1、2016-2017学年江苏省无锡市江阴二中高三（上）质检数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1已知集合A=1，1，2，3，B=1，0，2，则AB=2若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=3己知向量=（l，2），=（x，2），且丄（），则实数x=4如图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为5已知幂函数f（x）=kx的图象过点（，），则k+=6函数y=（xe）的值域是7已知0，sin=，cos（+）=，则sin=8设Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和，若a1=20，且a2，a5，a7成等比数列，则S10=9在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b
2、，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=10把函数y=sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小值为11函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=5，则ff（5）=12设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=9x+7若f（x）a+1对一切x0成立，则a的取值范围为13如图所示，已知点O为ABC的重心，OAOB，AB=6，则的值为14已知函数f（x）=|x2+x2|，xR若方程f（x）a|x2|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为二、解答题：本大题共6小题，满分90分.解答须写出文字说明、证明过
3、程或演算步骤.15（14分）函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示（）求f（x）的最小正周期及解析式；（）设g（x）=f（x）cos2x，求函数g（x）在区间0，上的最小值16（14分）如图，在OAB中，已知P为线段AB上的一点，=x+y（1）若=，求x，y的值；（2）若=3，|=4，|=2，且与的夹角为60时，求 的值17（14分）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完（
4、）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？18（16分）已知数列an中，a1=3，前n和Sn=（n+1）（an+1）1求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式设数列的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得TnM对一切正整数n都成立？若存在，求M的最小值，若不存在，试说明理由19（16分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且=（）求x1+x2的值及y1+y2的值（）已知S1=0，当n2时，Sn=+，求Sn；（）在（）的条件下，设an=，Tn为数列an的前n项和
5、，若存在正整数c、m，使得不等式成立，求c和m的值20（16分）已知函数f（x）=ax+bx（a0，b0，a1，b1）（1）设a=2，b=求方程f（x）=2的根；若对于任意xR，不等式f（2x）mf（x）6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0a1，b1，函数g（x）=f（x）2有且只有1个零点，求ab的值2016-2017学年江苏省无锡市江阴二中高三（上）质检数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.1（2013秋广陵区校级期末）已知集合A=1，1，2，3，B=1，0，2，则AB=1，2【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】利用交集定义求解【解答】解：A=
6、1，1，2，3，B=1，0，2，AB1，2故答案为：1，2【点评】本题考查交集的求法，解题时要认真审题，是基础题2（2016秋江阴市校级月考）若复数z满足z（1+i）=2i（i为虚数单位），则|z|=【考点】复数求模【专题】数系的扩充和复数【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：复数z满足z（1+i）=2i，（1i）z（1+i）=2i（1i），化为2z=2（i+1），z=1+i|z|=故答案为：【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题3（2016大兴区一模）己知向量=（l，2），=（x，2），且丄（），则实数x=9【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐
7、标运算【专题】计算题；规律型；方程思想；向量法；平面向量及应用【分析】利用向量的垂直关系，通过数量积求解即可【解答】解：向量=（l，2），=（x，2），且丄（），可得（1，2）（1x，4）=0即9x=0，解得x=9故答案为：9【点评】本题考查平面向量数量积的运算，考查计算能力4（2014南京校级四模）如图是一个算法的伪代码，则输出的i的值为5【考点】伪代码【专题】算法和程序框图【分析】算法的功能是求满足S=9（1+2+3+i）0的最大正整数i+1的值，计算S的值确定输出i的值【解答】解：由算法语句知：算法的功能是求满足S=9（1+2+3+i）0的最小正整数i+1的值，S=9（1+2+3）=30
