1、江苏省扬州市邗江中学2020-2021学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（共8小题）.1若（x21）+（x23x+2）i是纯虚数（i为虚数单位），则实数x的值为（）A1B1C1D以上都不对2在ABC中，若acosAbcosB，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形3已知空间互不重合的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面内”是“m，n，l两两相交”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4已知向量，满足，则，的夹角为（）ABCD5已知，则（）A1BC1D6已知正方形ABCD的边长为1，则（）A5BC
2、25D417已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC2，点P为BB1的中点，设平面A1PC1ABE，平面A1PC1BCF，则线段EF的长度为（）ABCD58在ABC中，AC1，ADBC，垂足为D，且，则当BAC取最大值时，ABC的周长为（）A3BCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9下列各式中，值为的是（）Asin72cos42cos72sin42Bcos2sin2CD2tan15cos21510已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是（）A若a，b
3、，则a与b是异面直线B若AB与CD是异面直线，则AC与BD也是异面直线C若ab，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线D若a，b不同在任何一个平面内，则a与b是异面直线11设，是两个非零向量，下列结论中正确的是（）A若，则B若，则或C若，则D若，则存在实数，使得12已知函数f（x）sinnx+cosnx（nN*），则下列说法正确的是（）A当n1时，直线是f（x）图象的一条对称轴B当n4时，函数f（x）的最小正周期为C当n4时，函数f（x）在上单调递减D当n3时，若，则函数f（x）的值域为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知向量，m为实数，且，则m 14已知轮船A和轮船B同时
4、离开C岛，A船沿北偏东30的方向航行，B船沿正北方向航行若A船的航行速度为15nmile/h，2h后，B船测得A船位于B船的北偏东45的方向上，则此时A，B两船相距 nmile15已知，则2sin2+cos2 16已知复数z对应的点在复平面第四象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：，在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知i为虚数单位（1）计算：；（2）若，求复数z18已知向量，xR，设函数（1）若，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）若，
5、且，求cos2的值19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面所有直线均垂直，底面ABC是边长为4的正三角形，侧棱长为3，D，E分别为棱A1C1和B1C1的中点（1）试判断直线AD和BE的位置关系，并说明理由；（2）求异面直线AB和CE所成角的余弦值20在；这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求a的值；若问题中的三角形不存在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2，_，_？21如图，风景区的形状是如图所示的扇形ABC区域，其半径为2千米，圆心角为60，点P在弧上现欲在风景区中规划三条商业街道PQ，PR，RQ，要求街道PQ
6、与AB垂直（垂足Q在AB上），街道PR与AB平行，交AC于点R（1）如果P为弧的中点，求三条商业街道围成的PQR的面积；（2）试求街道RQ长度的最小值22已知函数f（x）sinxcos+cosxsin，g（x）coscosxsinxsin，是常数，xR，（1）若，判断h（x）f（x）+g（x）的奇偶性；若，判别h（x）f2（x）+g2（x）的奇偶性；（2）若，F（x）f（x）g（x）是偶函数，求；（3）请仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例（不必证明命题）参考答案一、单项选择题（共8小题）.1若（x21）+
7、（x23x+2）i是纯虚数（i为虚数单位），则实数x的值为（）A1B1C1D以上都不对解：若（x21）+（x23x+2）i是纯虚数，则，解得：x1，故选：A2在ABC中，若acosAbcosB，则ABC的形状是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形解：由正弦定理化简已知的等式得：sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B，sin2Asin2B，又A和B都为三角形的内角，2A2B或2A+2B，即AB或A+B，则ABC为等腰或直角三角形故选：D3已知空间互不重合的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面内”是“m，n，l两两相交”的（）A充分不必要条件B必要
