1、2015-2016学年江西省鹰潭市余江一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m2）x+3y+2m=0，若l1l2，则实数m的值是（）A3B1，3C1D32已知双曲线（a0，b0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=Dy=3过点P（a，5）作圆（x+2）2+（y1）2=4的切线，切线长为2，则a等于（）A1B2C3D04椭圆的离心率为e，点（1，e）是圆x2+y24x4y+4=0的一条弦的中点，
2、则此弦所在直线的方程是（）A3x+2y4=0B4x+6y7=0C3x2y2=0D4x6y1=05方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|n|0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）ABCD6点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，1）的距离与到直线x=1的距离和的最小值是（）ABC2D7已知抛物线y2=2px（p0）与椭圆（ab0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AFx轴，则椭圆的离心率为（）A1B1CD8设抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA丄l，垂足为A，如果APF为正三角形，那么|PF|等于（）A4B6C6D129P是长轴在x轴上的椭
3、圆=1上的点F1，F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则|PF1|PF2|的最大值与最小值之差一定是（）A1Ba2Cb2Dc210已知点P是椭圆+y2=1上的任意一点，A（4，0），若M为线段PA中点，则点M的轨迹方程是（）A（x2）2+4y2=1B（x4）2+4y2=1C（x+2）2+4y2=1D（x+4）2+4y2=111已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A（1，2B（1，2）C2，+）D（2，+）12已知椭圆C1： =1（ab0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA
4、，PB，切点为A，B使得BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）ABCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为14点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，P到原点的距离的最大值为5，则a的值为15点P（8，1）平分双曲线x24y2=4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是16已知F1、F2分别是双曲线=1的左右焦点，P是双曲线上任意一点，的最小值为8a，则此双曲线的离心率e的取值范围是三、解答题：本大题共6小题、共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知平面区域D由以P（1，2）、R（3，5）、Q（3，4
5、）为顶点的三角形内部和边界组成（1）设点（x，y）在区域D内变动，求目标函数 z=2x+y的最小值；（2）若在区域D内有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=mx+y（m0）取得最小值，求m的值18已知，圆C：x2+y28y+12=0，直线l：ax+y+2a=0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程19已知抛物线E：x2=4y，过M（1，4）作抛物线E的弦AB，使弦AB以M为中点，（1）求弦AB所在直线的方程（2）若直线l：y=x+b与抛物线E相切于点P，求以点P为圆心，且与抛物线E的准线相切的圆的方程20已知圆，Q是圆上一动点，
6、AQ的垂直平分线交OQ于点M，设点M的轨迹为E（I）求轨迹E的方程；（）过点P（1，0）的直线l交轨迹E于两个不同的点A、B，AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程21已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点（，）（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由22如图，曲线由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（
7、1）若F2（2，0），F3（6，0），求曲线的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求CDF1面积的最大值2015-2016学年江西省鹰潭市余江一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知直线l1：x+my+6=0，l2：（m2）x+3y+2m=0，若l1l2，则实数m的值是（）A3B1，3C1D3【考点】直线的一般式方程与直线的
8、平行关系【专题】直线与圆【分析】直接利用两直线平行对应的系数关系列式求得m的值【解答】解：l1：x+my+6=0，l2：（m2）x+3y+2m=0，若l1l2，则，解得：m=1故选：C【点评】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，关键是对两直线系数所满足关系的记忆，是基础题2已知双曲线（a0，b0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=By=Cy=Dy=【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由抛物线的标准方程，得焦点坐标为F（4，0），也是双曲线的右焦点，得c=4根据双曲线的离心率为2，得a=c=1，从而
9、得到b=，结合双曲线的渐近线方程公式，可得本题的答案【解答】解：抛物线y2=16x的焦点坐标为F（4，0），双曲线一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，双曲线右焦点为F（4，0），得c=2双曲线的离心率为2，=2，得c=2a=2，a=1，由此可得b=，双曲线的渐近线方程为y=x已知双曲线的渐近线方程为y=x故选D【点评】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了抛物线和双曲线的简单几何性质等知识，属于基础题3过点P（a，5）作圆（x+2）2+（y1）2=4的切线，切线长为2，则a等于（）A1B2C3D0【考点】圆的切线方程【专题】直线与圆【分析】算出圆心为C（2，1）、半径r=
10、2，根据两点间的距离公式，算出圆心到点P的距离|CP|再由切线的性质利用勾股定理加以计算，可得a的值【解答】解：（x+2）2+（y1）2=4的圆心为C（2，1）、半径r=2，点P（a，5）到圆心的距离为|CP|=过切点的半径与切线垂直，根据勾股定理，得切线长为=解得：a=2故选：B【点评】本题考查求圆的经过点P的切线长着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式、切线的性质与勾股定理等知识，属于中档题4椭圆的离心率为e，点（1，e）是圆x2+y24x4y+4=0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是（）A3x+2y4=0B4x+6y7=0C3x2y2=0D4x6y1=0【考点】直线的一般式方程；椭
