1、第八章直线、平面、简单几何体和空间向量考点集训(五十三)第53讲空间几何体的结构特征及其三视图与直观图1下列命题正确的是A有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱B有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱C底面是正多边形的棱柱是正棱柱D侧面是全等矩形的棱柱是正棱柱2将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括A一个圆台、两个圆锥 B两个圆台、一个圆柱C两个圆台、一个圆锥 D一个圆柱、两个圆锥3如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6 cm，OC2 cm，则原图形是A正方形 B矩形C菱形 D一般的平行四边形4某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可
2、能是5将正三棱柱截去三个角(如图1所示A，B，C分别是GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为6如图是某个圆锥的三视图，根据图中所标尺寸可得俯视图中圆的面积为_，圆锥的母线长为_7某长方体的一条对角线长为，在该长方体的正视图中，这条对角线的投影长为，在该长方体的侧视图与俯视图中，这条对角线的投影长分别为a和b，求ab的最大值8一个多面体的直观图及三视图如下图所示(其中E，F分别是PB，AD的中点)(1)求证：EF平面PBC；(2)求三棱锥BAEF的体积题号答案12345考点集训(五十四)第54讲平面的基本性质、空间直线和几何体的体积与表面积1一条直线
3、与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条直线的位置关系是A相交 B异面C相交或异面 D平行2某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是A286 B306C5612 D60123如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为A. B.C. D.4在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A. B.C. D25已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，且满足0，则其外接球的表面积为A B.C4 D.6圆锥的全面积为15 cm2
4、，侧面展开图的圆心角为60，则该圆锥的体积为_cm3.7如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点给出以下四个结论：直线AM与直线C1C相交；直线AM与直线BN平行；直线AM与直线DD1异面；直线BN与直线MB1异面其中正确结论的序号为_(填入所有正确结论的序号)8如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，M，N分别是棱AA1，AB上的点，且AMAN1.(1)证明：M，N，C，D1四点共面；(2)平面MNCD1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比9在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BC
5、AD，ABAD，AD2AB2BC2，O为AD中点(1)求证：PO平面ABCD；(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(3)求此四棱锥的体积答案题号123考点集训(五十五)第55讲直线与平面的平行、垂直关系的判定和性质1下列命题中正确的个数是若直线a不在内，则a；若直线a上有无数个点不在平面内，则a；若直线l与平面平行，则l与内的任意一条直线都平行；若l与平面平行，则l与内任何一条直线都没有公共点A1 B2 C3 D42、为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m的一个充分条件是An，n，m Bm，C，m D，l，ml3若a，b，c是空间三条不同的直线，是空间中不同的平面，则下列命题中不正确
6、的是A若c，c，则B若b，b，则C若b，a且c是a在内的射影，若bc，则abD当b且c时，若c，则bc4在四面体ABCD中，M、N分别是ACD、BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_5已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面给出下列命题：若l，m，l，m，则；若l，l，m，则lm；若，l，则l；若l，ml，则m.其中真命题是_(写出所有真命题的序号)6如图，四边形ABCD为矩形，BC平面ABE，F为CE上的点，且BF平面ACE.(1)求证：AEBE；(2)设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点求证：MN平面DAE.7如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，
7、BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：BC平面EGH.8一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线DF平面BEG.题号答案123考点集训(五十六)第56讲平面与平面的平行与垂直的判定和性质1m、n是不同的直线，、是不同的平面，有以下四个命题：若，则；若，m，则m；若m，m，则；若mn，n，则m.其中真命题的序号是A B C D2如图所示，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ADB
