1、试卷类型：A2011届高三原创月考试题四数学适用地区：大纲地区 考查范围：集合与简易逻辑、函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、直线与圆的方程、 圆锥曲线 、直线与平面、简单的几何体 建议使用时间：2010年11月底一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1（理）（2010湖北八市联考）设全集为，用集合的交集、并集、补集分别表示右边韦恩图中 、四个部分为：部分：，部分：， 部分：，部分:，其中表示错误的是 （ ）A部分 B部分 C部分 D部分 1题图（理） 1题图（文）（文）（2010滦县一中三模）如图，I是全集，M、P、S是I的高*考#资源*网3个子集，则阴影部分所表示的高*考
2、#资源*网集合是 （ ）AS BS C D2已知数列为等差数列，且，则的值为 （ ）A B C D3. （2010黄冈中学五月适应性考试）已知直线、和平面、满足，则（ ）A B或 C D或4. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ ）A B C D 5（2010淄博二模）已知函数的反函数为，且有，若,，则的最小值为（ ）A B C D6（理）（2010顺义二模）已知向量，且，则锐角等于（ ） A. B. C. D. （文）（2010深圳市第二次调研）在ABC中，若4，则是（ ）A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不能确定7（2010襄
3、樊五中五月调研）若的图像按照向量平移后得到的图象，则可以是（ ）ABCD8 （理）（2010曲靖一中高考冲刺卷数学(六) ）若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合，则双曲线的离心率为( )A2 B C D(文) （2010襄樊五中五月调研） “双曲线的方程为 ”是“双曲线的离心率为”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9（2010湖北二模）如图，在直三棱柱中，1，2，、分别是、的中点，则直线与平面所成的角为 （ ）A B C D (9题图) (10题图理)10（理）（2010成都三模）如图所示，在正三棱锥中， 、分别是、的中点，且，若侧棱则正三棱锥外接球的
4、表面积是 （ ）A12B32C36D48(文) （2010辽宁卷文）已知是球表面上的点，则球的表面积等于（ ）A B C D11（2010福州三中五月模拟）若点是以为焦点的椭圆上一点，且，则此椭圆的离心率等于( )ABCD12（理）（2010湖北三模）已知函数是奇函数且是R上的增函数，若满足不等式，则的最大值是（ ）A B C D（文）（2010湖南师大附中第二次月考试卷）已知定义在R上的函数满足：对任意R，都有成立，且当时，(其中为的导数).设，则三者的大小关系是 （ ）A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分)13（2010东城一模）海上有、三个小岛，测得、
5、两岛相距10 nmile，则、间的距离是 n mile14（理）（2010普陀二模）已知椭圆的参数方程为（），则该椭圆的焦距为 . （文）（2010山东德州一模）已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点， 是的中点，若(为坐标原点)，则等于 .15（2010隆尧一中四月模拟）若在(-1,+)上满足对任意，都有, 则的取值范围是 16（2010黄冈中学五月适应性考试）给出下列四个命题：“向量的夹角为锐角”的充要条件是“”；如果，则对任意的、，且，都有；将4个不同的小球全部放入3个不同的盒子，使得每个盒子至少放入1个球，共有72种不同的放法；记函数的反函数为，要得到的图象，可以先将的图象关于直线做对
6、称变换，再将所得的图象关于轴做对称变换，再将所得的图象沿轴向左平移1个单位，即得到的图象其中真命题的序号是 （请写出所有真命题的序号）三、解答题(本大题共6小题，共70分)17（10分）（2010唐山一模）在ABC中，、分别是角、所对的边，且 （I）求；（II）若的最大值.18（12分）（2010合肥二次质检）各项均不为零的数列，首项，且对于任意均有（I）求数列的通项公式；（II）数列的前项和为，求证：19（12分）（2010湖北八校第二次联考）如图，在直角梯形中，/，当分别在线段、上，且时，=3，=4，=2，现将梯形沿折叠，使平面与平面垂直. （I）证明：直线与是异面直线； （II）当直线与
7、平面所成角为30时，求二面角的余弦值.20（12分）（理）（2010北京石景山统一测试）已知函数（I）若，求曲线处的切线；（II）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围； （III）设函数上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.（文）（2010宝鸡质检（二）已知函数（I）当=1时，求的单调区间；（II）求函数上的最小值21（12分）（理）（2010海淀第二学期期中练习）如图，在三棱柱中，侧面底面，且为中点.（I）证明：平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值； （III）在上是否存在一点，使得平面，若不存在，说明理由；若存在，确定点的位置.(文) （2010海淀第二学期期中练习）如
