1、天水一中2019-2020学年度高二级第一学期第一学段考试数学试题（理科）一：选择题1.若与的等差中项为，则（）A. B. C. D. 不确定【答案】B【解析】【分析】根据等差中项公式，得出，即可求解，得到答案【详解】由题意，因为与的等差中项为，所以，即，故选B【点睛】本题主要考查了等差中项公式的应用，其中解答中熟记等差中项公式，列出关于的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题2.设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和，若成等比数列，则（ ）A. 8B. C. 1D. 【答案】D【解析】因为成等比数列，所以，即，解得：，故选D.试题点睛：本题涉及等差数列的通项公式，等差数列的
2、前n项和公式以及等比中项的概念，是中档题.解决这类问题主要是利用方程思想，根据已知量，求出未知量，本题可将各项表示为首项与公差的形式，利用等差数列n项和公式结合等比中项，建立方程，从而求解.3.在中，若，则中最大角的度数为（ ）A. 60B. 90C. 120D. 150【答案】C【解析】【分析】比较三边的大小，最大边所对的角C为最大角，再利用余弦定理求解.【详解】由于，所以中的最大角为，所以，所以.【点睛】本题考查三角形边角关系以及余弦定理运用.三角形边与角之间满足：大边对大角，大角对大边；余弦定理在解三角形中常见的两种类型：1、已知三边求角；2、已知两边及夹角解三角形.4.设等差数列的前项
3、和为，若，则当取得最小值时（ ）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】A【解析】分析】根据等差数列的通项公式的基本运算求出公差，然后求出，从而根据二次函数的性质求得结果.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，解得.因此，故当时，取最小值为，故本题正确答案为A.【点睛】本题考查等差数列的通项公式的基本运算，注意熟记公式，认真计算，属基础题.5.已知数列是等差数列，数列分别满足下列各式，其中数列必为等差数列的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】设数列的公差为d，选项A,B,C,都不满足同一常数，所以三个选项都是错误的；对于选项D，,所
4、以数列必为等差数列.故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的判定和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）A. 36B. 72C. 91D. 182【答案】C【解析】【分析】通过等差数列的性质可得，从而利用求和公式即可得到答案.【详解】由得，即，所以，故选C.【点睛】本题主要考查等差数列性质，难度不大.7.已知为正项等比数列的前n项和若，则A. 14B. 24C. 32D. 42【答案】D【解析】因为各项为正，根据等比数列中成等比数列的性质，知成等比数列，所以，故选D.8.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加
5、增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯A. 81盏B. 112盏C. 162盏D. 243盏【答案】D【解析】【分析】从塔顶到塔底每层灯盏数可构成一个公比为3的等比数列，其和为363由等比数列的知识可得【详解】从塔顶到塔底每层灯盏数依次记为，此数列是等比数列，公比为3，5项的和为363，则，故选D【点睛】本题考查等比数列的应用，解题关键是根据实际意义构造一个等比数列，把问题转化为等比数列的
6、问题9.若关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据的解集可利用韦达定理构造关于的方程求得；代入所求不等式，解一元二次不等式即可得到结果.【详解】由解集为可得：解得： 所求不等式为：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查根据一元二次不等式的解集求解参数、一元二次不等式的求解问题；关键是能够明确不等式解集的端点值与一元二次方程根之间的关系.10.已知正数满足，则（）A. 有最大值B. 有最小值C. 有最大值10D. 有最小值10【答案】A【解析】【分析】由基本不等式及其应用得：（）2，得（）250，由m0，n0，得解详解】由不等
7、式的性质有：（）2，当且仅当，等号成立即（）250，又m0，n0，所以，即m，故选：A【点睛】本题考查了基本不等式及其应用，转化化归能力，注意等号成立条件，属中档题11.在数列中，若，则数列的通项公式为A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为，所以，数列是等差数列，由等差数列通项公式得，所以,选A.12.已知，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用待定系数法，令4a2bx（ab）+y（a+b），求出满足条件的x，y，利用不等式的基本性质，可得4a2b的取值范围.【详解】令4a2bx（ab）+y（a+b），即，解得：x3，y1，即4a2b3（ab）+（a
