1、直线与圆 一、填空题：1 圆x2+y24x=0在点P（1，）处的切线方程为 2 由点M(5,3)向圆所引切线长等于 3 在圆上,与直线4x+3y-12=0的距离最小的点的坐标为 4已知直线ax+by+c=0（abc0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为a、b、c的三角形是 三角形5M(为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为 6将直线沿轴向左平移1个单位，所得直线与圆 相切，则实数的值为 7已知定点A(1,1)，B(3,3)，点P在x轴上，且取得最大值，则P点坐标为 8过点（1，）的直线l将圆(x2)2y24分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k _ 9直线截圆得的劣
2、弧所对的圆心角为 10已知A（4，0），B（2，0）,AB为直径的圆与轴的负半轴交于C，则过C点的圆的切线方程为 11求圆C1: 与圆C2: 的公共弦所在直线被圆C3: 所截得的弦长 12已知点A(2，1)和B(2，3)，圆C：x2y2 = m2，当圆C与线段AB没有公共点时，求m的取值范围 . 13若直线yxm与曲线x有两个不同的交点，则实数m的取值范围为_14如果点P在平面区域上,点O在曲线最小值为 二、解答题15直线经过点P被圆截得的弦长为8, 求此弦所在直线方程.16已知圆，直线.（1）求证：不论m取什么实数，直线与圆恒交于两点；（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.17已知点在圆上
3、运动.（1）求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值.18已知圆C: x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线L，使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由19自点(3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆相切，求光线L所在直线方程20已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足，,求点Q的轨迹方程 直线与圆 一、填空题1圆x2+y24x=0在点P(1，)处的切线方程为xy+2=0解法一：x2+y24x=0， y=kxk+x24x+(kxk+)2=0该二次方程应有两相等实根，即=0，
4、解得k=y=（x1），即xy+2=04已知直线ax+by+c=0（abc0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形（是直角三角形）解：由题意得=1，即c2=a2+b2，由|a|,|b|,|c|构成的三角形为直角三角形5M(为圆内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（相离）解：由M在圆内知，圆心0到直线的距离，故相离6将直线沿轴向左平移1个单位，所得直线与圆 相切，则实数的值为-3或7 解：由题意可知：直线沿轴向左平移1个单位后的直线为：.已知圆的圆心为，半径为.直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有，得或77已知定点A(1,1)，B(3,3)，
5、点P在x轴上，且取得最大值，则P点坐标为解：P点即为过A、B两点且与x轴相切的圆的切点，设圆方程为，所以有8过点（1，）的直线l将圆(x2)2y24分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k解：劣弧所对的圆心角最小,也就是弦长最短,此时圆心到直线的距离最大,所以当圆心与已知点的连线与直线l垂直时,弦长最短.所以直线l的斜率变式：（2006年天津卷）设直线与圆相交于、两点，且弦AB的长为，则 .yOCAB解：由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形，得，解得.10已知A（4，0），B（2，0）以AB为直径的圆与轴的负半轴交于C，则过C点的圆的切线方程为.x解：以AB为直径的圆D的方程，点C
6、(0，-)，CD的斜率，从而切线的斜率为，又过点C(0，-)，故切线方程为11求圆C1: 与圆C2: 的公共弦所在直线被圆C3:所截得的弦长（）解: 圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程为: ，即x+y-1=0，圆心C3到直线x+y-1=0的距离.所以所求弦长为.12已知点A(2，1)和B(2，3)，圆C：x2y2 = m2，当圆C与线段AB没有公共点时，求m的取值范围 . 解：过点A、B的直线方程为在l：xy1 = 0, 作OP垂直AB于点P，连结OB. 由图象得：|m|OP或|m|OB时，线段AB与圆x2y2 = m2无交点. （I）当|m|OP时，由点到直线的距离公式得：，即. （II）当
