1、选修45 不等式选讲 第1讲绝对值不等式基础知识整合1绝对值不等式的解法(1)形如|axb|cxd|的不等式，可以利用两边平方转化为二次不等式求解(2)形如|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式绝对值不等式|x|a与|x|0a0a0|x|ax|axax|xa或x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc(c0)，|axb|caxbc或axbc(c0)2绝对值不等式的应用(1)定理：如果a，b是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立(3)由绝对值不等式定理还
2、可以推得以下几个不等式|a1a2an|a1|a2|an|.|a|b|ab|a|b|.|a|b|ab|a|b|.1在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题，能有效避免分类讨论不全面的问题若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏2绝对值不等式|ab|a|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件1不等式|x1|x2|5的解集为()A(，22，)B(，12，)C(，23，)D(，32，)答案D解析原
3、不等式等价于或或即或或解得x3或x或x2，所以x3或x2.2若不等式|a2x|x3对任意x0,2恒成立，则实数a的取值范围是()A(1,3) B1,3C(1,3) D1,3答案B解析由题意可得当x0,2时，f(x)|a2x|的图象恒在直线yx3的下方或在直线yx3上，如图，所以得或由可得1a0，由可得0a3，故实数a的取值范围是1,33若关于x的不等式|xm|x2|4的解集不为，则实数m的取值范围是()A(2,6)B(，2)(6，)C(，6)(2，)D(6,2)答案D解析关于x的不等式|xm|x2|4的解集不为(|xm|x2|)min4，|xm|x2|(xm)(x2)|m2|，|m2|4，解得
4、6m2，故选D.4若不等式|x1|2x|a无实数解，则a的取值范围是()A(，3) B(3，)C(，3 D(，3)答案C解析由绝对值不等式的性质，得|x1|2x|(x1)(2x)|3，即|x1|2x|3，因为|x1|2x|a无实数解，所以a3，故选C.5不等式3|52x|9的解集为()A2,1)4,7) B(2,1(4,7C(2，14,7) D(2,14,7)答案D解析由题意，得得所求不等式的解集为(2,14,7)6不等式|x3|2x1|1的解集为_答案解析当x3时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x10，所以x3.当3x时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x，所以3x.当x时，原
5、不等式化为x312x2，所以x2.综上可知，原不等式的解集为.核心考向突破考向一绝对值不等式的解法例1(1)(2019全国卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)当a1时，求不等式f(x)0的解集；若x(，1)时，f(x)0，求a的取值范围解当a1时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当x1时，f(x)2(x1)20；当x1时，f(x)0.所以不等式f(x)0的解集为(，1)因为f(a)0，所以a1.当a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0.所以a的取值范围是1，)(2)(2019河南八市压轴)已知函数f(x)|2x3|xa|(aR)当a1时，解不等式f(
6、x)2；若关于x的不等式f(x)|x3|的解集包含3,5，求a的取值范围解当a1时，不等式f(x)2，即|2x3|x1|2，所以或或解得x6或x0，所以不等式f(x)2的解集为(，60，)关于x的不等式f(x)|x3|的解集包含3,5，即|2x3|x3|xa|在3,5上恒成立，即x6|xa|在3,5上恒成立，即6a2x6在x3,5上恒成立，解得6a12，所以a的取值范围是6,12(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设ac(c0)的几何意义：数轴上到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体(3)图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象
7、，结合图象求解即时训练1.(2019湖北恩施质检)已知函数f(x)|xm|2|x1|.(1)当m2时，求不等式f(x)8的解集；(2)若不等式f(x1)3的解集为，求正数m的取值范围解(1)当m2时，f(x)|x2|2|x1|当x2时，由3x8，得x，即x1时，由3x8，得x，即1x.综上，不等式f(x)8的解集为.(2)由f(x1)3，得|x1m|2|x|3，令g(x) |x1m|2|x|若不等式f(x1)5，求a的取值范围；(2)若a，bN*，关于x的不等式f(x)5，得|1a|2a|2，当a2时，a1a22，解得a，当1a2，不等式无解，当a1时，1a2a2，解得a，综上所述，a的取值范
