（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列前项和.【答案】(1)见解析.(2) .【解析】分析：第一问根据数列的项与和的关系，将题中式子可以转化为再进一步对式子进行变形，可以整理得出，利用等比数列的定义求得结果，第二问分析其通项的特征，采用分组求和法与错位相减法对数列求和，得出结果.详解：（1）由由，故进而：故数列是首项为1，公比为2的等比数列.（2）由（1）知：故分别记数列，的前项和为，则两式相减得所以故点睛：该题考查的是有关数列的问题，在求解的过程中，一是需要对利用定义证明对应数列是等比数列的步骤要熟悉，二是对数列求和时，要注意对数列的通项公式进行分析，选
16、择合适的求和方法，在求和的过程中，一定要认真运算.20.已知.（1）若曲线在点处的切线也与曲线相切，求实数的值；（2）试讨论函数零点的个数.【答案】（1）（2）答案不唯一具体见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，设切点的坐标，用不同的方式求出两种切线方程，但两条切线本质为同一条，从而得到方程组，再构造函数研究其最大值，进而求得；（2）对函数进行求导后得，对分三种情况进行一级讨论，即，结合函数图象的单调性及零点存在定理，可得函数零点情况.【详解】解: （1）曲线在点处的切线方程为，即.令切线与曲线相切于点，则切线方程为，令，则，记，于是，在上单调递增，在上单调递减，于是，.（2），当时
17、，恒成立，在上单调递增，且，函数在上有且仅有一个零点；当时，在R上没有零点；当时，令，则，即函数的增区间是，同理，减区间是，.）若，则，在上没有零点；）若，则有且仅有一个零点；）若，则.，令，则，当时，单调递增，.又，在R上恰有两个零点，综上所述，当时，函数没有零点；当或时，函数恰有一个零点；当时，恰有两个零点.【点睛】本题考查导数的几何意义、切线方程、零点等知识，求解切线有关问题时，一定要明确切点坐标.以导数为工具，研究函数的图象特征及性质，从而得到函数的零点个数，此时如果用到零点存在定理，必需说明在区间内单调且找到两个端点值的函数值相乘小于0，才算完整的解法.21.如下图，设抛物线方程为，
18、M为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为，（）设线段的中点为；（）求证：平行于轴；（）已知当点的坐标为时，求此时抛物线的方程；（）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）若存在，求出所有适合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（）（）证明见解析；（）或；（）仅存在一点适合题意.【解析】【分析】（）（）设出的坐标，利用导数求得切线的方程，结合是线段的中点进行化简，得到两点的横坐标相等，由此证得平行于轴.（）利用列方程，解方程求得，进而求得抛物线方程.（）设出点坐标，由点坐标求得线段中点的坐标，由直线的方程和抛物线的方程，求得点的坐标，由此进行分类讨
19、论求得点的坐标.【详解】（）（）证明：由题意设，由得，则，所以，因此直线的方程为，直线的方程为所以，由、得，因此，即，也即.所以平行于轴（）解：由（）知，当时，将其代入、并整理得：，所以，是方程的两根，因此，又，所以由弦长公式的又，所以或，因此所求抛物线方程为或（）解：设，由题意得，则的中点坐标为，设直线的方程为，由点在直线上，并注意到点也在直线上，代入得若在抛物线上，则，因此或即或（1）当时，则，此时，点适合题意（2）当，对于，此时，又，所以，即，矛盾对于，因为，此时直线平行于轴，又，所以直线与直线不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意得点综上所述，仅存在一点适合题意【点睛】本小题主要考
20、查直线和抛物线的位置关系，考查运算求解能力，属于难题.选考题：22.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系中，方程（）表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在的直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为（为参数）.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若曲线与相交于、三点，求线段的长.【答案】（1）（）；（2）.【解析】【分析】（1）化简得到直线方程为，再利用极坐标公式计算得到答案.（2）联立方程计算得到，计算得到答案 .【详解】（1）由消得，即，是过原点且倾斜角为的直线，的极坐标方程为（）.（2）由得，由得，.【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.23.设，且.（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或.【答案】(1) ；(2)见详解.【解析】【分析】(1)根据条件，和柯西不等式得到，再讨论是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的代入原不等式，便可得到参数的取值范围.【详解】(1) 故等号成立当且仅当而又因，解得时等号成立所以的最小值为.(2)因为，所以.根据柯西不等式等号成立条件，当，即时有成立.所以成立，所以有或.【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.