8、，S=9（1+2+3+4）=10，输出的i值为5故答案为：5【点评】本题考查了当型循环结构的程序语句，根据算法的流程判断算法的功能是解题的关键5（2012涪城区校级模拟）已知幂函数f（x）=kx的图象过点（，），则k+=【考点】幂函数的图象【专题】计算题【分析】根据幂函数系数为1，可以求出k的值，又由幂函数f（x）=kx的图象过点（，），我们将点的坐标代入函数解析式，易求出a值，进而得到k+的值【解答】解：由幂函数的定义得k=1，再将点（，）代入得=（），从而=，故k+=故答案为：【点评】本题考查的知识点是幂函数的定义及幂函数的图象，其中利用幂函数的定义，得到k=1是解答本题的关键6（2014
9、镇江二模）函数y=（xe）的值域是（0，1【考点】函数的值域【专题】函数的性质及应用【分析】根据函数y=lnx的单调性，判定y=在xe时的单调性，从而求出函数y的值域【解答】解：对数函数y=lnx在定义域上是增函数，y=在（1，+）上是减函数，且xe时，lnx1，01；函数y的值域是（0，1故答案为：（0，1【点评】本题考查了求函数的值域问题，解题时应根据基本初等函数的单调性，判定所求函数的单调性，从而求出值域来，是基础题7（2016秋江阴市校级月考）已知0，sin=，cos（+）=，则sin=【考点】两角和与差的正弦函数【专题】三角函数的求值【分析】利用=+，然后利用两角和差的正弦公式即可得
10、到结论【解答】解：0，+，cos（+）=，sin=sin（+）=，cos=，当sin（+）=时，sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=当sin（+）=时，sin=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=，此时不成立故答案为：【点评】本题主要考查三角函数值的计算，利用条件角之间的关系，利用两角和差的正弦公式是解决本题的关键8（2012江苏三模）设Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和，若a1=20，且a2，a5，a7成等比数列，则S10=110【考点】等比数列的性质；等差数列的前n项和【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由题意可得，由等差数列的通项公式可
11、求d，由等差数列的求和公式可求【解答】解：a1=20，且a2，a5，a7成等比数列即（20+4d）2=（20+d）（20+6d）整理可得，d=2由等差数列的求和公式可得，=110故答案为：110【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式、求和公式，等比数列的性质的应用，属于基本运算的考查9（2014甘肃二模）在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=30【考点】正弦定理【专题】解三角形【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数
12、【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b，代入得a2b2=bc=6b2，即a2=7b2，由余弦定理得：cosA=，A为三角形的内角，A=30故答案为：30【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键10（2016秋江阴市校级月考）把函数y=sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位，所得图象关于y轴对称，则的最小值为【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，可得 =，kZ，从而求得的最小值【解答】解：把
13、函数y=sin（2x+）的图象向右平移（0）个单位，所得图象对应的解析式为 y=sin2（x）+=sin（2x+2），再根据所得图象关于y轴对称，可得2=k+，kZ，即 =，kZ，则的最小值为，故答案为：【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题11（2006安徽）函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，若f（1）=5，则ff（5）=【考点】函数的周期性【专题】计算题；压轴题【分析】由已知中函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，我们可确定函数f（x）是以4为周期的周期函数，进而根据周期函数的性质，从内到外依次去
14、掉括号，即可得到答案【解答】解：函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，f（x+4）=f（x+2）+2=f（x），即函数f（x）是以4为周期的周期函数，f（1）=5ff（5）=ff（1）=f（5）=f（3）=故答案为：【点评】本题考查的知识点是函数的周期性，函数的值，其中根据已知中函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=，判断出函数f（x）是以4为周期的周期函数，是解答本题的关键12（2013上海）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=9x+7若f（x）a+1对一切x0成立，则a的取值范围为【考点】函数奇偶性的性质；基本不等式【专题】函数的性质及
15、应用【分析】先利用y=f（x）是定义在R上的奇函数求出x0时函数的解析式，将f（x）a+1对一切x0成立转化为函数的最小值a+1，利用基本不等式求出f（x）的最小值，解不等式求出a的范围【解答】解：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x=0时，f（x）=0；当x0时，则x0，所以f（x）=9x+7因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（x）=9x+7；因为f（x）a+1对一切x0成立，所以当x=0时，0a+1成立，所以a1；当x0时，9x+7a+1成立，只需要9x+7的最小值a+1，因为9x+72=6|a|7，所以6|a|7a+1，解得，所以故答案为：【点评】本题考查函数解析式的
