1、专题六 函数与导数第二讲 导数与不等式问题解答题专项练 选择填空题专项练 栏目导航 题型专项练 专题限时训练 新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页1(1)若函数 f(x)在(a，b)内可导且为增函数，则 f(x)0 在(a，b)内恒成立(2)若函数 f(x)在(a，b)内可导且为减函数，则_在(a，b)内恒成立2(1)mf(x)在a，b内恒成立，只需 mf(x)max.(2)mf(x)在a，b内恒成立，只需 m_.(3)存在 x0a，b使 mf(x)，只需 mf(x)min.(4)存在 x0a，b使 mf(x)，只需 m_.f(x)0 f(x)minf(x)max新课标高考第二
2、轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页类型一 用导数解不等式中的含参问题突破函数性质与不等式的关系例 1(本题满分 12 分)已知函数 f(x)ln xa(1x)(1)讨论 f(x)的单调性；解析(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1xa.(1 分)新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页若 a0，则 f(x)0，所以 f(x)在(0，)上单调递增(2 分)若 a0，则当 x0，1a 时，f(x)0；当 x1a，时，f(x)0 时，f(x)在 x1a处取得最大值，最大值为 f1a ln1a a11a ln aa1.(8 分)因此 f1a 2a2 等价于 ln aa10.(9
3、分)令 g(a)ln aa1，则 g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0.(11 分)因此，a 的取值范围是(0,1)(12 分)新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页【知规则规范解答】采点得分说明 无定义域扣 1 分 导数求错，以上各步都为 0 分 没对“a0”说明的扣 2 分 没说明 f(x)0 或 f(x)0 直接写单调区间扣 2 分新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页 最大值求错，以下各步都为 0 分 无转化不等式“ln aa10”扣 1 分 没说明 g(a)为增函数扣 1 分新课标高考第二轮总复习文科数
4、学 上一页返回导航下一页1(2018全国新课标卷)已知函数 f(x)exax2.(1)若 a1，证明：当 x0 时，f(x)1；解析：(1)证明：当 a1 时，f(x)1 等价于(x21)ex10.设函数 g(x)(x21)ex1，则 g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当 x1 时，g(x)0，h(x)没有零点；(ii)当 a0 时，h(x)ax(x2)ex.当 x(0,2)时，h(x)0.所以 h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，)上单调递增故 h(2)14ae2是 h(x)在(0，)上的最小值新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页若 h(2)0，即 ae24，h(
5、x)在(0，)上没有零点；若 h(2)0，即 ae24，h(x)在(0，)上只有一个零点；若 h(2)e24，由于 h(0)1，所以 h(x)在(0,2)上有一个零点，由(1)知，当 x0 时，exx2，新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页所以 h(4a)116a3e4a 116a3e2a2116a32a411a0.故 h(x)在(2,4a)上有一个零点，因此 h(x)在(0，)上有两个零点综上，f(x)在(0，)只有一个零点时，ae24.,新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页【悟方法善于总结】由函数构造的不等式，往往是利用函数的单调性求解注意要根据不等式形式构
6、造函数解析式新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页自我总结_新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页类型二 导数与证明不等式突破不等式与函数的转化例 2(2019高考北京卷)已知函数 f(x)14x3x2x.(1)求曲线 yf(x)的斜率为 1 的切线方程；解析(1)由 f(x)14x3x2x 得 f(x)34x22x1.令 f(x)1，即34x22x11，得 x0 或 x83.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页又 f(0)0，f83 827，所以曲线 yf(x)的斜率为 1 的切线方程是 yx 与 y 827x83，即 yx 与 yx6427.新课
7、标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)当 x2,4时，求证：x6f(x)x.解析(2)证明：令 g(x)f(x)x，x2,4由 g(x)14x3x2 得 g(x)34x22x.令 g(x)0 得 x0 或 x83.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页g(x)，g(x)的情况如下：x2(2,0)00，838383，44g(x)g(x)6 0 6427 0所以 g(x)的最小值为6，最大值为 0.故6g(x)0，即 x6f(x)x.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页2(2018全国新课标卷)已知函数 f(x)ax2x1ex.(1)求曲线 yf(x)