8、图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，点，分别为，的中点，且. （I）证明：平面； （II）求三棱锥的体积； （III）在线段上是否存在一点，使得平面；若存在，求出的长，若不存在，说明理由.22.（14分）（理）（2010福建普通高中毕业班质量检查）已知中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴的双曲线过点，且点在 轴的射影恰为该双曲线的一个焦点.（I）求双曲线的方程；（II）命题：“过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是”命题中涉及了这么几个要素；给定的圆锥曲线，过该圆锥曲线焦点的弦，的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点，的长度与、两点间的距离的
9、比值.试类比上述命题，写出一个关于双曲线的类似的正确命题，并加以证明；（III）试推广（II）中的命题，写出关于圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的统一的一般性命题（不必证明）.（文）（2010福建普通高中毕业班质量检查）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点（1，2）.（I）求抛物线的方程；（II）命题：“过椭圆的一个焦点作与轴不垂直的任意直线交椭圆于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是”命题涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线，过该圆锥曲线焦点的弦，的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点，的长度与、两点间距离的比值.试类比上述命题，写出一个关于抛物线的类似的正确命题，并加
10、以证明； （III）试推广（II）中的命题，写出关于抛物线的一般性命题（不必证明）.参考答案 一、选择题1.（理）【答案】D 【解析】部分表示的是，即.（文）【答案】C【解析】 依题意，由图知，阴影部分对应的元素具有性质，所以阴影部分所表示的高*考#资源*网集合是（MP），选择C . 2.【答案】A 【解析】由得：所以，所以，选择A3.【答案】D 【解析】垂直于平面的垂线，或，选择D4.【答案】A【解析】依题意，设所求双曲线方程为（0），它的焦点坐标为（,0）,所以，解得=，双曲线方程为，选择A.5.【答案】C【解析】依题意，a+b=3，=，选择C.6.（理）【答案】B【解析】依题意，, 为锐
11、角，所以=.（文）【答案】C【解析】依题意，由正弦定理得:=，令=，则最大角为，=,所以是钝角三角形，选择C.7.【答案】B【解析】依题意，,所以=，选择B.8.（理）【答案】B【解析】抛物线的准线为，即双曲线的左准线为，故=4，所以离心率为.（文）【答案】A【解析】由双曲线的方程为=，但=不一定要求双曲线的方程必为，故选A.9.【答案】A【解析】取AC中点F，连接DF，BF，则易知BFDE，过F作FHBC于H，则FH平面BCC1B1，则角FBH为所求，在直角三角形FHB中，FH=,BF=AC=1，所以FBH=30，选择A. 10.（理）【答案】C【解析】因为MNAM，所以SBAM，又SBAC
12、，所以侧面三角形为等腰直角三角形，所以SA=SB=SC=2，所以2R=(2)=6，所以S=(2R)2=36.（文）【答案】A【解析】由已知，球的直径为，表面积为，选择A.11.【答案】A【解析】因为，即PF1PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=4c2，又因为所以|PF1|=2|PF2|.由椭圆的定义知：|PF1|+|PF2|=2a，即3|PF2|=2a，即|PF2|=a，代入|PF1|2+|PF2|2=4c2，解得e=.12.（理）【答案】C 【解析】 因为是奇函数且是R上的增函数，且，则 即, 其轨迹为以（1，1）为圆心，为半径的圆面，则表圆面上一点与（0，0）的距离的平方，所以，选择C
13、.（文）【答案】B【解析】由可得，函数的图象关于直线对称，所以又当时，即，则在上单调递增所以即，故选B.二、填空题13.【答案】【解析】由正弦定理知，解得OxyMF1F2N14.（理）【答案】6【解析】依题意，a=5，b=4，c=3，该椭圆的焦距为6.（文）【答案】6【解析】如图所示，|MF2|=2|ON|=2，所以|MF1|=2a|MF2|=82=615.【答案】 【解析】，中心为，由题意知在上是减函数，故得 .16.【答案】【解析】“向量的夹角为锐角”的充要条件是“，且”，为假命题；函数为上凸函数，对任意的、，且，都有，为真命题；将4个不同的小球全部放入3个不同的盒子，使得每个盒子至少放入
14、1个球，共有种不同的放法，为假命题；函数的反函数为，要得到的图象，可以先将的图象关于直线做对称变换，再将所得的图象关于y轴做对称变换，再将所得的图象沿x轴向右平移1个单位，即得到的图象，为假命题综上，只有是真命题三、解答题17.解：（I）由及正弦定理，得， （II） 由余弦定理得，当且仅当时取等号，所以 的最大值是18.解：（I）由,得，则,所以是以3为公比，为首项的等比数列， . （II），所以. 19.解：（I）法一：（反证法）假设, 共面，则或与相交,若,又,则，矛盾.若,则,与矛盾.法二：在取一点，使,又, 是平行四边形. ,则确定平面,.与是异面直线. （II）法一：连接,平面平面,