11、圆的简单性质【专题】计算题【分析】求出椭圆的离心率，然后求出（1，e）圆心的斜率，即可得到弦的斜率，求出直线方程【解答】解：椭圆的离心率为：，圆的圆心坐标（2，2），所以弦的斜率为： =，所以过点（1，）的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是y=（x1）即：4x+6y7=0故选B【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，求出弦的中点与圆心的连线的斜率是解题的关键5方程mx+ny2=0与mx2+ny2=1（|m|n|0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（）ABCD【考点】曲线与方程【专题】作图题；分类讨论【分析】当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|n|0）表示焦点
12、在y轴上的椭圆，当m和n异号时，抛物线 y2=开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|n|0）表示 双曲线【解答】解：方程mx+ny2=0 即 y2=，表示抛物线，方程mx2+ny2=1（|m|n|0）表示椭圆或双曲线当 m和n同号时，抛物线开口向左，方程mx2+ny2=1（|m|n|0）表示焦点在y轴上的椭圆，无符合条件的选项当m和n异号时，抛物线 y2=开口向右，方程mx2+ny2=1（|m|n|0）表示 双曲线，故选 A【点评】本题考查根据曲线的方程判断曲线的形状，体现了分类头论的数学思想，分类讨论是解题的关键6点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A（0，1）的距离与到直线x=1的
13、距离和的最小值是（）ABC2D【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题；数形结合；转化思想；解题方法；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设A（0，1），先求出焦点及准线方程，过P作PN 垂直直线x=1，有|PN|=|PF|，连接F、A，有|FA|PA|+|PF|，从而只求|FA|【解答】解：设A（0，1），由y2=4x得p=2， =1，所以焦点为F（1，0），准线x=1，过P作PN 垂直直线x=1，根据抛物线的定义，抛物线上一点到定直线的距离等于到焦点的距离，所以有|PN|=|PF|，连接F、A，有|FA|PA|+|PF|，所以P为AF与抛物线的交点，点P到
14、点A（0，1）的距离与点P到直线x=1的距离之和的最小值为|FA|=，故选：D【点评】本题考查抛物线的定义及简单性质，考查数形结合思想，属中档题7已知抛物线y2=2px（p0）与椭圆（ab0）有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AFx轴，则椭圆的离心率为（）A1B1CD【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】如图所示，由AFx轴，可得=c，分别代入椭圆与抛物线标准方程可得：A，即A（c，2c）代入椭圆的方程可得： =1，又b2=a2c2，利用离心率计算公式即可得出【解答】解：如图所示，AFx轴，=c，把x=代入抛物线方程可得：y2=，解得y=pA，即A（c，2c
15、）代入椭圆的方程可得： =1，又b2=a2c2，=1，化为e46e2+1=0，0e1解得e2=32，1故选：B【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8设抛物线y2=6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA丄l，垂足为A，如果APF为正三角形，那么|PF|等于（）A4B6C6D12【考点】抛物线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准线方程联立，解出A点坐标，因为PA丄l，所以P点与A点纵坐标相同，再代入抛物线方程求P点横坐标
16、，利用抛物线的定义就可求出|PF|长【解答】解：抛物线方程为y2=6x，焦点F（1.5，0），准线l方程为x=1.5，APF为正三角形，直线AF的斜率为，直线AF的方程为y=（x1.5），与x=1.5联立，可得A点坐标为（1.5，3）PAl，A为垂足，P点纵坐标为3，代入抛物线方程，得P点坐标为（4.5，3），|PF|=|PA|=4.5（1.5）=6故选：C【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，属于综合题9P是长轴在x轴上的椭圆=1上的点F1，F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则|PF1|PF2|的最大值与最小值之差一定是（）A1Ba2Cb2Dc2【考
17、点】椭圆的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意，设|PF1|=x，故有|PF1|PF2|=x（2ax）=x2+2ax=（xa）2+a2，其中acxa+c，可求y=x2+6x的最小值与最大值，从而可求|PF1|PF2|的最大值和最小值之差【解答】解：由题意，设|PF1|=x，|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2ax|PF1|PF2|=x（2ax）=x2+2ax=（xa）2+a2，acxa+c，x=ac时，y=x2+2ax取最小值b2，x=a时，y=x2+2ax取最大值为a2，|PF1|PF2|的最大值和最小值之差为a2b2=c2，故选：D【点评】本题以椭圆的标
18、准方程为载体，考查椭圆定义的运用，考查函数的构建，考查函数的单调性，属于基础题10已知点P是椭圆+y2=1上的任意一点，A（4，0），若M为线段PA中点，则点M的轨迹方程是（）A（x2）2+4y2=1B（x4）2+4y2=1C（x+2）2+4y2=1D（x+4）2+4y2=1【考点】轨迹方程【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设AP的中点M（x，y），点P（m，n），则+n2=1 ，把点M和点P坐标间的关系代入式建立关于x，y的方程即可得到线段AP的中点M的轨迹方程【解答】解：设AP的中点M（x，y），点P（m，n），则+n2=1 由中点公式
19、得 x=，y=，m=2x4，且n=2y ，把代入得+（2n）2=4，即（x2）2+4n2=1故选：A【点评】本题考查用代入法求轨迹方程，中点公式的应用，把中点M（x，y），点P（m，n） 坐标间的关系代入式，是解题的关键11已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A（1，2B（1，2）C2，+）D（2，+）【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；压轴题【分析】若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围【解答】解：已知双
