1、高考资源网（ ），您身边的高考专家第三章基本知能检测时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1直三棱柱ABCA1B1C1，若a，b，c，则()AabcBabcCabc Dabc答案D解析结合图形，得cababc.2若向量a与b不共线，ab0，且cab，则a与c的夹角为()A0B.C.D.答案D解析ac|a|2(ab)|a|2aa0ab.3若a(1，2)，b(2，1,2)，且a与b垂直，则等于()A1 B1 C6 D6答案C解析ab240，6.4已知非零向量a、b，及平面，若向量a是平
2、面的法向量，则ab0是b所在直线平行于或在内的()A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件答案A解析若ab0，则b；反之，bab0.故选A.5若ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3，且dxaybzc，则x、y、z分别为()A.，1 B.，1C，1 D.，1答案A解析由已知得x，y，z1.故选A.6下列说法中不正确的是()A平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D如果a，b与平面共面且na，nb，那么n就是平面的一个法向量答案D解析由线面垂直的判定定理知D成
3、立7已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m()A2 B3 C4 D5答案B解析由题意知M为ABC的重心，连结AM并延长交BC于D，则又AD为中线，则2m即2m，联立得m3，故选B.8对于任意向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，给出下面两个命题：ab；若a1a2a31，则a为单位向量其中正确命题的个数为()A0 B1 C2 D3答案A解析由ab但ab/ ；若a1a2a31，则|a|，都不正确故选A.9如右图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AB2，AD1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为()Aarccos B.Ca
4、rccos D.答案D解析建立空间直角坐标系，如图所示E(0,0,1)，A1(1,0,2)，G(0,2,1)，F(1,1,0)，(1,0,1)，(1，1，1)，而0，.选D.10在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是()A.2B.C.0D.0答案C解析由共面向量定理知选C.11如图，P是边长为a的正六边形ABCDEF平面外一点，PAAB，PAAF，为求P与CD的距离作PQCD于Q，则()AQ为CD的中点 BQ与D重合CQ与C重合 D以上都不对答案C解析连AC，则ACCD，由三垂线定理知PCCD，Q与C重合故选C.12在60的二面角的一个面内有一个点，它到棱的距离是8，那么它到另一个面的距离
5、是()A. B2 C3 D4答案D解析设二面l为60，内一点为A，过A作AB于B，AOl于O，连OB，则OBl，AOB60，AB8sin604.二、解答题(本大题共4小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13已知向量a，c不共线，且b0，且(ab)c(bc)a，dac，则d，b_.答案9014如下图所示，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，以，为基底，则_.答案15三个平面两两垂直，它们交于一点O，空间一点P到三个面的距离分别为，和2，则PO_.答案5解析PO5.16正ABC边长为a，ADBC于点D，沿AD把ABC折起来使BD
6、C90，这时点B到AC的距离是_答案a解析过D作DHAC于H，连BH，则DHa，BHa.三、解答题(本大题共6个小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点(1)求证：AEC1F是平行四边形；(2)求AE和AF之间的夹角的余弦值；(3)求四边形AEC1F的面积解析(1)证明：如下图，以DA，DC，DD1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，E(0,0，)，F(a，a，)，C1(0，a，a)(a,0，)，(a,0，)，AEC1F为平行四边形(2)解：由(0，a，)
7、，得cos，.(3)解：由(2)知sinEAF.SAEC1F|sinEAFa2.18(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是直角梯形，ABCBAD90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD.求SC与平面ASD所成角的余弦值解析建立如下图所示空间直角坐标系，则S(0,0,1)，A(0,0,0)，B(0,1,0)，D(，0,0)，C(1,1,0)，则(1,1，1)，(，1,0)，(0,1,0)，平面ASD的一个法向量为(0,1,0)设SC与平面ASD所成的角为，则sin，cos.19(本小题满分12分)(2009江西)在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB
8、2.以AC的中点O为球心、AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N.(1)求证：平面ABM平面PCD；(2)求直线CD与平面ACM所成的角的大小解析(1)依题设知，AC是所作球面的直径，则AMMC.又因为PA平面ABCD，则PACD，又CDAD，PAADA，所以CD平面PAD，则CDAM，所以AM平面PCD，又AM面ABM，所以平面ABM平面PCD.(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,4)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,4,0)，M(0,2,2)；设平面ACM的一个法向量n(x，y，z)，由n，n可得：，令z1，则n(2，1,1)设所求角为，则s
9、in，所以所求角的大小为arcsin.20(本小题满分12分)已知空间四边形OABC，棱OA，OB，BC互相垂直，OAOBBC1，N是OC的中点，点M在AB上，且MNAB，求AMAB的值解析如图所示，设x，则x.(1x)x，()，(1x)x(x1)(x).又知，MNAB，所以0.即(x1)(x)()0.进行向量运算，考虑到、互相垂直且它们的长度都为1，运算结果得x1x0.解得x.所以MNAB34.21(本小题满分12分)在正棱锥PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是PAB的重心，E，F分别是BC，PB上的一点，且BEECPEFB12.求证：(1)平面GEF平面PBC；(2)EG是PG与BC的公
10、垂线证明(1)以三棱锥的顶点P为原点，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系令PAPBPC3，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)于是(3,0,0)，(1,0,0)故3.PAFG.又PA平面PBC，FG平面PBC.又FG平面EFG，平面EFG平面PBC.(2)(1，1，1)，(1,1,0)，(0，3，3)110，330.EGPG，EGBC，EG是PG和BC的公垂线22(本小题满分14分)(2009湖南)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，点D是A1B1的中点，点
11、E在A1C1上，且DEAE.(1)证明：平面ADE平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值解析考查多面体的概念、空间平面与平面的位置关系和线面角解：(1)如图所示，由正三棱柱ABCA1B1C1的性质知，AA1平面A1B1C1，又DE平面A1B1C1，DEAA1，又DEAE，AA1AEA，DE平面ACC1A1，DE平面ADE，平面ADE平面ACC1A1.(2)设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系如图不妨设AA1，则AB2，相关各点的坐标分别是A1(0，1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D易知(，1,0)，(0,2，)，AD设平面ABC1的一个法向量为n(x，y，z)，则有解得xy，zy.故可取n(1，)所以，cosn，.由此即知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