15、平面.是直线与平面所成的角，,.,又.延长，与的延长线相交于，过作于，连接,则.是二面角的平面角，又,则.,，,二面角的余弦值是.法二：，面面平面.又.以为坐标原点，为x轴，为轴，为z轴建立空间直角坐标系，可得 .连接.由于平面,则与平面所成的角为，. ,则，可求得.则点，设平面的法向量,则有，可取.平面的法向量.即当直线与平面所成角的大小为时，二面角的余弦值为.20. (理)解：（I）当时，函数， ，曲线在点处的切线的斜率为 ，从而曲线在点处的切线方程为即. （II）令，要使在定义域内是增函数，只需在（0，+）内恒成立，由题意的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，只需1时，在（0，+）内为
16、增函数，正实数的取值范围是 . （III）上是减函数，时，即 .当时，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以当上，所以内是减函数.当时， ，因为，所以此时，内是减函数.故当时，上单调递减，不合题意；当时，由0，所以.又由（II）知当时，上是增函数，不合题意；当1时，由（II）知上是增函数， ,又上是减函数，故只需时,而，即解得，所以实数的取值范围是.(文)解：（I）当=1时，令，列表：-1（-1，1）1+0-0+极大值极小值的单调递增区间是；单调递减区间是（-1，1）. （II）由.，当时，01-0+0 1-3a当时，取得最小值，最小值为当时，上是减函数，当=1时，取得最小值，最
17、小值为1-3 综上可得：21.(理)解：（I）证明：因为，且为的中点，所以，又由题意可知，平面平面，交线为，且平面，所以平面.B （II）如图，以为原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系.由题意可知，又，所以得.则，设平面的一个法向量为，则令，得所以，因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以（III）设，即，所以，令/平面，得即即存在这样的点，为的中点.（文）解：（I）证明：因为为菱形，所以=，又=60，所以，又为的中点，所以，而平面，平面，所以，又=，所以平面. （II）因为，又平面，=2，所以=1，所以，三棱锥的体积. （III）存在，取中点，连结、，因为，分别为，的中点，所以，
18、又在菱形中，所以NE，即是平行四边形，所以/，又平面，平面，所以/平面，即在上存在一点，使得/平面，此时22.（理）解：（法一）（I）依题意，可设双曲线的方程为由已知得，的一个焦点（2，0），所以的另一个焦点（-2，0），由 ，得所以所以双曲线的方程为；（II）关于双曲线的类似命题为：过双曲线的焦点（2，0）作与轴不垂直的任意直线交双曲线于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是 证明： 由于与轴不垂直，可设直线的方程为 因为时，由依题意与有两个交点、， 所以,设则，所以线段的中点的坐标为的垂直平分线的方程为：令=0，解得即所以又所以（III）过圆锥曲线的焦点作与焦点所在的对称轴不
19、垂直的任意直线交于、两点，线段的垂直平分线交焦点所在的对称轴于点M，则为定值，定值是（其中为圆锥曲线的离心率）.（法二）（I）依题意，可设双曲线的方程为,由已知可得解得所以双曲线的方程为. （II）（III）同解法一.（文）解：（法一）（I）依题意，可设抛物线的方程为： , 抛物线过点（1，2）, ，解得,抛物的方程为（II）关于抛物线的类似命题为：过抛物线的焦点（1，0）作与轴不垂直的任意直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是2. 证明：设直线的方程为,代入，消去,因为,可设,则,所以线段的中点的坐标为, 的垂直平分线的方程为,令，解得,即,所以 ,由抛物线定义可
20、知,所以（III）过抛物线的焦点F作与对称轴不垂直的任意直线交抛物线于A、B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于点，则为定值，且定值是2; (法 二)（I）同解法一. （II）关于抛物线的类似命题为：过抛物线的焦点（1，0）作与轴不垂直的任意直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是2. 证明：设直线的方程为,代入，消去得，因为,可设,则,所以线段中点的坐标为，的垂直平分线的方程为.令，解得，即，所以，由抛物线定义可知，所以 （III）同解法一.（法三）（I）同解法一. （II）关于抛物线的类似命题为：过抛物线的焦点（1，0）作与轴不垂直的任意直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交轴于点，则为定值，且定值是2. 证明：依题意，直线与抛物线必有两个交点A、B,设,线段的中点为,又直线轴不垂直， ，由 ，-并整理得，即，所以的垂直平分线的方程为，令，得，即，所以由抛物线定义可知，所以 . （III ）同解法一.