16、求法；考查解决不等式恒成立转化成求函数的最值；利用基本不等式求函数的最值13（2016江苏模拟）如图所示，已知点O为ABC的重心，OAOB，AB=6，则的值为72【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；平面向量及应用【分析】由三角形的重心的向量表示，可得=（+），由向量的三角形法则，代入向量OC，再由向量垂直的条件和勾股定理，计算即可得到所求值【解答】解：连接CO延长交AB于M，则由O为重心，则M为中点，且=2=2（+）=（+），由OAOB，AB=6，则=0，+=36则=（）（）=（2+）（2+）=5+2（+）=0+236=72故答案为：72【点评】本题考查三角形重心的向量表示，考查向量垂
17、直的条件，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题14（2014秋武进区期中）已知函数f（x）=|x2+x2|，xR若方程f（x）a|x2|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）（9，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用【分析】由y=f（x）a|x2|=0得f（x）=a|x2|，显然x=2不是方程的根，则a=|，令x2=t，则a=|t+5|有4个不相等的实根，画出y=|t+5|的图象，利用数形结合即可得到结论【解答】解：方程f（x）a|x2|=0，即为f（x）=a|x2|，即有|x2+x2|=a|x2|，显然x=2不是方程
18、的根，则a=|，令x2=t，则a=|t+5|有4个不相等的实根，画出y=|t+5|（t0）的图象，如右图：在4t1时，t+52+5=1在x2时，t+59，则要使直线y=a和y=|t+5|的图象有四个交点，则a的范围是（0，1）（9，+），故答案为（0，1）（9，+）【点评】本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，满分90分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15（14分）（2015秋潮南区期末）函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象如图所示（）求f（x）的最小正周期及解析式；（）设g（x）=f（x）cos2x，
19、求函数g（x）在区间0，上的最小值【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值【专题】数形结合；综合法；三角函数的图像与性质【分析】（）根据图象求出A，计算周期T，将x的值代入表达式求出对应的系数，求出函数的解析式即可；（）求出g（x）的表达式，将其化简，根据三角函数的性质求出其最小值即可【解答】解：（）由图可知A=1，T=，=2（2分）当时，f（x）=1，可得，（）=（7分）（8分），g（x）的最小值为（10分）【点评】本题考查了求三角函数的解析式，考查三角函数的性质，是一道中档题16（14分）（2011启东市校级一模）如图，在OAB中，已知P为线段AB上的一点，=x
20、+y（1）若=，求x，y的值；（2）若=3，|=4，|=2，且与的夹角为60时，求 的值【考点】平面向量数量积的运算；向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则；数量积表示两个向量的夹角【专题】计算题【分析】（1），据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，利用平面向量基本定理求出x，y的值（2）利用向量的运算法则将用表示，利用向量数量积的运算律将用的模及它们的数量积表示求出值【解答】解：（1），即，即，（2），即，=【点评】本题考查向量的加法、减法的运算法则；向量的数量积及其运算律；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，从而将未知向量的数量积，用已知向量的数量积表示17（14分）（2
21、016春泉州校级期末）某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，C（x）=（万元）当年产量不小于80千件时，C（x）=51x+（万元）每件商品售价为0.05万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完（）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【考点】函数最值的应用【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】（）分两种情况进行研究，当0x80时，投入成本为C（x）=（万元），根据年利润=销售收入成本，列出函数关系式，当x80时，投入成本为C（x）=51x+，根据
22、年利润=销售收入成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0x80时，利用二次函数求最值，当x80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案【解答】解：（）每件商品售价为0.05万元，x千件商品销售额为0.051000x万元，当0x80时，根据年利润=销售收入成本，L（x）=（0.051000x）10x250=+40x250；当x80时，根据年利润=销售收入成本，L（x）=（0.051000x）51x+1450250=1200（x+）综合可得，L（x）=（）由（）可知，当0x80时，L（x）=+40x250=，当x=
23、60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元；当x80时，L（x）=1200（x+）12002=1200200=1000，当且仅当x=，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元综合，由于9501000，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元【点评】考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力18（16分）（2015惠州模拟）已知数列an中，a1=3，前n和Sn=（n+1）（an+1）1求证：数列an是等差数列求数列an的通项公式设数列的前n项和为Tn，是否存在实数M，使得TnM对一切正整数n都成立？若存