8、沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC3在三棱锥PABC中，点D在PA上，且PDDA，过点D作平行于底面ABC的平面，交PB，PC于点E，F，若ABC的面积为9，则DEF的面积是A1 B2 C4 D.4如图，PAO所在平面，AB是O的直径，C是O上不同于A、B的一点，AEPB，AFPC，给出下列结论：AFPB；EFPB；AEBC；平面AEF平面PBC；AEF是直角三角形其中正确的命题的序号是_5正四棱锥SABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点
9、，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的周长为_6如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：ADPB；(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论. 7正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求证：平面A1BD平面B1D1C；(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面FBD.8如图，四棱锥PABCD中，ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD.(1)求证：ABPD；(2)若BPC90，PB，PC2，问AB为何值时，四棱锥PABCD
10、的体积最大？ 答案题号12345考点集训(五十七)第57讲空间向量的概念与运算1若向量a(1，1，x)，b(1，2，1)，c(1，1，1)满足条件(ca)(2b)2，则xA4 B2 C4 D22若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是Aa，ab，ab Bb，ab，abCc，ab，ab Dab，ab，a2b3已知向量a(1，0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是A(1，1，0) B(1，1，0)C(0，1，1) D(1，0，1)4在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)给出编号为，的
11、四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A和 B和 C和 D和5如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为A0 B.C. D.6如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且2，若xyz，则x，y，z的值分别为_7如图(2)是四棱锥PABCD(如图(1)的三视图，E是AD的中点，F在PC上(1)求F在何处时，EF平面PBC；(2)在(1)的条件下，求直线BD与平面BEF所成角的正弦值8已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA12，且AA1与AB，AD的夹角都为
12、120.(1)求线段AC1的长； (2)若K为BC1的中点，求AK的长；(3)求异面直线BD1与AC所成角的余弦值；(4)证明：AA1BD.题号答案12考点集训(五十八)第58讲立体几何中的向量法1若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为u(2，0，4)，则Al BlCl Dl与斜交2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值为A. B.C. D.3二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知该二面角的大小为60，AB4，AC6，BD8，则CD_4正四棱锥SABCD
13、中，O为顶点S在底面ABCD上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成角的大小是_5两根垂直立于地平面上的长为6 m的竹杆AC和BD，垂足相距8 m，现因外力作用，杆BD倾斜与平面成30角，但保持了BDAB.如图所示，则此时两杆顶端C，D之间的距离为_6如图，已知点P在正方体ABCDABCD的对角线BD上，PDA60.(1)求DP与CC所成角的大小；(2)求DP与平面AADD所成角的大小7如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点(1)求点C到平面A1ABB1的距离；(2)若AB1A1C，求二面角A1CDC1的平面角的余弦值8如图，在四棱
14、锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，ACB45，PAAD2，AC1.(1)证明：PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长答案题号123考点集训(五十九)第59讲空间角、距离及其求法1如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为A. B.C. D.2已知二面角l为60，AB，ABl，A为垂足，CD，Cl，ACD135，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为A. B. C. D.3已知正四面体ABCD，设异面直线AB与CD所成的角为，侧棱AB与底