20、曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率e2=，e2，故选C【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件12已知椭圆C1： =1（ab0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上存在点P，过P作圆的切线PA，PB，切点为A，B使得BPA=，则椭圆C1的离心率的取值范围是（）ABCD【考点】椭圆的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】利用O、P、A、B四点共圆的性质及椭圆离心率的概念，综合分析即可求得椭圆C的离心率的取值范围【解答】解：连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、
21、B四点共圆，BPA=，APO=BPO=，在直角三角形OAP中，AOP=，cosAOP=，|OP|=2b，b|OP|a，2ba，4b2a2，即4（a2c2）a2，3a24c2，即，又0e1，e1，椭圆C的离心率的取值范围是，1），故选：A【点评】本题考查椭圆的离心率，考查四点共圆的性质及三角函数的概念，考查转化与方程思想，属于难题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为2【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线方程得y2的分母m2+40，所以双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m0，可得c2=m2
22、+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2，建立关于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2【解答】解：m2+40双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m0，b2=m2+4c2=m+m2+4=m2+m+4双曲线的离心率为，可得c2=5a2，所以m2+m+4=5m，解之得m=2故答案为：2【点评】本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求参数的值，着重考查了双曲线的概念与性质，属于基础题14点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，P到原点的距离的最大值为5，则a的值为3【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用点到直线的距离，利用
23、数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象可知当P位于A时，P到原点的距离的最大值为5，此时，解得，即A（a，1+a），此时|OP|=，解得a=3故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用点到直线的距离公式即可得到结论，利用数形结合是解决本题的关键15点P（8，1）平分双曲线x24y2=4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是2xy15=0【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】设弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中点是P（8，1），知x1+x2=16，y1+y2=2，利用点差法
24、能求出这条弦所在的直线方程【解答】解：设弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点是P（8，1），x1+x2=16，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入双曲线x24y2=4，得，（x1+x2）（x1x2）4（y1y2）（y1+y2）=0，16（x1x2）8（y1y2）=0，k=2，这条弦所在的直线方程是2xy15=0故答案为：2xy15=0【点评】本题考查弦中点问题及直线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用16已知F1、F2分别是双曲线=1的左右焦点，P是双曲线上任意一点，的最小值为8a，则此双曲线的离心率e的取值范围是（1，3【
25、考点】双曲线的简单性质【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由定义知：|PF1|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|， =+4a+|PF2|8a，当且仅当=|PF2|，即|PF2|=2a时取得等号再由焦半径公式得双曲线的离心率e1的取值范围【解答】解：由定义知：|PF1|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，=+4a+|PF2|8a，当且仅当=|PF2|，即|PF2|=2a时取得等号设P（x0，y0） （x0a）由焦半径公式得：|PF2|=ex0a=2a，ex0=3ae=3又双曲线的离心率e1e（1，3故答案为：（1，3【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认
26、真审题，注意焦半径公式的合理运用三、解答题：本大题共6小题、共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知平面区域D由以P（1，2）、R（3，5）、Q（3，4）为顶点的三角形内部和边界组成（1）设点（x，y）在区域D内变动，求目标函数 z=2x+y的最小值；（2）若在区域D内有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=mx+y（m0）取得最小值，求m的值【考点】简单线性规划【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用【分析】（1）由z=2x+y得：y=2x+z，显然直线y=2x+z过Q（3，4）时：z最小，代入求出即可；（2）将目标函数z=x+my化成斜截式方程，令z=0，得到y=mx，
27、通过m0，得所求直线为和PR或QR平行的直线，判断即可【解答】解：（1）如图示：，由z=2x+y得：y=2x+z，显然直线y=2x+z过Q（3，4）时z最小，z的最小值是：2；（2）依题意，令z=0，可得直线mx+y=0的斜率为：m，结合可行域可知当直线mx+y=0与直线PR平行时，线段PR上的任意一点都可使目标函数z=mx+y取得最小值，而直线PR的斜率为，所以m=【点评】目标函数的最优解有无数多个，处理方法一般是：将目标函数的解析式进行变形，化成斜截式分析Z与截距的关系，是符号相同，还是相反根据分析结果，结合图形做出结论根据斜率相等求出参数18已知，圆C：x2+y28y+12=0，直线l：
