1、第8讲函数与方程基础知识整合1函数的零点(1)函数零点的定义对于函数yf(x)(x区间D)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)(x区间D)的零点(2)三个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)的图象与零点的关系000)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数210有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点(2)连续不断的函数，其相邻两个零点
2、之间的所有函数值保持同号(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号(4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)0的实根(5)由函数yf(x)(图象是连续不断的)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示，所以f(a)f(b)0是yf(x)的闭区间a，b上有零点的充分不必要条件1(2020云南玉溪一中二调)函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1)B(1,0)C(0,1)D(1,2)答案B解析易知函数f(x)2x3x在定义域上单调递增，且f(2)2260，f(1)2130，所以由零点存在性定理得，零点所在的区间是(1，0)故选B2(2
3、019全国卷)函数f(x)2sinxsin2x在0,2的零点个数为()A2B3C4D5答案B解析令f(x)0，得2sinxsin2x0，即2sinx2sinxcosx0，2sinx(1cosx)0，sinx0或cosx1.又x0,2，由sinx0得x0，或2，由cosx1得x0或2.故函数f(x)的零点为0，2，共3个故选B3函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3)B(1,2)C(0,3)D(0,2)答案C解析因为f(x)在(0，)上是增函数，则由题意得f(1)f(2)(0a)(3a)0，解得0a3.故选C4(2019河南郑州模拟)函数f(x)|x2
4、|ln x在定义域内的零点的个数为()A0B1C2D3答案C解析作出函数y|x2|与g(x)ln x的图象，如图所示由图象可知两个函数的图象有两个交点，即函数f(x)在定义域内有2个零点故选C5函数f(x)ex3x的零点有_个答案1解析f(x)ex3x在R上是单调递增函数，且f(1)e130，函数f(x)有1个零点6函数y|x|m有两个零点，则m的取值范围是_.答案(0,1)解析如图，作出y|x|的图象则当0m0，f(1)1210，f(1)f(2)0.由零点存在性定理可知，方程的解在(1,2)内故选B(2)(2019包头模拟)已知函数f(x)ln x3x8的零点x0a，b，且ba1，a，bN*
5、，则ab()A0B2C5D7答案C解析f(2)ln 268ln 220，且函数f(x)ln x3x8在(0，)上为单调递增函数，x02,3，即a2，b3，ab5.判断函数零点所在区间的常用方法(1)定义法：利用函数零点存在性定理，首先看函数yf(x)的区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(2)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断即时训练1.函数f(x)ln
6、的零点所在的大致区间是()A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,5)答案B解析易知f(x)ln ln (x1)在(1，)上单调递减且连续，当1x2时，ln (x1)0，所以f(x)0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点f(2)1ln 11，f(3)ln 2，22.828e，所以8e2，即ln 82，所以f(3)0.所以f(x)的零点所在的大致区间是(2,3)，故选B2若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内答案A解析函数yf(x)是开
7、口向上的二次函数，最多有两个零点，由于abc，则ab0，ac0，bc0，f(b)(bc)(ba)0.所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点考向二函数零点个数的讨论例2(1)(2020福州期末)已知函数f(x)则函数yf(x)3x的零点个数是()A0B1C2D3答案C解析令f(x)3x0，则或解得x0或x1，所以函数yf(x)3x的零点个数是2.故选C(2)(2019南昌模拟)已知函数yf(x)是周期为2的周期函数，且当x1,1时，f(x)2|x|1，则函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数是()A9B10C11D18答案B解析在
8、同一平面直角坐标系内作出函数yf(x)与y|lg x|的大致图象如图，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)f(x)|lg x|的零点个数是10.故选B确定函数零点个数的方法及思路(1)解方程法：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同
9、的零点即时训练3.(2019乐山模拟)函数f(x)x2|x|的零点个数为()A0B1C2D3答案C解析由f(x)x2|x|，得f(x)(x)2|x|f(x)，f(x)为偶函数，且在(0，)上单调递增，又f(0)f(1)0，f(x)在(0，)上有且仅有1个零点函数f(x)的零点个数为2，故选C4函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1B2C3D4答案B解析由2x|log0.5x|10得|log0.5x|x，作出y|log0.5x|和yx的图象，如图所示，则两个函数图象有两个交点，故函数f(x)2x|log0.5x|1有两个零点精准设计考向，多角度探究突破考向三函数零点的应用角度利