15、面BCD所成的角为，侧面ABC与底面BCD所成的角为，则A BC D4正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是CC1，D1A1，AB的中点，则点A到平面EGF的距离为_5如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，则点P到直线CC1的距离的最小值为_6如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.7如图，几何体ABCC1B1的底面ABC为等边三角形，侧面BB1C1C为矩形，B1B面ABC，E为边
16、AB1的中点，D在边BC上移动(1)若D为边BC中点，求证：BE面ADC1；(2)若ABBB12，记l为面BEC与面ADC1的交线试确定点D的位置，使得直线l与面ACC1所成的角满足sin .8如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，BAC30，BMAC交AC于点M，EA平面ABC，FCEA，AC4，EA3，FC1.(1)证明：EMBF；(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值题号答案1234考点集训(六十)第60讲折叠问题与探究性问题1点A，B平面，点P平面，线段AP，BP在内的射影长分别是3和5，则线段AB的最大值和最小值分别是A8和2 B4和4 C5和3 D无最值2如图，边长为
17、4的等边三角形ABC中，ADBC于D，将ABD沿AD折起，使得折后二面角BADC的大小为60，则点D到平面ABC的距离为A. B.C. D.3过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成角都相等，这样的直线可以作A1条 B2条C3条 D4条4如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为5在ABCD中，ABAC1，ACD90，将它沿对角线AC折起，使AB和CD成60角，则B，D两点间的距离为_6如图：四棱锥PABCD中，PAAD，A
18、DBC，PC.ADBC，ABAC.BAD150，PDA30.(1)证明：PA平面ABCD；(2)在直线PD上是否存在一点F，使平面FBC与平面PBC所成角的余弦值为，若存在，指出F点的位置，若不存在，请说明理由7在正方体ABCDEFGH中，设BC的中点为M，GH的中点为N.(1)证明：直线MN平面BDH；(2)求二面角AEGM的余弦值8如图1，ACB45，BC3，过点A作ADBC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将ABD折起，使BDC90(如图2所示)(1)当BD的长为多少时，三棱锥ABCD的体积最大；(2)当三棱锥ABCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱
19、CD上确定一点N，使得ENBM，并求EN与平面BMN所成角的大小第八章直线、平面、简单几何体和空间向量第53讲空间几何体的结构特征及其三视图与直观图【考点集训】1B2.D3.C4.D5.A6.100107.【解析】如图，则有AC1，DC1，BC1a，ACb，设ABx，ADy，AA1z，有x2y2z27，x2z26，y21.a2y2z2z21，b2x2y2x21，a，b.ab4，当且仅当z21x21，即xz时，ab的最大值为4.8【解析】(1)如图，取PC的中点G，连接EG，GD，则结合三视图可知，EG綊BC，GE綊DF.又由三视图可知FD平面PDC，DG面PDC，所以FDDG，所以四边形FED
20、G为矩形，因为G为等腰RtCPD斜边PC的中点，所以DGPC，又DGGE，PCEGG，所以DG平面PBC.因为DGEF，所以EF平面PBC.(2)取DB的中点O，连接EO，由三视图知PD平面ABCD，即PD平面ABF，又O，E分别为BD，BP的中点，EOPD，EO平面ABF，所以VBAEFVEABFSABFOEa2aa3.第54讲平面的基本性质、空间直线和几何体的体积与表面积【夯实基础】基础检测1B2.B3.D4.144【知识要点】1(3)不共线的三点其外相交或平行2(1)相交平行任何一个(2)锐角(或直角)3一条直线的42rlrlch4R2R3【走进高考】1.2.B【考点集训】1C2.B3.
21、A4.C5.D6.7.8.【解析】(1)连接A1B，在四边形A1BCD1中，A1D1BC且A1D1BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1BD1C，在ABA1中，AMAN1，AA1AB3，所以，所以MNA1B，所以MND1C，所以M，N，C，D1四点共面(2)解法一：记平面MNCD1将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，连接D1A，D1N，DN，则几何体D1AMN，D1ADN，D1CDN均为三棱锥，所以V1VD1AMNVD1ADNVD1CDNSAMND1A1SADND1DSCDND1D333从而V2VABCDA1B1C1D1VAMNDD1C27，所以，所以平面MNC
22、D1分此正方体的两部分体积的比为.解法二：记平面MNCD1将正方体分成两部分的下部分体积为V1，上部分体积为V2，因为平面ABB1A1平面DCC1D1，所以平面AMN平面DD1C，延长CN与DA相交于点P，因为ANDC，所以，即，解得PA，延长D1M与DA相交于点Q，同理可得QA，所以点P与点Q重合所以D1M，DA，CN三线相交于一点，所以几何体AMNDD1C是一个三棱台，所以V1VAMNDD1C3，从而V2VABCDA1B1C1D1VAMNDD1C27，所以，所以平面MNCD1分此正方体的两部分体积的比为.9【解析】(1)在PAD中，PAPD，O为AD中点，POAD.PO平面PAD，PO平面