8、在点(0，1)处的切线方程；解析：(1)f(x)ax22a1x2ex，f(0)2.因此曲线 yf(x)在点(0，1)处的切线方程是 2xy10.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)证明：当 a1 时，f(x)e0.解析：(2)证明：当 a1 时，f(x)e(x2x1ex1)ex.令 g(x)x2x1ex1，则 g(x)2x1ex1.当 x1 时，g(x)1 时，g(x)0，g(x)单调递增，所以 g(x)g(1)0.因此 f(x)e0.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页【悟方法善于总结】把要证明的不等式，转化为函数的极值或最值关系，再结合不等式的性质进行
9、推证新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页自我总结_新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页类型三“恒成立”与“存在”问题突破不等式“恒成立”和“存在”区别与函数最值关系例 3 设函数 f(x)aln x1a2 x2bx(a1)，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为 0.(1)求 b；解析(1)f(x)ax(1a)xb.由题设知 f(1)0，解得 b1.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)若存在 x01，使得 f(x0)0，f(x)在(1，)上单调递增新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页所以，存在 x01，使得 f(x
10、0)aa1的充要条件为 f(1)aa1，即1a2 1 aa1，解得 21a 21.若12a1，故当 x1，a1a 时，f(x)0，f(x)在1，a1a 上单调递减，在a1a，上单调递增新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页所以，存在 x01，使得 f(x0)aa1的充要条件为 fa1a aa1，所以不合题意若 a1，则 f(1)1a2 1a12 aa1.综上，a 的取值范围是(21，21)(1，)新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页3(2019福州模拟)已知函数 f(x)x3ax2bxc 在 x23与 x1 处都取得极值(1)求实数 a，b 的值；解析：(1)根据
11、题意，f(x)x3ax2bxc，则 f(x)3x22axb，函数 f(x)x3ax2bxc 在 x23与 x1 处都取得极值，则 f23 129 43ab0，f(1)32ab0，可得 a12，b2.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)求函数 f(x)的单调区间，并判断极大值点与极小值点；解析：(2)由(1)得 f(x)3x2x2(3x2)(x1)，列表如下：x(，23)23(23，1)1(1，)f(x)00f(x)增极大值减极小值增所以函数 f(x)的递增区间是，23 和(1，)，递减区间是23，1，x23是极大值点，x1 是极小值点新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页
12、返回导航下一页(3)若对 x1,2，不等式 f(x)f(1)，比较得 f(2)2c 为最大值，要使 f(x)f(2)2c，解得 c2.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页【悟方法善于总结】本题涉及存在性问题，使不等式成立，故需求 f(x)的最小值，注意“存在”与“恒成立”的区别利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页(2)如果无法分离参数可以考虑对参数 a 或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制
13、二次项系数或判别式的方法求解(3)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为 f(x)0(或 f(x)0)恒成立的问题新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页自我总结_新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页考点一 求参数范围例 4 设函数 f(x)ex(2x1)axa，其中 a1，若存在唯一的整数 x0使得 f(x0)0，则 a 的取值范围是()A.32e，1B.32e，34C.32e，34D.32e，1答案 D新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析 通性通法：采用分离参数 a 转化为求函数的最小值由 f(x0)0，即 ex0(2x01)a(x01)0
14、，得 ex0(2x01)a(x01)当 x01 时，得 e1，则 aex02x01x01.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页令 g(x)ex2x1x1，则 g(x)2xexx32x12.当 x1，32 时，g(x)0，g(x)为增函数要满足题意，则 x02，此时需满足 g(2)ag(3)，得 3e2a52e3，与 a1 矛盾，所以 x01.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页因为 x01，所以 a0，g(x)为增函数；当 x(0,1)时，g(x)0，g(x)为减函数要满足题意，则 x00，此时需满足 g(1)ag(0)，得 32ea1(满足 a1)新课标高考第
