1、高二下学期数学周测（4）一：单项选择题。（共40分）1甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法()A10 B16 C20 D242.马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有()A60种 B20种 C10种 D8种3若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是()A20种 B19种 C10种 D9种4.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有()A24 B28 C36 D485.若()n的展开式中第
2、四项为常数项，则n()A4B5 C6 D76从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，在取到的2个数之和为偶数的条件下，取到的2个数均为奇数的概率为()A.B. C. D.7(x2x1)10展开式中x3项的系数为()A210 B210 C30 D308.设斜率为的直线l与椭圆1(ab0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.二：多项选择题。（共20分）9设函数f(x)，则下列说法正确的是()Af(x)的定义域是(0，) B当x(0,1)时，f(x)的图象位于x轴下方Cf(x)存在单调递增区间 Df(x)有且仅有两个极值点10.
3、 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，ABBC1，ABC90，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点下列判断中正确的是( )A直线AC与直线C1E是异面直线 BA1E一定不垂直AC1C三棱锥EAA1O的体积为定值 DAEEC1的最小值为211.如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的是()A平面D1A1P平面A1AP BAPD1的取值范围是C三棱锥B1D1PC的体积为定值 DDC1D1P12. 对于二项式n(nN*)，以下判断正确的有()A存在nN*，展开式中有常数项 B对任意nN*，展开式中没有常数项C对任意nN*，展开式中
4、没有x的一次项 D存在nN*，展开式中有x的一次项三：填空题。（共20分）13由0，1，2，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为_个14各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有_种15.已知函数f(x)ax有两个极值点，则实数a的取值范围是_16. 5的展开式中常数项是_四解答题。（共70分）17. 若n展开式中前三项的系数和为163，求：(1)展开式中所有x的有理项；(2)展开式中系数最大的项18. PM
5、2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物根据现行国家标准GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标从某自然保护区2018年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值的频数分布如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)25,35)35,45)45,55)55,65)65,75)75,85频数311113(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天
6、的数据中任取3天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列19.如图，多面体ABCDEF中，DE平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AB2，BAD60，四边形BDEF是正方形(1)求证：CF平面AED；(2)在线段EC上是否存在点P，使得AP平面CEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由20. 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离
7、开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与均值E()，方差D()21. 已知椭圆1(ab0)的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点O到直线AB的距离为，OAB的面积为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l与椭圆交于C，D两点，若直线l直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值22. 已知函数f(x)lnxx2sinx，f(x)为f(x)的导函数(1)求证：f(x)在(0，)上存在唯一零点；(2)求证：f(x)有且仅有两个不同的零点高二下学期数学周测（4）一
8、：单项选择题。（共40分）1甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法()A10 B16 C20 D24答案C解析一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座要求每人左右均有空座，在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A5220种坐法2.马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有()A60种 B20种 C10种 D8种答案C分析先安排四盏不亮的路灯，再利用“插入法”，插入三盏亮的路灯，即可得结果解析根据题意，可分两步：第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，
9、在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有C5310(种)情况故不同的开灯方案共有10110(种)，故选C.3若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是()A20种 B19种 C10种 D9种答案B解析“error”由5个字母组成，其中3个相同，这相当于5个人站队，只要给e、o选定位置，其余三个相同的字母r，位置固定，即所有拼写方式为A52，error拼写错误的种数为A52119.4.身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有()A24 B28 C36 D48答案D解析分类计数
10、原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分(1)当红红之间有蓝时，则有A22A4224种；(2)当红红之间无蓝时，则有C21A22C21C3124种因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法故选D5.若()n的展开式中第四项为常数项，则n()A4B5 C6 D7答案B解析依题意，T4Cn3()3x1，其展开式中第四项为常数项，10，n5.故选B.6从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，在取到的2个数之和为偶数的条件下，取到的2个数均为奇数的概率为()A.B.C. D.答案D解析记“取到的2个数之和为偶数”为事件A，“取到的2个数均为奇数”为事件B，则P(A)，P(AB).由条件