23、ABCD.(2)连接BO，在直角梯形ABCD中，BCAD，AD2AB2BC2，OD綊BC，四边形BCDO为平行四边形，OBCD.PBO为异面直线PB与CD所成的角在RtAOB中，AB1，AO1，OB，在RtPOA中，AP，AO1，OP1，在RtPBO中，PB，cosPBO.所以异面直线PB与CD所成角的余弦值为.(3)在RtAOP中，AP，AO1，PO1.S直角梯形AB1.V四棱锥S直角梯形PO1.第55讲直线与平面的平行、垂直关系的判定和性质【考点集训】1A2.A3.D4.面ABD与面ABC5.6.【解析】(1)因为BC平面ABE，AE平面ABE，所以AEBC，又BF平面ACE，AE平面AC
24、E，所以AEBF，又BFBCB，所以AE平面BCE，又BE平面BCE，所以AEBE.(2)取DE的中点P，连结PA，PN，因为点N为线段CE的中点所以PNDC，且PNDC，又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，所以AMDC，且AMDC，所以PNAM，且PNAM，故四边形AMNP是平行四边形，所以MNAP，而AP平面DAE，MN平面DAE，所以MN平面DAE.7.【解析】(1)连接DG，CD，设CDGFO，连接OH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点又H为BC的中点，所以OHBD.又OH平面FGH，
25、BD平面FGH，所以BD平面FGH.(2)连接HE.因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.8.【解析】(1)点F，G，H的位置如图所示(2)平面BEG平面ACH.证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BCFG，BCFG.又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH，于是四边形BCHE为平行四边形所以BECH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEB
26、GB，所以平面BEG平面ACH.(3)连接FH，与EG交于点O.因为ABCDEFGH为正方体，所以DH平面EFGH.因为EG平面EFGH，所以DHEG.又EGFH，DHFHH，所以EG平面BFHD.又DF平面BFHD，所以DFEG.同理DFBG.又EGBGG，所以DF平面BEG.第56讲平面与平面的平行与垂直的判定和性质【考点集训】1A2.D3.A4.5.6.【解析】(1)如图，取AD中点G，连结PG，BG，BD.PAD为等边三角形，PGAD，又平面PAD平面ABCD，PG平面ABCD.在ABD中，A60，ADAB，ABD为等边三角形，BGAD，AD平面PBG，ADPB.(2)连结CG，与DE
27、相交于点H，易知H为CG的中点，在PGC中作HFPG，交PC于点F，易知F是PC的中点，FH平面ABCD，平面DHF平面ABCD，故存在满足要求的点F为PC的中点7.【解析】(1)由B1B綊DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，B1D1BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，BD平面B1D1C.同理A1D平面B1D1C.而A1DBDD，平面A1BD平面B1D1C.(2)由BDB1D1，得BD平面EB1D1.取BB1的中点G，则AE綊B1G.从而得B1EAG，同理GFAD.AGDF.B1EDF.DF平面EB1D1.平面EB1D1平面FBD.8【解析】(1)因为ABCD为矩形，所以
28、ABAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以AB平面PAD，故ABPD.(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO平面ABCD，BC平面POG，BCPG.在RtBPC中，PG，GC，BG.设ABm，则OP，故四棱锥PABCD的体积为Vm.因为m，所以当m，即AB时，四棱锥PABCD的体积最大第57讲空间向量的概念与运算【考点集训】1D2.C3.B4.D5.A6.，7【解析】由三视图可知PA平面ABCD，且PAAB，底面ABCD是矩形，AD2.(1)如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(0，0)，C(2
29、，0)，D(2，0，0)，E(1，0，0)，P(0，0，)又F为PC上的点，设，则F，(2，0，0)当EF平面PBC时有，得0，得1，即F为BC的中点时，满足EF平面PBC，且F.(2)由(1)知，且，又(2，)，120，即，平面BEF，即为平面BEF的一个法向量而(2，0)，设BD与平面BEF所成的角为，则sin |cos ，|，故BD与平面BEF所成角的正弦值为.8【解析】(1)因为，所以|2()2222222114212cos 120212cos 1202，所以|.(2)()()(2)，所以|2(2)2，故|.(3)因为，所以|2()26，即|.设BD1与AC所成的角为，则cos .(4
30、)因为，所以()21cos 12021cos 1200.AA1BD.第58讲立体几何中的向量法【考点集训】1B2.A3.24.305.10 m6.【解析】如图，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系Dxyz.则(1，0，0)，(0，0，1)连接BD，BD.在平面BBDD中，延长DP交BD于H.设(m，m，1)(m0)，由已知，60，由|cos ，可得2m，解得m，所以.(1)因为cos ，所以，45.即DP与CC所成的角为45.(2)平面AADD的一个法向量是(0，1，0)因为cos ，所以，60.可得DP与平面AADD所成的角为30.7【解析】(1)由ACBC，D为AB的中点，得CDA
