1、单元评估检测（五）（第五章）（120分钟 150分）一、选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设等差数列an的公差为非零常数d,且a1=1,若a1,a3,a13成等比数列，则公差d=( )（A）1 （B）2（C）3（D）52.已知各项均为正数的等比数列an中，lg(a3a8a13)=6，则a1a15的值为( )(A)100(B)1 000(C)10 000(D)103.（2012株洲模拟）已知数列an,an=2n+1，则+ =( )(A)(B)1-2n(C)1-(D)1+2n4已知数列an中,a1=1,以后各项由公式an=an-
2、1+(n2，nN*)给出，则a4=( )（A） （B）（C）（D）5.(2012长沙模拟)若等差数列an的公差d0,且a1,a3,a7成等比数列，则=( )(A)2 (B) (C) (D)6.(2012湘潭模拟)已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5,a4a5a6=5,则a7a8a9( )(A)10 (B)2 (C)8 (D) 7.由得出的数列an的第34项为( )（A） （B）100 （C） （D）8（2012大庆模拟）若Sn为等差数列an的前n项和，S9=-36,S13=-104,则a5与a7的等比中项为( )（A）（B）（C）（D）32二、 填空题(本大题共7小题，每小题5分，
3、共35分.请把正确答案填在题中横线上)9已知数列an的前n项和Sn和通项an满足，则数列an的通项公式为_10已知数列an各项均为正数，若对任意的正整数p、q，总有ap+q=apaq，且a8=16,则a10=_11已知数列an的通项为an=2n-1(nN*)，把数列an的各项排列成如图所示的三角形数阵.记M(s,t)表示该数阵中第s行的第t个数，则该数阵中的数2 011对应于_13 57 9 1113 15 17 1912已知an为等差数列，且a3=-6,a6=0.等比数列bn满足b1=-8,b2=a1+a2+a3,则bn的前n项和Sn=_.13（易错题）已知数列an的前n项和为Sn，a1=1
4、,若n2时，an是Sn与Sn-1的等差中项，则S5=_.14（2012唐山模拟）已知数列an的前n项和为Sn,Sn=2an-1,nN*,数列(n+1)an的前n项和Tn=_.15已知函数f(x)对应关系如表所示，数列an满足a1=3,an+1=f(an),则a2 013=_.x123f(x)321三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16（12分）（2012蚌埠模拟）已知an是公比大于1的等比数列，a1,a3是函数f(x)=x+-10的两个零点.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足bn=log3an+n+2,且b1+b2+b3+bn8
5、0，求n的最小值.17.（12分）在等比数列an中，an0（nN*），且a1a3=4,a3+1是a2和a4的等差中项.（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=an+1+log2an（n=1,2,3,），求数列bn的前n项和Sn.18(12分)(预测题)已知数列an的前n项和为Sn,点(n,Sn)(nN*)均在函数f(x)=-x2+3x+2的图象上.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn-an是首项为1，公比为q(q0)的等比数列，求数列bn的前n项和Tn.19（13分）（探究题）已知数列an的前n项和为Sn，对任意的nN*,点(an,Sn)都在直线2x-y-2=0上.(1)
6、求an的通项公式;(2)是否存在等差数列bn，使得a1b1+a2b2+anbn=(n-1)2n+1+2对一切nN*都成立？若存在，求出bn的通项公式；若不存在，说明理由.20（13分）已知等差数列an中，前n项和Sn满足:S10+S20=1 590,S10-S20=-930.（1）求数列an的通项公式以及前n项和公式.(2)是否存在三角形同时具有以下两个性质，如果存在，请求出三角形的三边长和b值;如果不存在，请说明理由.三边是数列an+b中的连续三项，其中bN*;最小角是最大角的一半.21.(13分)(2012常德模拟)在数列an中，a1=2,a2=8,且已知函数在x=1时取得极值.(1)求证
7、数列an+1-2an是等比数列；(2)求数列an的通项an;(3)设3nbn=(-1)nan,且|b1|+|b2|+|bn|对于nN*恒成立，求实数m的取值范围.答案解析1.【解析】选B.由题意知，即(1+2d)2=1+12d,又d0，d=2.2.【解析】选C.lg(a3a8a13)=6,a3a8a13=106,a8=100,a1a15=10 000.3.【解析】选C.an+1-an=2n+1+1-(2n+1)=2n+1-2n=2n,=4【解题指南】an-an-1=(n2,nN*),可采用累加法.【解析】选A.(n2),以上各式两边分别相加.,5【解析】选C.由题意可得(a1+2d)2=a1(
8、a1+6d)a1=2d,6.【解析】选A.设an的公比为q,则由a4a5a6=(a1a2a3) q9,得5=5q9,q9=,a7a8a9=(a4a5a6)q9=5=10.7.【解析】选C.由数列是以1为首项，公差为3的等差数列，8【解析】选C.a5=-4,a7=-8,a5a7=32,故a5与a7的等比中项为.【变式备选】在3和9之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则这两个数的和是( )（A）（B）（C）（D）9【解析】选A.设中间两数为x,y，则x2=3y,2y=x+9,解得（舍去），所以x+y=.9【解析】当n2时，an=Sn-Sn-1=化简得2an=-an+an-1