11、概率的计算公式得P(B|A)，故选D.7(x2x1)10展开式中x3项的系数为()A210 B210 C30 D30答案A解析(x2x1)10x2(x1)10C100(x2)10C101(x2)9(x1)C109x2(x1)9C1010(x1)10，所以含x3项的系数为C109C98C1010(C107)210，故选A.8.设斜率为的直线l与椭圆1(ab0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案C解析由题意知，直线l与椭圆1(ab0)两个交点的横坐标是c，c，所以两个交点分别为(c，c)，(c，c)，代入椭圆得1，两边同乘
12、2a2b2，则c2(2b2a2)2a2b2.因为b2a2c2，所以c2(3a22c2)2a42a2c2，所以2或.又因为0e0且x1，所以f(x)的定义域为(0,1)(1，)，故A不正确；f(x)，当x(0,1)时，ex0，lnx0，所以f(x)0)，则g(x)，所以当x0时，g(x)0，函数g(x)单调递增，g(1)00，所以f(x)0在定义域上有解，所以函数f(x)存在单调递增区间，故C正确；函数yf(x)只有一个零点x0，且x01，当x(0,1)(1，x0)时，f(x)0，函数单调递增，所以函数f(x)只有一个极小值点，故D不正确10. 如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，AB
13、BC1，ABC90，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点下列判断中正确的是( )A直线AC与直线C1E是异面直线 BA1E一定不垂直AC1C三棱锥EAA1O的体积为定值 DAEEC1的最小值为2答案ACD解析如图，直线AC经过平面BCC1B1内的点C，而直线C1E在平面BCC1B1内且不过点C，直线AC与直线C1E是异面直线，故A正确；假设BB1上存在点E，使A1EAB1，连接AB1，交A1E于点F，又B1C1A1E，AB1B1CB1，AB1，B1C平面AB1C1，又AC1平面AB1C1，A1EAC1.由题意知AB1，A1F，B1F，AF，BB1AA1，B1FEAFA1，则，B1E，
14、即BB1上存在点E，且B1E时，A1EAC1；由题意知，直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心为O，则O是AC1与A1C的交点，则AA1O的面积为定值，由BB1平面AA1C1C，E到平面AA1O的距离为定值，三棱锥EAA1O的体积为定值，故C正确；将直三棱柱侧面展开可知，AEEC1的最小值为侧面展开图中AC1的长度，AC12，即AEEC1的最小值为2，故D正确故选ACD.11.如图，棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点，则下列结论正确的是()A平面D1A1P平面A1AP BAPD1的取值范围是C三棱锥B1D1PC的体积为定值 DDC1D1P答案ACD解析在A中，
15、因为A1D1平面A1AP，A1D1平面D1A1P，所以平面D1A1P平面A1AP，故A正确；在B中，当P与A1重合时，APD1，故B错误；在C中，因为B1D1C的面积是定值，A1B平面B1D1C，所以点P到平面B1D1C的距离是定值，所以三棱锥B1D1PC的体积为定值，故C正确；在D中，因为DC1D1C，DC1BC，D1CBCC，D1C，BC平面BCD1A1，所以DC1平面BCD1A1，又D1P平面BCD1A1，所以DC1D1P，故D正确12. 对于二项式n(nN*)，以下判断正确的有()A存在nN*，展开式中有常数项 B对任意nN*，展开式中没有常数项C对任意nN*，展开式中没有x的一次项
16、D存在nN*，展开式中有x的一次项答案：AD三：填空题。（共20分）13由0，1，2，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为_个答案210解析若个位数和百位数是0，8，则方法数是A22A82112；若个位数和百位数是1，9，则由于首位不能排0，则方法数是A22C71C7198，故总数是11298210.14各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有_种答案180解析从7个专业选3个，有C7335种选法，甲、乙同
17、时兼报的有C22C515种选法，则专业共有35530种选法，则按照专业顺序进行报考的方法种数为A3330180.15.已知函数f(x)ax有两个极值点，则实数a的取值范围是_答案解析设f(x)的导数为f(x)，因为函数f(x)ax有两个极值点，所以方程f(x)a0有两个不相等的实数根，令g(x)，则g(x)的图象与直线ya有两个不同交点，又g(x)，由g(x)0得x1，所以当x0，即g(x)单调递增；当x1时，g(x)0时，g(x)0，所以作出函数g(x)的简图如图所示，因为g(x)的图象与直线ya有两个不同交点，所以0a，即ab0)的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，点O到直线AB的距离
18、为，OAB的面积为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线l与椭圆交于C，D两点，若直线l直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2为定值(1)解直线AB的方程为1，即bxayab0，则，因为OAB的面积为1，所以ab1，即ab2.解得a2，b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)证明直线AB的斜率为，设直线l的方程为yxt，C(x1，y1)，D(x2，y2)，代入y21，得2y22tyt210，依题意得，0，则y1y2t，y1y2，所以k1k2，因为x1x22x24(ty1)(ty2)4(ty2)4t2t(y1y2)y1y2ty24(y1y2)2(y1y2)(y1y2)y
19、1y2(y1y2)y24(y1y2y1)，所以k1k2为定值22. 已知函数f(x)lnxx2sinx，f(x)为f(x)的导函数(1)求证：f(x)在(0，)上存在唯一零点；(2)求证：f(x)有且仅有两个不同的零点证明(1)设g(x)f(x)12cosx，当x(0，)时，g(x)2sinx0，g10，f(x)在(0，)上单调递增；当x(，)时，f(x)fln220，又因为f22sin220，所以f(x)在(0，)上恰有一个零点，又因为f()ln20，所以f(x)在(，)上也恰有一个零点当x，2)时，sinx0，f(x)lnxx，设h(x)lnxx，则h(x)10，所以h(x)在，2)上单调递减，所以h(x)h()0，所以当x，2)时，f(x)h(x)h()0恒成立，所以f(x)在，2)上没有零点当x2，)时，f(x)lnxx2，设(x)lnxx2，则(x)10，所以(x)在2，)上单调递减，所以(x)(2)0，所以当x2，)时，f(x)(x)(2)0恒成立，所以f(x)在2，)上没有零点综上，f(x)有且仅有两个不同的零点