8、+b）.1ab2，2a+b4，33（ab）6，5（ab）+3（a+b）10故选：B【点睛】本题考查了利用不等式的性质求取值范围，其中令4a2bx（ab）+y（a+b），并求出满足条件的x，y，是解答的关键，属于基础题二、选择题.13.设是等差数列，且，则的通项公式为_【答案】【解析】【分析】先根据条件列关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.【详解】设等差数列的公差为，【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路，一是利用基本量，将多元问题简化为首项与公差（公比）问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确：二是利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体
9、现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.14.不等式组的解集为_.【答案】x|0x1【解析】【分析】直接利用二次不等式的解法求解即可【详解】解：x210，1x1，x23x0，0x3，0x1.故答案：x|0x1【点睛】本题考查二次不等式的解法，考查计算能力15.若，且，则的最大值为_【答案】【解析】【详解】根据题意，由于，且，那么可知12xy2,xy,因此答案为.考点：均值不等式运用点评：主要是考查了一正二定三相等的均值不等式的求解最值的运用，属于基础题。16.已知x，y满足，则z=2x+y的最大值为_【答案】4【解析】【分析】先作出不等式组对应的区域，由图形判断出最优
10、解，代入目标函数计算出最大值即可.【详解】解：由已知不等式组得到平面区域如图：目标函数变形为，此直线经过图中A时在轴截距最大，由得到，所以的最大值为；故答案为：4【点睛】本题考查简单的线性规划，其中数形结合的应用是解决本题的关键，属于基础题.三、解答题.17.在中,角、的对边分别为、,且(1)求的值;(2)若,且,求和的值.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）由正弦定理得，又，即，,又，.(2）由得，又，由，,可得，即，考点：本题主要考查平面向量的数量积，两角和与差的三角函数，正弦定理、余弦定理的应用。点评：典型题，近些年来，将平面向量、三角函数、三角形问题等结合考查，已成较固定模式。
11、研究三角函数问题时，往往要利用三角公式先行“化一”。本题（2）通过构建a，c的方程组，求得a,c。18.已知数列的前项和为.（1）求这个数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）当且时，利用求得，经验证时也满足所求式子，从而可得通项公式；（2）由（1）求得，利用错位相减法求得结果.【详解】（1）当且时，当时，也满足式数列的通项公式为：（2）由（1）知：【点睛】本题考查利用求解数列通项公式、错位相减法求解数列的前项和的问题，关键是能够明确当数列通项为等差与等比乘积时，采用错位相减法求和，属于常考题型.19.已知数列中，.(1)求数列的通项公式:(2)
12、设，求数列的通项公式及其前项和.【答案】(1) (2) ，【解析】【分析】(1) 利用累加法得到答案.(2)计算，利用裂项求和得到前项和.【详解】(1)由题意可知左右累加得.(2) .【点睛】本题考查了数列的累加法，裂项求和法，是数列的常考题型.20.已知数列中，.（1）令，求证：数列为等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）令，为数列的前项和，求.【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）依题意，求出，再求的值，从而根据等比数列的定义证明结论；（2）由（1）可求数列的通项公式，从而根据求得数列的通项公式；（3）根据分组求和法求出即可.【详解】（1），故数列是以为首项，以为公比的等比数列.（2）由（1）知，由，得数列的通项公式为.（3）由（2）知，.【点睛】本题考查等比数列的定义和通项公式，考查构造数列的方法和由分组求和法求数列的前n项和，注意认真计算，规范书写，属中档题.21.（1）已知，比较与的大小；（2）已知，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用作差比较法即可得出结果；（2）先对乘以1结果保持不变，将看为一个整体代入得，展开运用基本不等式可求得最小值，得到结果.【详解】（1），又，（2），当且仅当即当时等号成立故的取值范围是【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点应用作差法比较式子的大小，利用基本不等式求最值，属于简单题目.
