1、2015-2016学年湖北省天门市渔薪高中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分）1直线xy+1=0的倾斜角是（）ABCD2边长为a的正四面体的表面积是（）ABCD3已知倾斜角为45的直线经过A（2，4），B（1，m）两点，则m=（）A3B3C5D14一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（）A a2B2a2C a2D a25直线3x+4y13=0与圆（x2）2+（y3）2=1的位置关系是（）A相离B相交C相切D无法判定6一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2+2B4+2C2+D4+7已知m，n是
2、两条不同直线，是两个不同的平面，且n，则下列叙述正确的是（）A若mn，m，则B若，m，则mnC若，mn，则mD若mn，m，则8已知直线l：xy+4=0与圆C：（x1）2+（y1）2=2，则C上各点到l距离的最小值为（）A1B +1CD29球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（）ABCD10已知正三棱柱（底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱）ABCA1B1C1体积为，底面边长为若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）ABCD11若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A1，+）B1，）C（，1D（，112如图，在正四棱锥SABCD中，E，M，
3、N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：EPAC；EPBD；EP面SBD；EP面SAC，其中恒成立的为（）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）13已知两条直线l1：ax+3y3=0，l2：4x+6y1=0若l1l2，则a=14已知O1：x2+y2=1与O2：（x3）2+（y+4）2=9，则O1与O2的位置关系为15在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）关于平面xoz的对称点为B，关于x轴的对称点为C，则B、C间的距离为16将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD； ACD是等边三
4、角形；AB与平面BCD成60的角； AB与CD所成的角为60；其中正确结论是（写出所有正确结论的序号）三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知直线l经过直线3x+4y2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x2y1=0求：（）直线l的方程；（）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S18如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点求证：（）PA平面BDE；（）平面PAC平面BDE19已知圆C：（x1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点（1）当l经过
5、圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45时，求弦AB的长20如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点（）证明 AD平面PBE；（）若二面角PADB为60，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值21如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BC，A1BBB1，（1）求证：A1CCC1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA1为何值时，三棱柱ABCA1B1C1体积最大，并求此最大值22已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切
6、点为Q，且满足|PQ|=|PA|（）求实数a、b间满足的等量关系；（） 求线段PQ长的最小值；（） 若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程2015-2016学年湖北省天门市渔薪高中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分）1直线xy+1=0的倾斜角是（）ABCD【考点】直线的倾斜角【专题】计算题【分析】把直线的方程化为斜截式，求出斜率，根据斜率和倾斜角的关系，倾斜角的范围，求出倾斜角的大小【解答】解：直线y+1=0 即 y=x+1，故直线的斜率等于，设直线的倾斜角等于，则 0，且tan=，故 =60，故选B2边长为
7、a的正四面体的表面积是（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【专题】空间位置关系与距离【分析】根据边长为a的正四面体的表面为4个正三角形，运用公式计算可得【解答】解：边长为a的正四面体的表面为4个边长为a正三角形，表面积为：4a=a2，故选：D3已知倾斜角为45的直线经过A（2，4），B（1，m）两点，则m=（）A3B3C5D1【考点】直线的斜率；直线的倾斜角【专题】计算题；直线与圆【分析】首先根据斜率公式直线AB的斜率k，再由倾斜角和斜率的关系求出直线的斜率，进而求出a的值【解答】解：直线经过两点A（2，4），B（1，m），直线AB的斜率k=4m，又直线的倾斜角为450，k=1
