1、3.2.3直线与平面的夹角一、选择题1已知平面内的角APB60，射线PC与PA、PB所成角均为135，则PC与平面所成角的余弦值是()AB.C.D答案B解析由三余弦公式知cos45coscos30，cos.2三棱锥PABC的底面是以AC为斜边的直角三角形，顶点P在底面的射影恰好是ABC的外心，PAAB1，BC，则PB与底面ABC所成角为()A60 B30 C45 D90答案B解析由AB1，BC，知AC，OA，又PA1，PQAC，PO，OBOA，tan.应选B.3正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的正弦值是()A. B. C. D.答案C解析由计算得sin.故选C.
2、4在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值为()A. B. C. D.答案D解析以O为原点，射线OA、OB、OP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，设ABa，则OP，(a,0，a)，可求得平面PBC的法向量为n(1，1，)，cos(，n)，设与面PBC的角为，则sin，故选D.5若直线l与平面所成角为，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是()A. B.C. D.答案D6如果平面的一条斜线段长是它在这个平面上的射影长的3倍，那么斜线段与平面所成角的余弦值为()A. B. C.
3、 D.答案A7如图，正方体AC1中，BC1与对角面BB1D1D所成的角是()AC1BB1BC1BDCC1BD1DC1BO答案D解析由三垂线定理得，OB为BC1在平面BB1D1D上的射影故选D.8在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为CC1的中点，则直线A1B与平面BDE所成的角为()A. B.C. D.答案B解析以D为原点建立空间直角坐标系，平面BDE的法向量n(1，1,2)，而(0，1,1)，cos，30.直线A1B与平面BDE成60角9正方形纸片ABCD，沿对角线AC折起，使点D在面ABCD外 ，这时DB与平面ABC所成角一定不等于()A30 B45 C60 D90答案D解析当
4、沿对角线AC折起时，BD在面ABC上的射影始终在原对角线上，若BD面ABC，则此时B、D重合为一点，这是不成立的，故选D.10已知等腰直角ABC的一条直角边BC平行于平面，点A，斜边AB2，AB与平面所成的角为30，则AC与平面所成的角为()A30 B45 C60 D90答案B解析过B、C作BB于B，CC于C，则BBCC1，sin，45.故选B.二、填空题11正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C的夹角的余弦值为_答案解析设三棱柱的棱长为1，以B为原点，建立坐标系如图，则C1(0,1,1)，A，又平面BB1C1C的一个法向量n(1,0,0)，设AC1与平面BB1
5、C1C的夹角为.sin|cosn，|，cos.12正四棱锥SABCD中，O为顶点S在底面内的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_答案3013AB，AA， A是垂足，BB是的一条斜线段，B为斜足，若AA9，BB6，则直线BB与平面所成角的大小为_答案6014正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AA1、A1D1的中点，则EF与面A1C1所成的角为_答案45三、解答题15如图所示，ABCD是直角梯形，ABC90，SA平面ABCD，SAABBC1，AD，求SC与平面ABCD所成的角解析解法1：如图所示，设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，A，则AB与
6、平面所成的角为arccos；是平面ABCD的法向量，设与的夹角为.，()1.|1，|，cos.arccos.从而CS与平面ABCD所成的角为arccos.解法2：连结AC，显然SCA即为SC与平面ABCD所成的角计算得：AC，tanSCA，故SC与平面ABCD所成角为arctan.16如图，在直三棱柱ABOABO中，OO4，OB3，AOB90.D是线段AB的中点，P是侧棱BB上的一点若OPBD，试求：(1)OP与底面AOB所成的角的大小；(2)BD与侧面AOOA所成的角的大小解析如图，以O为原点建立空间直角坐标系，由题意，有B(3,0,0)，D，设P(3,0，z)，则，(3,0，z)BDOP，
7、4z0，z.P.(1)BB平面AOB，POB是OP与底面AOB所成的角tanPOB，POBarctan.故OP与底面AOB所成角的大小是arctan.(2)(3,0,0)，且平面AOOA，平面AOOA的法向量为(3,0,0)又(3,0,0)，DB3(2)0(4)0.又|3，|，cos， .BD与侧面AOOA所成的角的大小为，arccos(或写成arcsin)17如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CC1的中点，求BE与平面B1BD所成角的正弦值解析如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)，(2，2,0)，(0,0,2)，(2
8、,0,1)设平面B1BD的法向量为n(x，y，z)，nBD，nBB1，令y1时，则n(1,1,0)，cos.即BE与平面B1BD所成的角的正弦值为.18(2009北京)如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的大小；解析考查线面垂直，直线与平面所成角，以及二面角等内容，可以用直接法实现，也可用向量法解法一：(1)PA底面ABC，PABC.又BCA90，ACBC.BC平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，DEBC.又由(1)知，BC平
9、面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角PA底面ABC，PAAB，又PAAB，ABP为等腰直角三角形，ADAB.在RtABC中，ABC60，BCAB.在RtADE中，sinDAE.AD与平面PAC所成的角的大小为arcsin.解法二：(1)如图，以A为原点建立空间直角坐标系Axyz.设PAa，由已知可得A(0,0,0)，B，C，P(0,0，a)(1)(0,0，a)，0，BCAP.又BCA90，BCAC.BC平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，E为PC的中点D，E.又由(1)知，BC平面PAC.DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角，cosDAE.AD与平面PAC所成的角的大小为arccos.
