1、第1页专项检测八 空间几何体的三视图、表面积和体积第2页一、选择题1如图所示，某空间几何体的正视图与侧视图相同，则此几何体的表面积为()A6 B.23 3C4D2 3C第3页解析：此几何体为一个组合体，上面为一个圆锥，下面为一个半球，故其表面积 S42 124124.第4页2将正方体(如图 1)截去三个三棱锥后，得到如图 2 所示的几何体，侧视图的视线方向如图 2 所示，则该几何体的侧视图为()D第5页解析：将图 2 中的几何体放到正方体中如图所示，从侧视图的视线方向观察，易知该几何体的侧视图为选项 D 中的图形，故选 D.第6页3已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.32
2、3 B.163 C.83 D.43C第7页解析：根据几何体的三视图知，该几何体是等底同高的三棱锥与三棱柱的组合体，则该几何体的体积 VV 三棱柱V 三棱锥12(2)221312(2)2283.第8页4(2019福州质量检测)棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1木块的直观图如图所示，平面 过点 D 且平行于平面 ACD1，则该木块在平面 内的正投影面积是()A.3B.32 3C.2D1A第9页解析：棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 木块在平面 内的正投影是三个全等的菱形，如图，正投影可以看成两个边长为 2的等边三角形，所以木块在平面 内的正投影面积是212 2 2 3
3、2 3.第10页5(2019福州市质量检测)如图，以棱长为 1 的正方体的顶点 A 为球心，以 2为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()A.34B.2C.32D.94C第11页解析：正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以 A1 为圆心，1 为半径的圆周长的14，所以所有弧长之和为 324 32.故选 C.第12页6已知三棱锥 S-ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，AB2，SASBSC2，则三棱锥 S-ABC 的外接球的球心到平面 ABC 的距离是()A.33B1C.3D.3 32A第13页解析：三棱锥 S-A
4、BC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，SASBSC2，S 在底面 ABC 内的射影为 AB 的中点，设 AB 的中点为 H，连接 SH，CH，SH平面 ABC，SH 上任意一点到 A，B，C 的距离相等，易知 SH 3，CH1，RtSHC 中，HSC30.在面 SHC 内作 SC 的垂直平分线 MO，交 SH 于点 O，交 SC 于点 M，则 O 为三棱锥 S-ABC的外接球的球心SC2，SM1，又OSM30，SO2 33，OH 33，球心 O 到平面 ABC 的距离为 33，故选A.第14页7(2019昆明市模拟)三棱锥 P-ABC 的所有顶点都在半径为 2 的球 O 的球面上若P
5、AC 是等边三角形，平面 PAC平面 ABC，ABBC，则三棱锥 P-ABC 体积的最大值为()A2B3C2 3D3 3B第15页解析：根据 ABBC 可知 AC 为三角形 ABC 所在截面圆O1 的直径，又平面 PAC平面 ABC，APC 为等边三角形，所以 P 在 OO1 上，如图所示，设 PAx，则 AO112x，PO1 32x，所以 PO1 32 xOO12412x22(32 x2)24(12x)2x22 3x0 x2 3，所以 AO1122 3 3.PO1 32 2 33，当底面三角形 ABC 的面积最大时，第16页即底面为等腰直角三角形时三棱锥 P-ABC 的体积最大，此时 V13
6、SABCPO113(122 3 3)33.第17页二、填空题8某空间几何体的三视图如图所示，其中正方形的边长都为 2，则该空间几何体的体积为_.6第18页解析：该空间几何体如图所示，即正方体被切割掉了四分之一，故其体积为34236.第19页9(2019天津卷)已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_.4解析：由题可得，四棱锥底面对角线的长为 2，则圆柱底面的半径为12，易知四棱锥的高为 512，故圆柱的高为 1，所以圆柱的体积为(12)214.第20页10(2019新课标全国卷)
7、学生到工厂劳动实践，利用 3D打印技术制作模型如图，该模型为长方体 ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥 O-EFGH 后所得的几何体，其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm.3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.118.8第21页解析：由题易得长方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为 664144(cm3)，四边形 EFGH 为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形 EFGH 的面积为矩形 BCC1B1 面积的一半，即126412(cm2)，所以 V四棱锥 O-EFG
8、H1331212(cm3)，所以该模型的体积为 14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为 1320.9118.8(g)第22页11(2019河北石家庄质检)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PB底面 ABCD，O 为对角线 AC 与 BD的交点，若 PB1，APB3，则棱锥 P-AOB 的外接球的体积是_.43第23页解析：底面 ABCD 为菱形，O 为对角线 AC 与 BD 的交点，BDAC，又 PB底面 ABCD，PBAC，BDPBB，AC平面 PBD，ACPO，三角形 PBA 与三角形PAO 均为直角三角形，公共斜边的中点即为球心，PB1，APB
9、3，PA22R(R 为 P-AOB 外接球的半径)，R1，故三棱锥 P-AOB 的外接球的体积是413343.第24页12(2019昆明市诊断测试)数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的，它们都叫欧拉公式，分散在各个数学分支之中，任意一个凸多面体的顶点数 V、棱数 E、面数F 之间，都满足关系式 VEF2，这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”若一个凸二十面体的每个面均为三角形，则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为()A10 B12 C15 D20B第25页解析：二十面体的每个面均为三角形，每条棱都是两个面共用，所以棱数 E2031230，面数 F20，顶点数 VEF
10、212.故选 B.第26页13(2019湖南衡阳二模)如图，正方体 AC1 的顶点 A，B在平面 上，AB 2，若平面 A1B1C1D1 与平面 所成角为 30，由如图所示的俯视方向，正方体 AC1 在平面 上的俯视图的面积为()A2B1 3C2 3D2 2B第27页解析：依题意知，直线 AB 在平面 内，且平面 与平面ABCD 所成的角为 30，与平面 B1A1AB 所成的角为 60，故所得的俯视图的面积 S2(cos30cos60)1 3.第28页14(2019新课标全国卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形
11、状是“半正多面体”(图 1)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1.则该半正多面体共有_个面，其棱长为 21.26第29页解析：依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后 6 个面都在正方体的表面上，且该半正多面体的表面由 18 个正方形，8 个正三角形组成，因此题中的半正多面体共有 26 个面注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形，设题中的半正多面体的棱长为 x，则 22 xx 22 x1，解得 x 21，故题中的半正多面体的棱长为 21.第30页15(2019江西九江二模)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，底面 ABC 是等腰直角三角形，ABBC1.点 D 为侧棱 BB1上的动点若ADC1 周长的最小值为 3 5，则三棱锥C1-ABC 外接球的表面积为_.3第31页解析：将侧面 ABB1A1 和侧面 BCC1B1 展开在同一平面如图，易知当 D 为侧棱 BB1 的中点时，ADC1 周长最小，此时设 BDx，则 2 1x2 24x2 3 5，可得 x12，CC11，又易知三棱锥 C1-ABC 外接球的球心为 AC1的中点，半径 R 32，则三棱锥 C1-ABC 外接球的表面积 S4R23.