8、，m=3故选：A4一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于（）A a2B2a2C a2D a2【考点】平面图形的直观图【专题】计算题【分析】根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S之间的关系是S=S，先求出直观图即正方形的面积，根据比值求出原平行四边形的面积即可【解答】解：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S之间的关系是S=S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于=2a2故选B5直线3x+4y13=0与圆（x2）2+（y3）2=1的位置关
9、系是（）A相离B相交C相切D无法判定【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题【分析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径r，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，发现d=r，故直线与圆相切【解答】解：由圆的方程得到：圆心坐标为（2，3），半径r=1，所以圆心到直线3x+4y13=0的距离d=1=r，则直线与圆的位置关系为相切故选C6一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2+2B4+2C2+D4+【考点】由三视图求面积、体积【专题】立体几何【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相
10、加即得组合体的体积【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为122=2棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，故其高为由此知其体积为=故组合体的体积为2+故选C7已知m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，且n，则下列叙述正确的是（）A若mn，m，则B若，m，则mnC若，mn，则mD若mn，m，则【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解【解答】解：由m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，且
11、n，知：若mn，m，则与相交或平行，故A错误；若，m，则m与n平行或异面，故B错误；若，mn，则m与相交、平行或m，故C错误；若mn，m，则由平面与平面垂直的判定定理得，故D正确故选：D8已知直线l：xy+4=0与圆C：（x1）2+（y1）2=2，则C上各点到l距离的最小值为（）A1B +1CD2【考点】直线与圆的位置关系【专题】直线与圆【分析】利用点到直线的距离公式求得圆心C（1，1）到直线l：xy+4=0的距离，再用此距离减去圆的半径，即为所求【解答】解：由于圆心C（1，1）到直线l：xy+4=0的距离为d=2，而圆的半径为，故C上各点到l距离的最小值为2=，故选：C9球的表面积与它的内接
12、正方体的表面积之比是（）ABCD【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】计算题【分析】球的内接正方体的对角线的长，就是球的直径，设出正方体的棱长，求出球的半径，求出两个表面积即可确定比值【解答】解：设：正方体边长设为：a则：球的半径为所以球的表面积S1=4R2=4a2=3a2而正方体表面积为：S2=6a2所以比值为：故选C10已知正三棱柱（底面是正三角形，且侧棱与底面垂直的棱柱）ABCA1B1C1体积为，底面边长为若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）ABCD【考点】直线与平面所成的角【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间角【分析】利用三棱柱ABCA
13、1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，APA1为PA与平面A1B1C1所成角利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在RtAA1P中，利用tanAPA1=，可得结论【解答】解：如图所示，AA1底面A1B1C1，APA1为PA与平面A1B1C1所成角，平面ABC平面A1B1C1，APA1为PA与平面ABC所成角=V三棱柱ABCA1B1C1=AA1，解得AA1=又P为底面正三角形A1B1C1的中心，A1P=DA1=1，在RtAA1P中，tanAPA1=，APA1=故选B11若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点，则k的取值范围是（）A1，+）B1，）C（，1D
14、（，1【考点】直线与圆锥曲线的关系【专题】计算题；数形结合【分析】将曲线方程变形判断出曲线是上半圆；将直线方程变形据直线方程的点斜式判断出直线过定点；画出图形，数形结合求出满足题意的k的范围【解答】解：曲线即x2+y2=4，（y0）表示一个以（0，0）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：直线y=kx+4+2k即y=k（x+2）+4表示恒过点（2，4）斜率为k的直线结合图形可得，解得要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是故选B12如图，在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：EPAC；EPBD；EP面SBD；E