8、不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解：根据题意，若m，n，l在同一平面内，m、n、l三条直线可以互相平行，则“m，n，l在同一平面内”不是“m，n，l两两相交”的充分条件；反之，若m，n，l两两相交，m，n，l可以不在同一平面内，则“m，n，l在同一平面内”不是“m，n，l两两相交”的必要条件；故“m，n，l在同一平面内”是“m，n，l两两相交”的既不充分也不必要条件故选：D4已知向量，满足，则，的夹角为（）ABCD解：，设，的夹角为，则cos，因为0，所以故选：B5已知，则（）A1BC1D解：根据题意，即sin+cossinsin+cos1，变形可得：sin（+）1，故选：A6已
9、知正方形ABCD的边长为1，则（）A5BC25D41解：如图，故选：B7已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，BC2，点P为BB1的中点，设平面A1PC1ABE，平面A1PC1BCF，则线段EF的长度为（）ABCD5解：因为平面A1PC1ABE，平面A1PC1BCF，所以A1P与AB的交点即为点E，延长线A1P与AB的延长线交于点E，因为AA1BP，且P为BB1的中点，所以ABAE4，同理可得C1P与CB的延长线交于点F，所以BCBF2，如图所示，连接EF，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABCFBE90，则EF2，故选：C8在ABC中，AC1，ADBC，垂足为D，且，则当BAC取
10、最大值时，ABC的周长为（）A3BCD解：根据题意，设|CD|a，若，则D在线段BC之外，且|BD|3|CD|3a，如图：又由AC1，则|AD|21a2，则|AB|2|BD|2+|AD|21+8a2，则|AB|，则cosBAC（+），又由+2，当且仅当8a2+13，即a时等号成立，此时cosBAC取得最小值，BAC取得最大值，此时|BC|2a1，|AB|，ABC的周长为2+；故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9下列各式中，值为的是（）Asin72cos42cos72sin42
11、Bcos2sin2CD2tan15cos215解：sin72cos42cos72sin42sin（7242）sin30，故A满足条件；，故B不满足条件；tan45，故C满足条件；2tan15cos2152sin15cos15sin30，故D满足条件，故选：ACD10已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是（）A若a，b，则a与b是异面直线B若AB与CD是异面直线，则AC与BD也是异面直线C若ab，b与c是异面直线，则a与c也是异面直线D若a，b不同在任何一个平面内，则a与b是异面直线解：对于A，若a，b，则a与b可能平行、可能相交、也可能异面，故A错误；对于B，若AB与C
12、D是异面直线，则AC与BD也是异面直线，否则，若AC与BD共面，则AB与CD共面，与已知矛盾，故B正确；对于C，若ab，b与c是异面直线，则a与c相交或异面，故C错误；对于D，若a，b不同在任何一个平面内，由异面直线的定义可得，a与b是异面直线，故D正确故选：BD11设，是两个非零向量，下列结论中正确的是（）A若，则B若，则或C若，则D若，则存在实数，使得解：A，A正确；B，得不出或，B错误；C.，不共线时，仍可满足，却得不出，C错误；D，的夹角为，即共线，存在实数，使得，D正确故选：AD12已知函数f（x）sinnx+cosnx（nN*），则下列说法正确的是（）A当n1时，直线是f（x）图象
13、的一条对称轴B当n4时，函数f（x）的最小正周期为C当n4时，函数f（x）在上单调递减D当n3时，若，则函数f（x）的值域为解：函数f（x）sinnx+cosnx（nN*），对于A：当n1时，函数f（x）sinx+cosx，当x时，f（），故A正确；对于B：当n4时，函数f（x）sin4x+cos4x（sin2x+cos2x）22sin2xcos2x1，所以函数的最小正周期为，故B正确；对于C：由于函数f（x），且满足，所以4x0，故函数f（x）在该区间上单调递减，故C正确；对于D：函数f（x）sin3x+cos3x（sinx+cosx）（1sinxcosx），设sinx+cosxt，由于，所
14、以t，f（t），故0，所以函数f（t）在上单调递减，故，f（t）maxf（1）1，故函数f（x）的值域为，故D错误；故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13已知向量，m为实数，且，则m4解：，且，m2（m2）0，解得m4故答案为：414已知轮船A和轮船B同时离开C岛，A船沿北偏东30的方向航行，B船沿正北方向航行若A船的航行速度为15nmile/h，2h后，B船测得A船位于B船的北偏东45的方向上，则此时A，B两船相距nmile解：由题意，ABC中，AC15230nmile，C30，ABC135，由正弦定理可得，AB15nmile故答案为：1515已知，则2sin2+c
15、os2解：根据题意，则有2，解可得tan，则2sin2+cos2，故答案为：16已知复数z对应的点在复平面第四象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：；乙：；丙：；丁：，在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z1+i解：设za+bi，则abi，甲：由2a，即a1；乙：由2bi，即b；丙：由a2+b2；丁：由得，所以a2+b22，若b，则a2+32显然不成立，故丙丁不能同时成立，乙丁不能同时成立，且甲乙丙可以知二推一，所以甲丁正确，此时a1，b1，z1+i四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知i为虚数单
