1、宁波市2022学年第一学期高考模拟考试高三数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，则（ ）ABCD2已知数列与均为等差数列，且，则（ ）A5B6C7D83若（aR，i为虚数单位），则（ ）ABCD4一种药品在病人血液中的量不低于1500mg时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减现给某病人静脉注射了3000mg的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（，结果精确到0.1）（ ）A2.7B2.9C3.1D3.35已知两个非零向量，的夹角为
2、60，且，则（ ）ABCD36已知，动点C在曲线T：上，若ABC面积的最小值为1，则t不可能为（ ）A4B3C2D17若函数在区间上有两个零点，则的取值范围是（ ）ABCD8在正四棱台中，当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（ ）ABCD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9若函数的图象关于直线对称，则（ ）AB的图象关于点中心对称C在区间上单调递增D在区间上有2个极值点10已知直线l：与圆O：相交于A，B两点，与两坐标轴分别交于C，D两点，记AOB的面积为，COD的面积为，则
3、（ ）AB存在m，使CD存在m，使11已知正实数a，b满足，则（ ）Aab的最大值为2Bab的最小值为C的最小值为2D的最大值为312如果定义在R上的函数满足：对任意，有，则称其为“好函数”，所有“好函数”形成集合下列结论正确的有（ ）A任意，均有B存在及，使C存在实数M，对于任意，均有D存在，对于任意，均有三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若，则 14南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著详解九章算法商功中，杨阵将堆垜与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如
4、图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则 15在棱长均相等的四面体ABCD中，P为棱AD（不含端点）上的动点，过点A的平面与平面PBC平行若平面与平面ABD，平面ACD的交线分别为m，n，则m，n所成角的正弦值的最大值为 16已知A，B为椭圆上两个不同的点，F为右焦点，若线段AB的垂直平分线交x轴于点T，则 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知数列的前n项和满足（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前n项和18（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（）求的值；（）若，求1
5、9（12分）已知函数，aR（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若在上恒成立，求实数a的取值范围20（12分）如图，直三棱柱中，E，F分别是AB，的中点（）证明：EFBC；（）若，直线EF与平面ABC所成的角为，求平面与平面FEC夹角的余弦值21（12分）已知点，在双曲线E：上（）求双曲线E的方程；（）直线l与双曲线E交于M，N两个不同的点（异于A，B），过M作x轴的垂线分别交直线AB，直线AN于点P，Q，当时，证明：直线l过定点22（12分）已知函数，且，（）若，函数在区间上单调递增，求实数b的取值范围；（）证明：对于任意实数，参考数据：参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
6、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B2B3B4C5C6D7A8D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9ABD10ABC11AC12AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13141516四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（）当，故，因为，当时，两式相减行，即，故数列为等比数列，所以（），故，故，令，故-得，即，故18（）由余弦定理，得即，所以（）由，即，即，又，所以，所以19（）时，所以，故所求切线方程为：（
7、）法1：在上恒成立，令，则，令，则，所以在上单调递减，因为，由零点存在定理知，存在唯一，使，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，从而（）法2：在上恒成立，在同一直角坐标系中作出和的图象，如图所示：从而，20（）证明：证法1：取BC中点H，分别连结EH，FH，因为F为的中点，所以，因为三棱柱为直棱柱，所以平面ABC，所以FH平面ABC，所以FHBC，又E为AB的中点，则，且，所以，因为EH，平面EFH，所以BC平面EFH，因为平面EFH，所以证法2：设，则，由题知，所以，从而，即（）由（）知FEH为EF与平面ABC所成的角，所以，由，得如图，以CA，CB，分别为x轴，y轴，z轴正向，建立平面直
8、角坐标系则，设平面CEF的法向量为，由得，取，平面的法向量为，由得，取，设平面CEF与平面的夹角为，则21（）由题知，得，所以双曲线E的方程为（）由题意知，当lx轴时，不符合题意，故l的斜率存在，设l的方程为，联立，消去y得，则，即，且，设，AB方程为，令，得，AN方程为，令得，由，得，即，即，即，即，所以，得或，当，此时由，得，符合题意；当，此时直线l经过点A，与题意不符，舍去所以l的方程为，即，所以l过定点22（）时，由题知对任意恒成立，因为在单调递增，则，得又，得，综上（）法1：由题，则，而，显然在R上单调递增，由零点存在定理知存在唯一使，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以记，单调递减，又，故，又，故，则，命题得证（）法2：由题，则，而，显然在R上单调递增，由零点存在定理知存在唯一，使，所以在单调递减，在单调递增，所以，记，则对称轴，所以命题得证