15、P面SAC，其中恒成立的为（）ABCD【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定【专题】对应思想；综合法；空间位置关系与距离【分析】如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN（1）由正四棱锥SABCD，可得SO底面ABCD，ACBD，进而得到SOAC可得AC平面SBD由已知E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，利用三角形的中位线可得EMBD，MNSD，于是平面EMN平面SBD，进而得到AC平面EMN，ACEP（2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，因此不可能EPBD；（3）由（1）可知：平面EMN平面SBD，可得EP平面SBD；（4）由（1）同理可得：EM平面SAC
16、，可用反证法证明：当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直【解答】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN对于（1），由正四棱锥SABCD，可得SO底面ABCD，ACBD，SOACSOBD=O，AC平面SBD，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，EMBD，MNSD，而EMMN=N，平面EMN平面SBD，AC平面EMN，ACEP故正确对于（2），由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EPBD，因此不正确；对于（3），由（1）可知：平面EMN平面SBD，EP平面SBD，因此正确对于（4），由（1）同理可得：EM平面SAC，若EP平面SAC，则EPEM，与EPEM=E相
17、矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直即不正确故选：A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置）13已知两条直线l1：ax+3y3=0，l2：4x+6y1=0若l1l2，则a=2【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【分析】两条不重合的直线平行，则对应的斜率相等【解答】解：已知两条直线l1：ax+3y3=0，l2：4x+6y1=0l1l2，则a=214已知O1：x2+y2=1与O2：（x3）2+（y+4）2=9，则O1与O2的位置关系为相离【考点】圆与圆的位置关系及其判定【专题】计算题【分析】先根据圆的方程得出圆的圆心坐标和半径，求出圆心距和半
18、径之和等，再根据数量关系来判断两圆的位置关系即可【解答】解：根据题意，得O1的半径为r=1，O2的半径为R=3，O1O2=5，R+r=4，Rr=2，则45，即R+rO1O2，两圆相离故答案为：相离15在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）关于平面xoz的对称点为B，关于x轴的对称点为C，则B、C间的距离为6【考点】空间两点间的距离公式【专题】空间位置关系与距离【分析】求出点A（1，2，3）关于平面xoz的对称点为B，关于x轴的对称点为C，直接利用空间零点距离公式求出距离即可【解答】解：在空间直角坐标系中，点A（1，2，3）关于平面xoz的对称点为B（1，2，3），点A（1，2，3）关于x轴的对
19、称点为C（1，2，3），则B、C间的距离为： =6故答案为：616将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD； ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60的角； AB与CD所成的角为60；其中正确结论是（写出所有正确结论的序号）【考点】与二面角有关的立体几何综合题【专题】计算题；证明题；压轴题【分析】作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对四个命题逐一判断，即可得出正确结论【解答】解：作出如图的图象，其中ABDC=90，E是BD的中点，可以证明出AED=90即为此直二面角的平面角对于命题，由于BD面AEC，故ACBD，此命题正确；对于命题，在等腰直角三角形
20、AEC中可以解出AC等于正方形的边长，故ACD是等边三角形，此命题正确；对于命题AB与平面BCD所成的线面角的平面角是ABE=45，故AB与平面BCD成60的角不正确；对于命题可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，由于EF，FH是中位线，可证得其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故EFH是等边三角形，由此即可证得AB与CD所成的角为60；综上知是正确的故答案为三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知直线l经过直线3x+4y2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x2y1
21、=0求：（）直线l的方程；（）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标【专题】综合题【分析】（）联立两直线方程得到方程组，求出方程组的解集即可得到交点P的坐标，根据直线l与x2y1垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为1，可设出直线l的方程，把P代入即可得到直线l的方程；（）分别令x=0和y=0求出直线l与y轴和x轴的截距，然后根据三角形的面积函数间，即可求出直线l与两坐标轴围成的三角形的面积【解答】解：（）由解得由于点P的坐标是（2，2）则所求直线l与x2y1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0把点P的坐标代入得2（2）+2+m=0，即m=2所求直线