24、在，求M的最小值，若不存在，试说明理由【考点】数列递推式；等差数列的通项公式；等差关系的确定；数列的求和【专题】综合题；等差数列与等比数列【分析】由Sn=（n+1）（an+1）1，得，两式相减后整理可得nan+1=（n+1）an1（1），则（n+1）an+2=（n+2）an+11（2），两式相减整理后利用等差中项公式可判断；由知，nan+1=（n+1）an1，可求得a2=2a11=5，又a1=3可求公差，从而可得an；使得TnM对一切正整数n恒成立，等价于Tn的最大值小于等于M，利用裂项相消法可求得Tn，进而可求得其最大值；【解答】解：Sn=（n+1）（an+1）1，an+1=Sn+1Sn=，
25、整理得，nan+1=（n+1）an1（1）（n+1）an+2=（n+2）an+11（2）（2）（1），得（n+1）an+2nan+1=（n+2）an+1（n+1）an，2（n+1）an+1=（n+1）（an+2+an），2an+1=an+2+an，数列an为等差数列由知，nan+1=（n+1）an1，得a2=2a11=5，又a1=3，a2a1=2，即公差为2，an=3+（n1）2=2n+1；=（），=，又当nN*时，要使得TnM对一切正整数n恒成立，只要M，存在实数M使得TnM对一切正整数n都成立，M的最小值为【点评】本题考查等差关系的确定、等差数列的通项公式及数列求和，恒成立问题常转化为函数
26、最值解决，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握19（16分）（2015天津校级二模）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且=（）求x1+x2的值及y1+y2的值（）已知S1=0，当n2时，Sn=+，求Sn；（）在（）的条件下，设an=，Tn为数列an的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式成立，求c和m的值【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；数列的求和；数列递推式；相等向量与相反向量【专题】计算题；综合题；压轴题；函数思想；转化思想；解题方法【分析】（）设出M的坐标，求出，利用=求出x1+x2的值，再用求出y1+y
27、2的值（）利用（）的结论，化简Sn=+，可求Sn；（）在（）的条件下，利用an=，Tn为数列an的前n项和，求出Tn的表达式，结合不等式，推出c，m的范围，正整数c、m，可得c和m的值【解答】解：（）点M在直线x=上，设M又=，即，x1+x2=1（2分）当x1=时，x2=，y1+y2=f（x1）+f（x2）=11=2；当x1时，x2，y1+y2=+=；综合得，y1+y2=2（）由（）知，当x1+x2=1时，y1+y2=2，k=1，2，3，n1（7分）n2时，Sn=+，Sn=，+得，2Sn=2（n1），则Sn=1nn=1时，S1=0满足Sn=1nSn=1n（10分）（）an=21n，Tn=1+=
28、.Tm+1=2，2TmTm+1=2+=2，c、m为正整数，c=1，当c=1时，12m3，m=1（14分）【点评】本题考查分段函数，数列的求和，数列递推式，相等向量与相反向量，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题20（16分）（2016江苏）已知函数f（x）=ax+bx（a0，b0，a1，b1）（1）设a=2，b=求方程f（x）=2的根；若对于任意xR，不等式f（2x）mf（x）6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0a1，b1，函数g（x）=f（x）2有且只有1个零点，求ab的值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；函数零点的判定定理【专题】计算题；规律型；转化思想；函数
29、的性质及应用；导数的综合应用【分析】（1）利用方程，直接求解即可列出不等式，利用二次函数的性质以及函数的最值，转化求解即可（2）求出g（x）=f（x）2=ax+bx2，求出函数的导数，构造函数h（x）=+，求出g（x）的最小值为：g（x0）同理若g（x0）0，g（x）至少有两个零点，与条件矛盾若g（x0）0，利用函数g（x）=f（x）2有且只有1个零点，推出g（x0）=0，然后求解ab=1【解答】解：函数f（x）=ax+bx（a0，b0，a1，b1）（1）设a=2，b=方程f（x）=2；即：=2，可得x=0不等式f（2x）mf（x）6恒成立，即m（）6恒成立令t=，t2不等式化为：t2mt+4
30、0在t2时，恒成立可得：0或即：m2160或m4，m（，4实数m的最大值为：4（2）g（x）=f（x）2=ax+bx2，g（x）=axlna+bxlnb=ax+lnb，0a1，b1可得，令h（x）=+，则h（x）是递增函数，而，lna0，lnb0，因此，x0=时，h（x0）=0，因此x（，x0）时，h（x）0，axlnb0，则g（x）0x（x0，+）时，h（x）0，axlnb0，则g（x）0，则g（x）在（，x0）递减，（x0，+）递增，因此g（x）的最小值为：g（x0）若g（x0）0，xloga2时，ax=2，bx0，则g（x）0，因此x1loga2，且x1x0时，g（x1）0，因此g（x）在（x1，x0）有零点，则g（x）至少有两个零点，与条件矛盾若g（x0）0，函数g（x）=f（x）2有且只有1个零点，g（x）的最小值为g（x0），可得g（x0）=0，由g（0）=a0+b02=0，因此x0=0，因此=0，=1，即lna+lnb=0，ln（ab）=0，则ab=1可得ab=1【点评】本题考查函数与方程的综合应用，函数的导数的应用，基本不等式的应用，函数恒成立的应用，考查分析问题解决问题的能力
