1、1.已知函数f(x)函数g(x)bf(2x)，其中bR.若函数yf(x)g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()点击观看解答视频A. B.C. D.答案D解析函数yf(x)g(x)恰有4个零点，即方程f(x)g(x)0，即bf(x)f(2x)有4个不同的实数根，即直线yb与函数yf(x)f(2x)的图象有4个不同的交点又yf(x)f(2x)作出该函数的图象如图所示，由图可得，当b0，函数f(x)在R上单调递增对于A项，f(1)e1(1)45e10，f(0)30，A不正确；同理可验证B、D不正确对于C项，f(1)e14e30，f(1)f(2)0.故f(x)的零点位于区间(1,2)4设函数f(x
2、)(1)若a1，则f(x)的最小值为_；(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是_答案(1)1(2)上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围解(1)由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb.所以g(x)ex2a.因此，当x时，g(x)当a时，g(x)0，所以g(x)在上单调递增，因此g(x)在上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在上单调递减，因此g(x)在上的最小值是g(1)e2ab；当a时，令g(x)0，得xln (2a)(0,1)所以函数g(x)在区间上单调递减，在区间(ln (2a)，1上单调递
3、增于是，g(x)在上的最小值是g(ln (2a)2a2aln (2a)b.综上所述，当a时，g(x)在上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)在上的最小值是g(ln (2a)2a2aln (2a)b；当a时，g(x)在上的最小值是g(1)e2ab.(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)f(x0)0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点由(1)知，当a时，g(x)在上单调
4、递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点当a时，g(x)在上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点所以a0，g(1)e2ab0.由f(1)0有abe10，g(1)e2ab1a0.解得e2a1.当e2a1时，g(x)在区间内有最小值g(ln (2a)若g(ln (2a)0，则g(x)0(x)，从而f(x)在区间上单调递增，这与f(0)f(1)0矛盾，所以g(ln (2a)0，g(1)1a0，故此时g(x)在(0，ln (2a)和(ln (2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在上单调递增所以f(x1)f(0)0，f(x2)f(1)0，故f(x)在(x1，x2)内有零点综上可知，a的取值范围是(e2,1)