9、,即又由，得a1=所以数列an是首项为，公比为的等比数列.所以答案：10【解析】由a8=a4+4=16得a4=4.由得a2=2,a10=a2+8=a2a8=216=32.答案：3211【解题指南】先求2 011对应数列an的项数，再求前n行的项数，找出2 011所在的行数.【解析】由2n-1=2 011得n=1 006，即2 011是数列an的第1 006项，由数阵的排列规律知，数阵中的前n行共有项，当n=44时，共有990项，故2 011是第45行的第16个数.答案：M（45，16）12.【解析】设等差数列an的公差为d,因为a3=-6,a6=0,所以解得a1=-10,d=2,所以an=-1
10、0+(n-1)2=2n-12.设等比数列bn的公比为q,因为b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8,所以-8q=-24,即q=3,所以bn的前n项和为答案：4(1-3n)13【解析】由题意知n2时，2an=Sn+Sn-1,2an+1=Sn+1+Sn,2an+1-2an=an+1+an,an+1=3an(n2),又n=2时，2a2=S2+S1,a2=2a1=2,数列an中，a1=1,a2=2,an=23n-2(n2),S5=81.答案：8114【解析】Sn=2an-1,Sn+1=2an+1-1,an+1=2an+1-2an,即an+1=2an.又S1=2a1-1得a1=1,an=2n-1,T
11、n=220+321+422+(n+1)2n-1,则2Tn=221+322+n2n-1+(n+1)2n,-Tn=2+(2+22+2n-1)-(n+1)2n=Tn=n2n.答案：n2n15【解题指南】解答此类题目应先找规律，即先求a2,a3,a4,从中找出周期变化的规律.【解析】由题意知a2=f(a1)=f(3)=1,a3=f(a2)=f(1)=3,a4=f(a3)=f(3)=1,数列an是周期为2的数列，a2 013=a1=3.答案：316【解析】(1)a1,a3是函数的两个零点，a1,a3是方程x2-10x+9=0的两根，又公比大于1，故a1=1,a3=9,则q=3.等比数列an的通项公式为a
12、n=3n-1.(2)由(1)知bn=log3an+n+2=2n+1,数列bn是首项为3，公差为2的等差数列，b1+b2+bn=n2+2n80,解得n8或n-10（舍）,故n的最小值是8.17【解析】（1）设等比数列an的公比为q.由a1a3=4可得=4,因为an0，所以a2=2，依题意有a2+a4=2(a3+1)，得2a3=a4=a3q因为a30，所以q=2，所以数列an的通项公式为an=2n-1.（2），可得=18【解析】(1)Sn=-n2+3n+2,(2)bn-an=qn-1,Tn-Sn=1+q+q2+qn-1=19【解析】（1）由题意得2an-Sn-2=0,当n=1时，2a1-S1-2=
13、0得a1=2,当n2时，由2an-Sn-2=0 得2an-1-Sn-1-2=0 -得2an-2an-1-an=0即an=2an-1,因为a1=2，所以an是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an=22n-1=2n.(2)假设存在等差数列bn，使得a1b1+a2b2+anbn=(n-1)2n+1+2对一切nN*都成立，则当n=1时，a1b1=(1-1)22+2得b1=1,当n2时，由a1b1+a2b2+anbn=(n-1)2n+1+2 得a1b1+a2b2+an-1bn-1=(n-1-1)2n+2 -得即bn=n,当n=1时也满足条件，所以bn=n,因为bn是等差数列，故存在bn=n(nN*)
14、满足条件.【方法技巧】构造法求递推数列的通项公式对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化，构造出等差数列或等比数列.一般根据递推式子的特点采取以下方法：（1）递推式为an+1=qan（q为常数）：作商构造；（2）递推式为an+1=an+f(n)：累加构造；（3）递推式为an+1=pan+q（p,q为常数）：待定系数构造；（4）递推式为an+1=pan+qn（p,q为常数）：辅助数列构造；（5）递推式为an+2=pan+1+qan：待定系数构造；思路：设an+2=pan+1+qan可以变形为：an+2-an+1=(an+1-an)，就是an+2=(+)an+1-an，则可
15、从解得,，于是an+1-an是公比为的等比数列，就转化为前面的类型.（6）递推式为an+1=f(n)an(nN*)：累乘构造；（7）递推式为an-an-1+panan-1=0（p为常数）：倒数构造.20【解析】(1)由S10+S20=1 590,S10-S20=-930得S10=330,S20=1 260,设an的公差为d,则得a1=6,d=6,故(2)假设存在三角形三边为：6n-6+b,6n+b,6n+6+b,内角为,-3,2，则由正弦定理得：,由余弦定理得由于n,bN*,故有对应的三角形边长为24、30、36可以验证这个三角形满足条件.21. 【解析】(1)f(x)=(an+2-an+1)
16、x2-(3an+1-4an),f(1)=0,(an+2-an+1)-(3an+1-4an)=0,即an+2-2an+1=2(an+1-2an),又a2-2a1=4,数列an+1-2an是以2为公比，以4为首项的等比数列.(2)由(1)知an+1-2an=42n-1=2n+1,数列 是首项为1，公差为1的等差数列，=+(n-1)1=n,an=n2n.(3)由3nbn=(-1)nan,bn=(-1)nn()n,令Sn=|b1|+|b2|+|bn|=+2()2+3()3+n()n,Sn=()2+2()3+(n-1)( )n+n()n+1,得要使得|b1|+|b2|+|bn|m-3n()n+1对于nN*恒成立，只需m6,所以实数m的取值范围是m6.