31、B.又CDAA1，故CD平面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为CD.(2)解法一：如图，取A1B1的中点D1，连接DD1，则DD1AA1CC1.又由(1)知CD平面A1ABB1，故CDA1D，CDDD1，所以A1DD1为所求的二面角A1CDC1的平面角因为A1D为A1C在平面A1ABB1上的射影，又已知AB1A1C，由三垂线定理的逆定理得AB1A1D，从而A1AB1，A1DA都与B1AB互余，因此A1AB1A1DA，所以RtA1ADRtB1A1A，因此，即AAADA1B18，得AA12.从而A1D2.在RtA1DD1中，cosA1DD1.解法二：如图，过D作DD1AA1交A1B1
32、于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直以D为原点，射线DB，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.设直三棱柱的高为h，则A(2，0，0)，A1(2，0，h)，B1(2，0，h)，C(0，0)，C1(0，h)，从而(4，0，h)，(2，h)由，有8h20，解得h2.故(2，0，2)，(0，0，2)，(0，0)设平面A1CD的法向量为m(x1，y1，z1)，则m，m，即取z11，得m(，0，1)设平面C1CD的法向量为n(x2，y2，z2)，则n，n，即取x21，得n(1，0，0)，所以cos m，n.所以二面角A1CDC1的平面角的余弦值为.8.【解
33、析】解法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0，0，0)，D(2，0，0)，C(0，1，0)，B，P(0，0，2)(1)证明：易得(0，1，2)，(2，0，0)，于是0，所以PCAD.(2)(0，1，2)，(2，1，0)设平面PCD的法向量n(x，y，z)则即不妨令z1，可得n(1，2，1)可取平面PAC的法向量m(1，0，0)于是cos m，n，从而sin m，n.所以二面角APCD的正弦值为.(3)设点E的坐标为(0，0，h)，其中h0，2由此得.由(2，1，0)，故cos ，所以cos 30，解得h，即AE.解法二：(1)证明：由PA平面ABCD，可得PAAD.又由AD
34、AC，PAACA，故AD平面PAC，又PC平面PAC.所以PCAD.(2)如图，作AHPC于点H，连接DH.由PCAD，PCAH，可得PC平面ADH，因此DHPC，从而AHD为二面角APCD的平面角在RtPAC中，PA2，AC1，由此得AH.由(1)知ADAH.故在RtDAH中，DH.因此sinAHD，所以二面角APCD的正弦值为.(3)如图，因为ADC45，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF.故EBF或其补角为异面直线BE与CD所成的角由于BFCD，故AFBADC.在RtDAC中，CD，sinADC，故sinAFB.在AFB中，由，AB，sinFABsin 1
35、35，可得BF.由余弦定理，BF2AB2AF22ABAFcosFAB，可得AF.设AEh.在RtEAF中，EF.在RtBAE中，BE.在EBF中，因为EFBE，从而EBF30.由余弦定理得cos 30，解得h.所以AE.第59讲空间角、距离及其求法【考点集训】1D2.B3.B4.5.6.1007【解析】(1)取AC1的中点F，则EFB1C1BD，且EFB1C1BD，故四边形BEFD为平行四边形，所以BEDF，又DF平面ADC1，因而BE平面ADC1；(2)取点G为AC的中点，由(1)知直线DF即直线l，GB平面ACC1，即确定点D的位置，使得直线l与平面ACC1所成的角满足sin .如图所示，
36、建立空间直角坐标系(BC的中点O为原点)由于C(1，0，0)，C1(1，0，2)，而点E和点F关于平面yOz对称，结合已知条件知F.令点D(a，0，0)，由于平面ACC1的法向量为n，则cosn，sin ，即，即6a213a50，解得a或，又D在边BC上移动，则a，即D是线段OC的中点8【解析】解法一：(1)EA平面ABC，BM平面ABC，EABM.又BMAC，EAACA，BM平面ACFE，而EM平面ACFE，BMEM.AC是圆O的直径，ABC90.又BAC30，AC4，AB2，BC2，AM3，CM1，BM，EA平面ABC，FCEA，FC1，FC平面ABC.EAM与FCM都是等腰直角三角形EM
37、AFMC45.EMF90，即EMMF(也可由勾股定理证得)MFBMM，EM平面MBF.而BF平面MBF，EMBF.(2)延长EF交AC于G，连BG，过C作CHBG，连结FH.由(1)知FC平面ABC，BG平面ABC，FCBG.而FCCHC，BG平面FCH.FH平面FCH，FHBG，FHC为平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的平面角由，得GC2，BG2.又GCHGBM，则CH1.FCH是等腰直角三角形，FHC45.平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.解法二：(1)同解法一，得AM3，BM.如图，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系由已知条件得A(0，0，0)，M(0，3，0