15、二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页提速方法：结合特值验证，进行排除f(0)1a0，x00.又x00 是唯一的使 f(x)0 的整数f10，f10，即e1211aa0，e211aa0.a 32e，又a1，32ea1.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页1若函数 f(x)x3tx23x 在区间1,4上单调递减，则实数 t 的取值范围是()A.，518B.(，3C.518，D.3，)答案：C新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析：f(x)3x22tx3，由于 f(x)在区间1,4上单调递减，则有 f(x)0 在1,4上恒成立，即 3x22tx30，即 t32x
16、1x 在1,4上恒成立因为 y32x1x 在1,4上单调递增，所以 t32414 518.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页考点二 解不等式例 5(2019南开区二模)已知函数 f(x)exex2sin x，其中 e 为自然对数的底数，若 f(2a2)f(a3)0，则实数 a 的取值范围为_解析 通性通法：函数不等式问题常转化为函数单调性问题求解，根据函数单调性求函数自变量的取值范围f(x)ex1ex2sin x，f(x)exex2sin xf(x)，答案：32，1新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页f(x)ex1ex2cos x2 exex20，f(x)在
17、R 上单调递增且为奇函数由 f(2a2)f(a3)0，可得 f(2a2)f(a3)f(3a)，2a2a3，可得32a2，则 f(x)2x4 的解集为()A(1,1)B.(1，)C(，1)D.(，)答案：B新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析：设 g(x)f(x)(2x4)g(x)f(x)20，g(x)在 R 上是增函数g(1)f(1)(24)0，g(x)0 的解集为x|x1，即 f(x)2x4 的解集为(1，)新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页1若函数 f(x)kxln x 在区间(1，)单调递增，则 k 的取值范围是()A(，2 B.(，1C2，)D.1
18、，)答案：D解析：依题意得 f(x)k1x0 在(1，)上恒成立，即 k1x在(1，)上恒成立，x1，01x1，k1.新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页2(2017全国新课标卷)函数 f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若 f(1)1，则满足1f(x2)1 的 x 的取值范围是()A2,2 B.1,1C0,4 D.1,3答案：D新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页解析：因为 f(x)为奇函数，所以 f(1)f(1)1.因为 f(x)在(，)上单调递减，要使1f(x2)1 成立，则有1x21，解得 1x3，即满足1f(x2)1 成立的 x 的取值范围为1,3新课
19、标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页3若 f(x)x33xm 有且只有一个零点，则实数 m 的取值范围是_解析：设 g(x)x33x，则 g(x)3x233(x1)(x1)当 x1 时，g(x)0；当1x1 时，g(x)0.因此函数 g(x)x33x 在区间(，1)，(1，)上单调递增，在区间(1,1)上单调递减，且 g(1)2，g(1)2.所以当 x时，g(x)；答案：(，2)(2，)新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页当 x时，g(x).在坐标平面内画出直线 ym 与函数 g(x)x33x 的大致图象(图略)，结合图象可知，当且仅当m2，即 m2 或 m0)，f
20、(x)ax2x(a2)2xax1x.当 a4 时，f(x)4ln xx26x，f(x)2x4x1x.令 f(x)2x4x1x0.解得 x2 或 00 时，对于任意的 x1，)，不等式 f(x)1a2 恒成立，求实数 a 的取值范围解析：(2)令 g(x)f(x)1a2，则 g(x)f(x)2xax1x.当 0a21，即 0a2 时，当 x1，)时，有 g(x)0(当且仅当 x1 时取等号)，g(x)在1，)上单调递增，新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页g(x)ming(1)a2a2(a2)(a1)1，即 a2 时，g(x)在1，a2 上单调递减，在a2，上单调递增，新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页g(x)minga2 alna23a24 a1，令 h(x)xlnx234x2x1(x2)，则 h(x)lnx232x1.当 x2 时，h(x)0，h(x)在(2，)上单调递增新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页h(x)h(2)0.g(x)ga2 0 恒成立，满足题意综上，实数 a 的取值范围(2，)新课标高考第二轮总复习文科数学 上一页返回导航下一页专题限时训练