7、OB时, ,即 . 当和时，圆x2y2 = m2与线段AB无交点.变式2：（2006年湖北卷）若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是 .解：依题意有，解得，的取值范围是.变式3：若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.解：曲线表示半圆，利用数形结合法，可得实数m的取值范围是或.14如果点P在平面区域上,点O在曲线最小值为( ) 二、解答题15直线经过点P被圆截得的弦长为8, 求此弦所在直线方程思路分析：利用圆中“半径、半弦、弦心距”构成直角三角形可解.解: (1)当斜率k不存在时, 过点P的直线方程为,代入,得.弦长为,符合题意(2)当斜率k存在时，设所求方程为,即 由已知,弦心
8、距，,解得所以此直线方程为 ,即 所以所求直线方程为 或点评: 关于圆的弦长问题,可用几何法从半径、弦心距、半弦所组成的直角三角形求解,也可用代数法的弦长公式求解本题还要注意,斜率不存在时直线符合题意16知圆，直线.（1）求证：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.17知点在圆上运动.（1）求的最大值与最小值；（2）求的最大值与最小值.解：（1）设，则表示点与点(2，1)连线的斜率.当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，的最大值为，最小值为.（2）设，则m表示直线在轴上的截距. 当该直线与圆相切时，取得最大值与最小值.由，解得，的最大值为，最小
9、值为.点评：数形结合，要指出对应什么样的形，这是解决该类题的关键所在。还可以考虑用圆的参数方程解题。变式1：如果实数满足,求的最大值、2x-y的最小值点拨与提示: （1）用圆的切线的性质来求解，（2）由圆的参数方程设圆上一点的坐标，代入2x-y，转化为三角函数的最值问题来求解.解：（1）问题可转化为求圆上一点到原点连线的斜率的最大值, 由图形性质可知, 由原点向圆作切线, 其中切线斜率的最大值即为的最大值设过原点的直线为y=kx,即kx-y=0,由,解得或,（2）x,y满足, 另法：应用线性规划的思路，如图，2x-y的最小值或最大值就在直线2x-yb与圆的切点处达到由,解得或,变式2：（200
10、6年湖南卷）圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（ ）A.36 B. 18 C. D.变式3：已知，点在圆上运动，则的最小值是 .解：设，则.设圆心为，则，的最小值为.18已知圆C: x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线L,使以L被圆C截得弦AB为直径的圆经过原点?若存在,写出直线L的方程；若不存在,说明理由解：设直线L的斜率为，且L的方程为y=x+b,则消元得方程2x2+(2b+2)x+b2+4b-4=0,设此方程两根为x1,x2，则x1x2-(b+1), y1+y2= x1x2+2b=b-1,则AB中点为，又弦长为，由题意可列式解得b=1或b=-9，经检验b=-9不合
11、题意所以所求直线方程为y=x+1点评：在解决存在性问题时，一般都是假设存在，然后推理求解，最后是检验。此类题极容易漏掉检验19自点（3，3）发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆相切，求光线L所在直线方程解：已知圆的标准方程是(x2)2(y2)21，它关于x轴的对称圆的方程是(x2)2(y2)21. 设光线L所在直线方程是：y3k(x3). 由题设知对称圆的圆心(2，2)到这条直线的距离等于1，即整理得 解得故所求的直线方程是，或，即3x4y30，或4x3y3020.如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足，,求点Q的轨迹方程点拨与提
12、示：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程 解： 依题意知四边形PAQB为矩形。设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在RtABP中，|AR|=|PR| 又因为R是弦AB的中点，依垂径定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=，所以有(x4)2+y2=36(x2+y2)，即x2+y24x10=0，因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动 设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为
13、R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 变式1：已知直线与圆相交于、两点，以、为邻边作平行四边形，求点的轨迹方程.变式2：已知定点，点在圆上运动，是线段上的一点，且，则点的轨迹方程是（ ）解：设.，.点在圆上运动，即，点的轨迹方程是.反思：直线与圆在以前的高考题都是以低、中档题出现。08高考对圆的要求为C级，这要引起足够的重视本专题重点：判断直线与的位置关系，求弦长、切线长，求切线方程，求有关的轨迹问题，数形结合求参数的范围以及最值问题等在求圆的切线时，易忽略直线斜率是否存在在求参数的范围、最值问题时，要从代数方法、数形结合的两种方法入手来培养学生分析问题、解决问题的能力版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()