38、)，E(0，0，3)，B(，3，0)，F(0，4，1)，(0，3，3)，(，1，1)由(0，3，3)(，1，1)0，得，EMBF.(2)由(1)知(，3，3)，(，1，1)设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，由n0，n0，得令x得y1，z2，n(，1，2)，由已知EA平面ABC，所以取平面ABC的法向量为(0，0，3)，设平面BEF与平面ABC所成的锐二面角为，则cos cosn，平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为.第60讲折叠问题与探究性问题【考点集训】1A2.A3.D4.A5.2或6【解析】(1)取线段BC中点E，连结AE.因为AD，PDA30，所以PA1.因为ADBC，B
39、AD150，所以B30，又因为ABAC，所以AEBC，而BC2，所以ACAB2.因为PC，所以PC2PA2AC2，即PAAC，因为PAAD，且ADACA，所以PA平面ABCD.(2)以A为坐标原点，以AE，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示：则P，B，C，D四点坐标分别为：P(0，0，1)，B(1，0)，C(1，0)，D(0，0)设F(x0，y0，z0)；因为点F在直线PD上，设，所以即F(0，1)，所以(1，1)设平面FBC的法向量为m(x，y，z)由m0，m0，得m(1，0，1)设平面PBC的法向量u(x1，y1，z1)所以u0，u0，所以所以u(1，0，1)，
40、因为平面FBC与平面PBC所成角的余弦值等于，所以.所以，即3.所以当(3)时，平面FBC与平面PBC所成角的余弦值为.7.【解析】(1)如图(1)，连接BD，设O为BD的中点因为M，N分别是BC，GH的中点，所以OMCD，且OMCD，HNCD，且HNCD，所以OMHN，OMHN.所以四边形MNHO是平行四边形，从而MNOH.又MN平面BDH，OH平面BDH，所以MN平面BDH.(2)方法一：如图(1)，连接AC，过M作MPAC于P.在正方体ABCDEFGH中，ACEG，所以MPEG.过P作PKEG于K，连接KM，所以EG平面PKM，从而KMEG.所以PKM是二面角AEGM的平面角设AD2，则
41、CM1，PK2.在RtCMP中，PMCMsin 45.在RtPKM中，KM.所以cosPKM，即二面角AEGM的余弦值为.方法二：如图(2)，以D为坐标原点，分别以，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.设AD2，则M(1，2，0)，G(0，2，2)，E(2，0，2)，O(1，1，0)，所以(2，2，0)，(1，0，2)设平面EGM的一个法向量为n1(x，y，z)，由得取x2，得n1(2，2，1)在正方体ABCDEFGH中，DO平面AEGC，则可取平面AEG的一个法向量为n2(1，1，0)，所以cosn1，n2，故二面角AEGM的余弦值为.8【解析】(1)在如图1所示的AB
42、C中，设BDx(0x3)，则CD3x.由ADBC，ACB45知，ADC为等腰直角三角形，所以ADCD3x.由折起前ADBC知，折起后(如图2)，ADDC，ADBD，且BDDCD，所以AD平面BCD.又BDC90，所以SBCDBDCDx(3x)，于是VABCDADSBCD(3x)x(3x)2x(3x)(3x)，当且仅当2x3x，即x1时，等号成立，故当x1，即BD1时，三棱锥ABCD的体积最大(另：VABCDADSBCD(3x)x(3x)(x36x29x)令f(x)(x36x29x)，由f(x)(x1)(x3)0，且0x0；当x(1，3)时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得最大值故当BD1
43、时，三棱锥ABCD的体积最大)(2)解法一：以D为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系Dxyz，由(1)知，当三棱锥ABCD的体积最大时，BD1，ADCD2.于是可得D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，2)，M(0，1，1)，E，且(1，1，1)设N(0，0)，则.因为ENBM等价于0，即(1，1，1)10，故，N.所以当DN(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时，ENBM.设平面BMN的一个法向量为n(x，y，z)，由及，得，可取n(1，2，1)设EN与平面BMN所成角的大小为，则由，n(1，2，1)，可得sin cos(90)，即60.故EN与平面BMN所成
44、角的大小为60.解法二：由(1)知，当三棱锥ABCD的体积最大时，BD1，ADCD2，如图b，取CD的中点F，连结MF，BF，EF，则MFAD，EFBD.由(1)知AD平面BCD，所以MF平面BCD.如图c，延长FE至P点使得FPDB，连BP，DP，则四边形DBPF为正方形，所以DPBF，取DF的中点N，连结EN，又E为FP的中点，则ENDP，所以ENBF.因为MF平面BCD，又EN平面BCD，所以MFEN.又MFBFF，所以EN平面BMF.又BM平面BMF，所以ENBM.因为ENBM当且仅当ENBF，而点F是唯一的，所以点N是唯一的即当DN(即N是CD的靠近点D的一个四等分点)时，ENBM，连接MN，ME，由计算得NBNMEBEM，所以NMB与EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，如图d所示，取BM的中点G，连接EG，NG，则BM平面EGN.在平面EGN中，过点E作EHGN于H，则EH平面BMN.故ENH是EN与平面BMN所成的角在EGN中，易得EGGNNE，所以EGN是正三角形，故ENH60，即EN与平面BMN所成角的大小为60.
