1、专题三 立体几何思想方法攻略|数形结合思想新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页思想方法概述1数形结合的数学思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页2数形结合思想应用原则(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换是等价的，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般
2、性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明(2)双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页(3)简单性原则找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页数学思想应用类型一 数与解析几何图形的结合典题 2 如果实数 x，y 满足(x2)2y23，则yx的最大值为()A.12 B 33C.32D 3答案 D新课标高考第二轮总复习理科
3、数学 上一页下一页解析(x2)2y23 表示坐标平面上的一个圆，圆心为 M(2,0)，半径 r 3，如图所示，新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页而yxy0 x0表示圆上的点(x，y)与原点 O(0,0)连线的斜率(确定目标问题的几何意义)该问题可转化为如下几何问题：点 A 在以 M(2,0)为圆心、3为半径的圆上移动，求直线 OA 的斜率的最大值(转化为几何问题)新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页由图可知，当点 A 在第一象限，且 OA 与圆相切时，OA 的斜率最大(解决几何问题)连接 AM，则 AMOA，OA OM2AM2 22 321，可得yx的最大值为 tanAOM
4、3，故选 D.(回归代数问题)新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页此题主要是“以形助数”，利用“yx”的几何意义求解.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页类型二 数与空间几何图形的结合典题 3 如图所示，直线 l平面，垂足为 O，正四面体 A-BCD 的棱长为 3，点C 在平面 内，点 B 恰在直线 l 上，则点 O 到 AD 距离的最大值为()A.21 B 31C.32(21)D32(31)答案 C新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页解析 考虑几何体运动的特殊位置，取 AD 的中点 E，连接 BE，CE，OE，OC，则 AD平面 EBC，当 O，B，C，E 四点共面时
5、，OEAD.(几何图形特征)新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页不妨设BCO02，(用数“”研究“BC”位置)则 OC3cos，CE3 32，又易知 cosBCE 33，sin BCE 63，于是在OCE 中，由余弦定理可得OE CO2CE22OCCEcos BCE新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页9cos2274 9 3cos 33 cos 63 sin (用代数表示目标)274 92 2sin 2，所以当 sin 21，即 4时，OEmax32(21)故选 C.(解决问题)新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页本题以数辅形，结合特值化思想，把 O 到 AD 距离的最
6、大值转化为三角函数的最大值，即把几何问题转化为代数问题.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页典题 4 如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 M 在线段 PQ 上，E，F 分别为 AB，BC 的中点设异面直线 EM 与 AF 所成的角为，则 cos 的最大值为_答案 25新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页解析 如图，建立空间直角坐标系A-xyz，设AB2，QMm(0m2)，则F(2,1,0)，E(1,0,0)，M(0，m,2)(0m2)(确定代数方法)AF(2,1,0)，ME(1，m，2)，cos|cosAF，ME|AFME|AF|ME
7、|2m5 m25|m2|5m225.(进行代数计算)新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页设 y m225m225，则 y2m25m225m2210m5m2252m210m250m210m5m2252m25020m5m2252.(用函数解决问题)当 0m2 时，y0，新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页y m225m225在0,2上单调递减当 m0 时，y 取最大值，此时 cos 取最大值，(cos)max|02|5022525.(确定答案)新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页本题求最值，还可以如下思考：cos|m2|5m2252m5m225(0m2)，当 m0 时，分子 2m 取得最大值 2，同时分母 5m225取得最小值 5.所以 m0 时，(cos)max25.新课标高考第二轮总复习理科数学 上一页下一页求空间角，此题用了函数法，用空间向量是空间计算代数化的主要手段.