22、l的方程为2x+y+2=0（）由直线l的方程知它在x轴y轴上的截距分别是12，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积18如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO底面ABCD，E是PC的中点求证：（）PA平面BDE；（）平面PAC平面BDE【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【专题】空间角【分析】对（I），通过作平行线的方法，由线线平行来证线面平行对（II），只需证明平面BDE内的一条直线BD垂直于平面PAC内的两条相交直线即可【解答】证明：（）连接OEO是AC的中点，E是PC的中点，OEAP，又OE平面BDE，PA平面BDE，PA平面BDE （
23、）PO底面ABCD，POBD，又ACBD，且ACPO=O，BD平面PAC BD平面BDE，平面PAC平面BDE19已知圆C：（x1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A、B两点（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45时，求弦AB的长【考点】直线和圆的方程的应用；直线的一般式方程【专题】计算题；综合题【分析】（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；（3）当直线l的倾斜角为45时，求出直线的斜率，然后求出直线
24、的方程，利用点到直线的距离，半径，半弦长的关系求弦AB的长【解答】解：（1）已知圆C：（x1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因直线过点P、C，所以直线l的斜率为2，直线l的方程为y=2（x1），即2xy2=0（2）当弦AB被点P平分时，lPC，直线l的方程为y2=（x2），即x+2y6=0（3）当直线l的倾斜角为45时，斜率为1，直线l的方程为y2=x2，即xy=0圆心到直线l的距离为，圆的半径为3，弦AB的长为20如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点（）证明 AD平面PBE；（）若二面角PADB为60，求直线EF与
25、平面PBC所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角【分析】（）证明BEAD，PEAD，然后证明AD平面PBE；（）说明PEB即为二面角PADB的平面角，PEB=60，证明EBPB，EBBC，推出EB平面PBC，说明EFB为EF与面PBC所成的角通过求解三角形求解直线EF与平面PBC所成角的正弦值【解答】解：（）证明：BA=BD=，PA=PD=，又E为AD的中点，BEAD，PEAD，AD平面PBE；（）由（）知PEB即为二面角PADB的平面角，即PEB=60，又在RtPDE中PED=90，PD=，DE=1PE=2
26、同理可得BE=1在PBE中，由余弦定理得PB=BE2+PB2=PE2PBE=90EBPB又EBAD，BCADEBBCEB平面PBC，EFB为EF与面PBC所成的角又在RtPBC中PBC=90，PB=，BC=2PC=又F为PC中点而EB=1在RtEFB中由勾股定理有sinEFB=即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为21如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BC，A1BBB1，（1）求证：A1CCC1；（2）若AB=2，AC=，BC=，问AA1为何值时，三棱柱ABCA1B1C1体积最大，并求此最大值【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】空间位置关系与距离【分析】
27、（1）通过证明直线CC1与平面BA1C垂直，即可证明A1CCC1；（2）作AOB 于O，连结A1O，说明AA1O=90，设A1A=h，求出A1O的表达式，以及三棱柱ABCA1B1C1体积V的表达式，利用二次函数的最值，求最大值【解答】解：（1）三棱柱ABCA1B1C1中，A1ACC1BB1，AA1BC，CC1BC，A1BBB1，A1BCC1，BCBA1=B，CC1平面BA1C，A1C平面BA1CA1CCC1；（2）作AOBC于O，连结A1O，由（1）可知AA1O=90，AB=2，AC=，BC=，ABAC，AO=，设A1A=h，A1O=，三棱柱ABCA1B1C1体积V=，当h2=，即h=时，即A
28、A1=时棱柱的体积最大，最大值为：22已知圆O：x2+y2=1和定点A（2，1），由圆O外一点P（a，b）向圆O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|（）求实数a、b间满足的等量关系；（） 求线段PQ长的最小值；（） 若以P为圆心所作的圆P与圆O有公共点，试求半径取最小值时圆P的方程【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆【分析】（）连接OQ、OP，则OQP为直角三角形，利用|PQ|=|PA|，求P点的轨迹方程；（）表示出|PQ|，利用配方法求|PQ|的最小值；（），故当时，此时，即可求出半径最小的圆的方程【解答】解：（）连OP，Q为切点，PQOQ，由勾股定理有|PQ|2=|OP|2|OQ|2又由已知|PQ|=|PA|，故|PQ|2=|PA|2即：（a2+b2）12=（a2）2+（b1）2化简得实数a、b间满足的等量关系为：2a+b3=0（）由2a+b3=0，得b=2a+3. = =，故当时，即线段PQ长的最小值为（）设圆P 的半径为R，圆P与圆O有公共点，圆 O的半径为1，|R1|OP|R+1即R|OP|1|且R|OP|+1而，故当时，此时，得半径取最小值时圆P的方程为2017年2月8日