8、围为.(2)因为f(x)b，所以|xa|xb，当xa时，xaxb，得x，当xa时，axxb，得ab，因为不等式f(x)b的解集为，则又因为a，bN*，所以a1，b2.考向二绝对值三角不等式的应用例2(1)(2019漳州二模)已知f(x)|xa|(aR)若f(x)|2x1|的解集为0,2，求a的值；若对任意xR，不等式f(x)|xa|3a2恒成立，求实数a的取值范围解不等式f(x)|2x1|，即|xa|2x1|，两边平方整理，得3x2(2a4)x1a20，由题意，知0和2是方程3x2(2a4)x1a20的两个实数根，即解得a1.因为f(x)|xa|xa|xa|(xa)(xa)|2|a|，所以要使
9、不等式f(x)|xa|3a2恒成立，只需2|a|3a2，当a0时，2a3a2，解得a2，即0a2；当a0时，2a3a2，解得a，即a1时，求实数a的取值范围；若a0，x，y(，a，不等式f(x)|y|ya|恒成立，求实数a的取值范围解f(1)f(1)|1a|1a|1，若a1，则1a1a1，得21，即a1；若1a1，得a，即1a1，得21，此时不等式无解综上所述，实数a的取值范围是.由题意，知要使不等式恒成立，只需f(x)maxmin.当x(，a时，f(x)x2ax，f(x)maxf.因为|y|ya|a|，当且仅当(ya)0，即ya时等号成立，所以当y(，a时，min|a|a.于是a，解得1a5
10、.又a0，所以实数a的取值范围是(0,5两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时(2)该定理可强化为|a|b|ab|a|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式即时训练3.(2019江西上饶模拟)已知函数f(x)|2xa|2x1|，g(x)|x1|2.(1)解不等式g(x)4；(2)若对任意x2R，都有x1R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围解(1)由|x1|24，得|x1|2，解得x1或x3.故不等式g(x)4的解集为x|x1或x3(2)因为对任意x2R，都有x1R，使得f(x1)g
11、(x2)成立，所以y|yg(x)y|yf(x)又因为g(x)|x1|22，f(x)|2xa|2x1|(2xa)(2x1)|a1|，所以|a1|2，解得3a1，所以实数a的取值范围为3,14(2019湖南怀化质检)设f(x)|2x1|x1|.(1)解不等式f(x)3；(2)若不等式m|x|f(x)恒成立，求m的取值范围解(1)当x时，f(x)(2x1)(x1)3x3，解得x1，故x1.综上所述，满足f(x)3的解集为x|1x1(2)当x0时，可知mR，不等式均成立；当x0时，由已知可得m恒成立，即m的最小值|2|1|3，当x1或x时，等号成立，所以m3.综上所述，使得不等式m|x|f(x)恒成立
12、的m的取值范围为(，3考向三绝对值不等式的综合应用例3(1)已知函数f(x)|x2|2x1|.求不等式f(x)3的解集；若不等式f(x)ax的解集为空集，求实数a的取值范围解解法一：由题意f(x)当x时，f(x)3x33，解得x0，即0x，当x2时，f(x)x13，解得x2，即xax对任意xR恒成立，即函数yax的图象始终在函数yf(x)的图象的下方，如图当直线yax过点A(2,3)以及与直线y3x3平行时为临界点，所以3aax对任意xR恒成立，()当x时，f(x)3x3ax，即(a3)x30恒成立，若a30，显然不符合题意，若a30，即a3，则30，即a3，只需(a3)30即可，解得a3，故
13、3a3，所以3a3；()当xax，即(a1)x10恒成立，若a10，即a1，(a1)x10恒成立，符合题意，若a10，即a1，则10，即a1，只需(a1)210即可，解得a，故1ax，即(a3)x30恒成立，若a30，即a3，只需(a3)230即可，解得a，故a，若a30，即a3，则30，即a3，则(a3)x30恒成立，不符合题意，所以a0)，g(x)x2x.当a1时，求不等式g(x)f(x)的解集；已知f(x)2恒成立，求实数a的取值范围解当a1时，f(x)|x1|x1|当x1时，x2x2x，得x1；当1x1时，x2x2，即x1或x2，舍去；当x1时，x2x2x，得x3.综上，原不等式的解集
14、为x|x1或x3f(x)|ax1|xa|当01时，f(x)minfa2，得a1.综上，实数a的取值范围为1，)(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法即时训练5.(2019宁德模拟)已知f(x)|2x1|ax5|(0a5)(1)当a1时，求不等式f(x)9的解集；(2)若函数yf(x)的最小值为4，求实数a的值解(1)当a1时，f(x)|2x1|x5|所以f(x)9或或解得x1或x5，即所求不等式的解集为(，15，)(2)0a1，则f(x)注意到当x时，f(x)单调递增，f(x)的最小值在上取得，在上，当0a2时
15、，f(x)单调递增；当a2时，f(x)4；当2a5时，f(x)单调递减，或解得a2.6(2019广州二模)已知函数f(x)|2x1|a.(1)当a1时，解不等式f(x)x1；(2)若存在实数x，使得f(x)f(x1)成立，求实数a的取值范围解(1)当a1时，由f(x)x1，得|2x1|1x1.当x时，2x11x1，解得x3.当x时，12x1x1，解得x.综上可知，不等式f(x)x1的解集为.(2)由f(x)f(x1)，得|2x1|a2|2x1|2x1|，令g(x)2|2x1|2x1|，则问题等价于ag(x)min.因为|2x1|2x1|(2x1)(2x1)|2，即2|2x1|2x1|2，则|2x1|2x1|2.所以g(x)|2x1|2x1|2x1|2|2x1|2，当且仅当x时等号成立所以g(x)min2.所以实数a的取值范围为(2，)