16、位（1）计算：；（2）若，求复数z解：（1）（2）设za+bi（a，bR），则由，得a2+b2+2ai1i，则a2+b21且2a1，解得：a，b，则或18已知向量，xR，设函数（1）若，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）若，且，求cos2的值解：（1）因为向量，则函数，若，则，所以当，即x0时，；当，即时，f（x）max1（2）由，得，因为，则，又，所以，则，所以19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面所有直线均垂直，底面ABC是边长为4的正三角形，侧棱长为3，D，E分别为棱A1C1和B1C1的中点（1）试判断直线AD和BE的位置关系，并说明理由；（2）求异面直线AB和CE所成
17、角的余弦值解：（1）连接DE在A1B1C1中，D，E分别为棱A1C1和B1C1的中点，所以DEA1B1，且DEA1B1，又在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABA1B1，且ABA1B1，所以DEAB，且DEAB，所以四边形ABED为梯形，所以直线AD和BE为相交直线（2）因为DEAB，所以DEC（或其补角）为异面直线AB和CE所成角因为ABC是边长为4的正三角形，则DEAB2，在CC1E中，CC1C1E，CC13，C1E2，则，同理，在CDE中，DE2，解得，所以异面直线AB和CE所成角的余弦值为20在；这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求a的值；若问题中的三角形不存
18、在，说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2，_，_？解：若选，由，可知；由，可得2cos2B1cosB，即2cos2B+cosB10，解得cosB1，或，又因为B（0，），所以；又，C（0，），余弦函数ycosx在（0，）上单调递减，所以，此时B+C，不能构成三角形若选，由，可知；由，得，又由正弦定理可知，展开得，即，又C（0，），则sinC0，故，A（0，），所以由得，C（0，），余弦函数ycosx在（0，）上单调递减，所以，此时A+C，能构成三角形此时，又c2，由正弦定理，得，解得若选，由得；由得；此时此时A+B，能构成三角形所以，则，由正弦定理，得
19、，解得21如图，风景区的形状是如图所示的扇形ABC区域，其半径为2千米，圆心角为60，点P在弧上现欲在风景区中规划三条商业街道PQ，PR，RQ，要求街道PQ与AB垂直（垂足Q在AB上），街道PR与AB平行，交AC于点R（1）如果P为弧的中点，求三条商业街道围成的PQR的面积；（2）试求街道RQ长度的最小值解：连接AP，过R作RDAB，垂足为D（1）当P为弧BC的中点时，PAQ30，在APQ中，AP2，PQAQ，故，在ARD中，RDPQ1，RAD60，所以，则，所以，在直角三角形PRQ中，PQR的面积（2）设，则PQ2sin，AQ2cos，RDPQ2sin，又，则，所以，在直角三角形PRQ中，其
20、中因为，所以，又，所以当时，RQ2有最小值为，即综上，街道RQ长度的最小值为千米22已知函数f（x）sinxcos+cosxsin，g（x）coscosxsinxsin，是常数，xR，（1）若，判断h（x）f（x）+g（x）的奇偶性；若，判别h（x）f2（x）+g2（x）的奇偶性；（2）若，F（x）f（x）g（x）是偶函数，求；（3）请仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例（不必证明命题）解：由题意可知f（x）sinxcos+cossinxsin（x+），g（x）coscosxsinxsincos（x+），（
21、1）当时，所以h（x）是偶函数；当时，所以h（x）1sin（2x）1+sin2x，因为，所以h（x）不是奇函数，因为，所以h（x）不是偶函数所以h（x）是非奇非偶函数；（2）当时，F（x）f（x）g（x）是偶函数，所以F（x）F（x）对一切xR恒成立，所以，即，也即，则，因为，所以，当时，则所以F（x）F（x）对一切xR恒成立，所以F（x）为偶函数综上所述：（3）第一层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，1，、是偶函数；2，是奇函数；3，是非奇非偶函数；4，是既奇又偶函数；第二层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以，1，是偶函数（数字不分奇偶）；2，是奇函数（数字只能同奇数）；是
22、偶函数（数字只能同偶数）；3，是非奇非偶函数（数字不分奇偶，但需相同）；4，是既奇又偶函数（数字只能奇数）；是非奇非偶函数；第三层次，写出逆命题任何一种的一个（加法或乘法）均可以，1，f3（x）+g3（x）是偶函数（数字不分奇偶，但相同），则；2，f5（x）+g5（x）是奇函数（数字只能正奇数），则 ；f2（x）+g2（x）是偶函数（数字只能正偶数），则 ；3，f3（x）+g3（x）是偶函数（数字只能正奇数），则；第四层次，写出充要条件中的任何一种均可以，1，的充要条件是f（x）+g（x）是偶函数，2，f5（x）+g5（x）是奇函数（数字只能正奇数）的充要条件是；f2（x）+g2（x）是偶函数（数字只能正偶数）的充要条件是；3，f3（x）+g3（x）是偶函数（数字只能正奇数）的充要条件是 则；第五层次，写出任何一种均可以（逆命题，充要条件等均可以），1，时，fn（x）+gn（x）都是偶函数；2，时，n是正奇数，fn（x）+gn（x）是奇函数；时，n是正偶数，fn（x）+gn（x）是偶函数；3，n是奇数，fn（x）+gn（x）既奇又偶函数；4，n是偶数，fn（x）+gn（x）是非奇非偶函数