28、ax+y+2a=0（1）当a为何值时，直线l与圆C相切；（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB=2时，求直线l的方程【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质【专题】计算题；综合题【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标与圆的半径r，（1）当直线l与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；（2）联立圆C和直线l的方程，消去y后，得到关于x的一元二次方程，然后利用韦达定理表示出AB的长度，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值【解答】解：将圆C的方程x2+
29、y28y+12=0配方得标准方程为x2+（y4）2=4，则此圆的圆心为（0，4），半径为2（1）若直线l与圆C相切，则有解得（2）联立方程并消去y，得（a2+1）x2+4（a2+2a）x+4（a2+4a+3）=0设此方程的两根分别为x1、x2，所以x1+x2=，x1x2=则AB=2两边平方并代入解得：a=7或a=1，直线l的方程是7xy+14=0和xy+2=0【点评】此题考查学生掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道综合题19已知抛物线E：x2=4y，过M（1，4）作抛物线E的弦AB，使弦AB以M为中点，（1）求弦AB所在直线的方程（
30、2）若直线l：y=x+b与抛物线E相切于点P，求以点P为圆心，且与抛物线E的准线相切的圆的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法，求出直线的斜率，然后求解直线方程（2）利用函数的导数求出曲线的斜率，求出切点坐标，得到圆的圆心坐标，求出圆的半径，即可求解圆的方程【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），抛物线E：x2=4y，过M（1，4）作抛物线E的弦AB，使弦AB以M为中点由，两式相减化简得KAB=，所以直线AB的方程为y4=（x0），即x2y+7
31、=0（2）设切点P（x0，y0），由x2=4y，得y=，所以=1，可得x0=2，即点P（2，1），圆P的半径为2，所以圆P的方程为：（x2）2+（y1）2=4【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查运算求解能力，平方差法以及设而不求方法的应用，注意解题方法的积累，属于中档题20已知圆，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交OQ于点M，设点M的轨迹为E（I）求轨迹E的方程；（）过点P（1，0）的直线l交轨迹E于两个不同的点A、B，AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程【分析】（1）由题意，所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，由此能求出轨迹
32、E的方程（2）记A（x1，y1），B（x2，y2），设AB：x=my+1，由，得：（4+m2）y2+2my3=0，由此能求出直线AB的方程【解答】（1）解：（1）由题意，所以轨迹E是以A，C为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹E的方程为（2）解：记A（x1，y1），B（x2，y2），由题意，直线AB的斜率不可能为0，故可设AB：x=my+1，由，消x得：（4+m2）y2+2my3=0，所以由，解得m2=1，即m=1故直线AB的方程为x=y+1，即x+y1=0或xy1=0为所求【点评】本题考查轨迹方程的求法和直线方程的求法，考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识考查运算求解能
33、力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想21已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且过点（，）（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量，得到椭圆的方程（2）联立直线与椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2）利用韦达定理，通过直线OP、OQ的斜率依次为k
34、1，k2，且4k=k1+k2，求解即可【解答】解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1所以椭圆C的方程是（2）当k变化时，m2为定值，证明如下：由得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）=0设P（x1，y1），Q（x2，y2）则x1+x2=，x1x2=（） 直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，4k=，得2kx1x2=m（x1+x2），将（）代入得：m2=，经检验满足0【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用22如图，曲线由曲线C1：和曲线C2：组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，
35、F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，（1）若F2（2，0），F3（6，0），求曲线的方程；（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A、B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上；（3）对于（1）中的曲线，若直线l1过点F4交曲线C1于点C、D，求CDF1面积的最大值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题【分析】（1）由F2（2，0），F3（6，0），可得，解出即可；（2）曲线C2的渐近线为，如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l：y=，与椭圆方程联立化为2x22mx+（m2a2）=0，利用0，根与系数的关系
36、、中点坐标公式，只要证明，即可（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）设直线l1的方程为x=ny+6（n0）与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出【解答】（1）解：F2（2，0），F3（6，0），解得，则曲线的方程为和（2）证明：曲线C2的渐近线为，如图，设直线l：y=，则，化为2x22mx+（m2a2）=0，=4m28（m2a2）0，解得又由数形结合知设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2=m，x1x2=，=，即点M在直线y=上（3）由（1）知，曲线C1：，点F4（6，0）设直线l1的方程为x=ny+6（n0），化为（5+4n2）y2+48ny+64=0，=（48n）2464（5+4n2）0，化为n21设C（x3，y3），D（x4，y4），|y3y4|=，=，令t=0，n2=t2+1，=，当且仅当t=，即n=时等号成立n=时， =【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题