10、用零点比较大小例3(1)(2019承德模拟)已知a是函数f(x)2xlogx的零点，若0x00Cf(x0)0Df(x0)的符号不确定答案C解析在同一平面直角坐标系中作出函数y2x，ylogx的图象(图略)，由图象可知，当0x0a时，有2x0logx0，即f(x0)0.(2)已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()Ax2x1x3Bx1x2x3Cx1x3x2Dx3x2x1答案B解析令y12x，y2ln x，y31，因为函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则y12x，y2ln
11、 x，y31的图象与yx的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，在同一平面直角坐标系内分别作出函数y12x，y2ln x，y31及yx的图象如图，结合图象可得x1x2x3，故选B在同一平面直角坐标系内准确作出已知函数的图象，数形结合，对图象进行分析，找出零点的范围，进行大小比较即时训练5.(2019广东七校联考)已知函数f(x)xlog3x，若实数x0是方程f(x)0的解，且x0x1，则f(x1)的值()A恒为负B等于零C恒为正D不大于零答案A解析由于函数f(x)xlog3x在定义域内是减函数，于是，若f(x0)0，当x0x1时，一定有f(x1)0.故选A6已知x0是函数f(x)2x的一个零点若
12、x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0答案B解析在同一平面直角坐标系内作出函数y2x和函数y的图象，如图所示由图象可知函数y2x和函数y的图象只有一个交点，即函数f(x)2x只有一个零点x0，且x01.因为x1(1，x0)，x2(x0，)，则由函数图象可知，f(x1)0.角度由函数零点存在情况或个数求参数范围例4(1)(2019天津高考)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)xa(aR)恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为()ABC1D1答案D解析如图，分别画出两函数yf(x)和yxa的图象先研究当0x1时
13、，直线yxa与y2的图象只有一个交点的情况当直线yxa过点B(1,2)时，2a，解得a.所以0a.再研究当x1时，直线yxa与y的图象只有一个交点的情况：a相切时，由y，得x2，此时切点为，则a1.b相交时，由图象可知直线yxa从过点A向右上方移动时与y的图象只有一个交点过点A(1,1)时，1a，解得a.所以a.结合图象可得，所求实数a的取值范围为1故选D(2)(2019浙江高考)设a，bR，函数f(x)若函数yf(x)axb恰有3个零点，则()Aa1，b0Ba0Ca1，b1，b0答案C解析由题意，bf(x)ax设yb，g(x)即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论当a0，可知g(
14、x)在(，0)上单调递增；由g(x)x2(a1)xxx(a1)(x0)，a11，即a10时，因为g(x)xx(a1)(x0)，所以当x0时，由g(x)0可得0x0，即1a1时，由图象可得，若要yg(x)与yb的图象有3个交点，必有b0；当1a0时，yg(x)与yb的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去；当1a1时，yg(x)与yb的图象可以有1个或2个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去综上，1a1，b0)的图象有交点，则a的取值范围是_.答案解析当a1时，显然成立当a1时，如图所示，使得两个函数图象有交点，需满足22a2，即1a ；当0
15、a1时，如图所示，要使两个函数图象有交点，需满足12a1，即a1，综上可知，a.8若函数f(x)4x2xa，x1,1有零点，则实数a的取值范围是_.答案解析因为函数f(x)4x2xa，x1,1有零点，所以方程4x2xa0在1,1上有解，即方程a4x2x在1,1上有解方程a4x2x可变形为a2，因为x1,1，所以2x，所以2.所以实数a的取值范围是.(2019温州模拟)设函数f(x)exx2，g(x)ln xx23.若实数a，b满足f(a)0，g(b)0，则()A.g(a)0f(b) Bf(b)0g(a)C.0g(a)f(b) Df(b)g(a)0知f(x)是R上的增函数，因为g(x)的定义域为
16、(0，)，所以g(x)2x0，所以g(x)在(0，)上是增函数因为f(0)10，所以0a1，因为g(1)20，所以1b0，g(a)0g(a)，故选A.答题启示(1)本题以函数的零点为背景，综合考查函数的导数与单调性的关系，函数的零点存在性定理，所考查知识点具有隐蔽性是本题的最大特色(2)本题中由等量关系到不等关系的转化，考查学生分析问题、解决问题的能力及逆向思维意识对点训练已知x1，x2是函数f(x)ex|ln x|的两个零点，则()A.x1x21 B1x1x2eC.1x1x210 Dex1x210答案A解析在同一平面直角坐标系中作出函数yex与y|ln x|的图象，结合图象不难看出，它们的两个交点中，其中一个交点的横坐标属于区间(0,1)，另一个交点的横坐标属于区间(1，)，即在x1，x2中，其中一个属于区间(0,1)，另一个属于区间(1，)不妨设x1(0,1)，x2(1，)，则有ex1|ln x1|ln x1(e1,1)，ex2|ln x2|ln x2(0，e1)，ex2ex1ln x2ln x1ln (x1x2)(1,0)，于是有e1x1x2e0，即x1x21.
