1、 2013届高三数学章末综合测试题（7）平面向量、数系的扩充与复数的引入 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是()A.B.C. D.解析：排除法如题图，故A正确而，故B正确 ()，故C正确，所以选D. 答案：D2若i为虚数单位，则复数等于()A.iB.iC1i D.i解析：i. 答案：A3已知复数z1i，则等于()A2i B2iC2D2解析：将已知代入得： (i)(1i)22(1i)(i)(2i22i)2i，故选A. 答案：A4若|a|1，|b|2，cab
2、，且ca，则向量a与b的夹角为()A60 B90 C120 D150解析：(ab)a0，a2ab0，cos，120 答案：C5设复数(ai)2对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是()A1 B1 C D.解析：(ai)2a212ai，解得a1. 答案：A6已知点P为ABC所在平面上的一点，且t，其中t为实数，若点P落在ABC的内部，则t的取值范围是()A0t B0tC0t D0t解析：如图，E、F分别为AB、BC的三等分点，点P在E点时，t=0，点P在F点时，t.而P在ABC的内部，0t. 答案：D7已知|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A
3、0， B， C， D，解析：方程x2|a|xab0有实根，|a|24ab0ab|a|2. cos.a、b夹角的取值范围是.故选B. 答案：B8已知向量复数a、b的夹角为60，|a|3，|b|2，若(3a5b)(mab)，则m的值是()A. B. C. D.解析：(3a5b)(mab)， (3a5b)(mab)0， 即3ma25b2(5m3)ab0， 27m20(5m3)32cos600，解得m. 答案：C9已知向量a，b，c满足|a|1，|b|2，|c|4，且a，b，c，两两夹角均为120，则|abc|() A. B7 C. D7或解析：|abc|2a2b2c22ab2bc2ac|a|2|b|
4、2|c|22|a|b|cos120 2|b|c|cos1202|a|c|cos1201416212224214212847|abc| 答案：A10已知两点M(1,0)，N(1,0)，若直线3x4ym0上存在点P满足0，则实数m的取值范围是()A(，55，)B(，2525，)C25,25D5,5解析：设P(x，y)，则(1x，y)，(1x，y)， (1x)(1x)(y)(y)x2y210.x2y21，因此P的轨迹为单位圆，又P点在直线3x4ym0上原点到直线的距离d1，|m|5.5m5，实数m的取值范围是5,5. 答案：D11已知O是ABC所在平面内一点，且满足|2|2，则点O()A在AB边的高
5、所在的直线上B在C平分线所在的直线上C在AB边的中线所在的直线上D是ABC的外心解析：由已知条件|2|2可得()()()()，即()(2)0，所以点O在AB边的高所在的直线上. 答案：A12已知O是ABC内部一点，0，2，且BAC30，则AOB的面积为()A2 B1 C. D.解析：由0得O为ABC的重心SAOBSABC，又|cos302，得|4.SABC|sin301.SAOB.答案：D第卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13已知复数z1cosi，z2sini，则z1z2的实部最大值为_，虚部最大值为_解析：z1z2(cossin1)i(cossin)实部
6、为cossin11sin2，所以实部的最大值为. 虚部为cossinsin，所以虚部的最大值为.答案：14已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若320，则等于_解析：2()，2， |2|，2.答案：215已知A、B是圆心为C，半径为的圆上两点，且|，则_.解析：如图所示，ABC为等边三角形16已知a与b夹角为，定义ab为a与b的“向量积”，ab是一个向量，它的长度|ab|a|b|sin.若u(2,0)，uv(1，)，则|u(uv)|_.三、解答题：本大题共6小题，共70分17(10分)已知z(a0)，复数z(zi)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数.解析：由已知得，z，i，.a24，a2
7、或a2(舍)，3i18(12分)设a(1,1)，b(4,3)，c(5，2)，(1)求证a与b不共线，并求a与b的夹角的余弦值；(2)求c在a方向上的投影；(3)求1和2，使c1a2b.解析：(1)a(1,1)，b(4,3)，且1314，a与b不共线又ab14131，|a|，|b|5，cos.(2)ac151(2)7，c在a方向上的投影为.(3)c1a2b，(5，2)1(1,1)2(4,3)(421，132)，解得.19(12分)已知m(cosx,2sinx)，n(2cosx，sinx)，f(x)mn.(1)求f的值；(2)当x时，求g(x)f(x)sin2x的最大值和最小值解析：(1)f(x)
8、mn2cos2x2sin2x2cos2x，f2cos2cos2cos2cos1.(2)由(1)得g(x)cos2xsin2xsin.x，2x，当x时，g(x)max；当x时，g(x)min1.20(12分)已知平面向量a，b.(1)证明：ab；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使xa(t2k)b，ysatb，且xy，试求sf(t)的函数关系式；(3)若sf(t)在1，)上是增函数，试求k的取值范围解析：(1)由题知|a|b|1，且ab0，所以ab.(2)由于xy，则xy0，从而s|a|2(tskst2)abt(t2k)|b|20，故sf(t)t3kt，(3)st3kt在1，)上是增函数，s3
9、t2k0在1，)上恒成立，即k3t2在1，)上恒成立，而3t23，只需k3，k的取值范围是(，321(12分)已知ABC的面积S满足S3，且6，与的夹角为.(1)求的取值范围；(2)求函数f()sin22sincos3cos2的最小值解析：(1)由题意知：|cos6S|sin()|sin得tan，即3tanS.由S3，得3tan3，即tan1.为与的夹角，(0，)，.(2)f()sin22sincos3cos21sin22cos22sin2cos22sin.，2.当2，即时，f()有最小值为3.22(12分)已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cosBbcosC，求函数f(A)的取值范围解析：(1)mn1，即sincoscos21，即sincos1，sin1.coscoscos221.(2)(2ac)cosBbcosC，由正弦定理得(2sinAsinC)cosBsinBcosC.2sinAcosBcosBsinCsinBcosC，2sinAcosBsin(BC)ABC，sin(BC)sinA，且sinA0，cosB，B，0A.，sin1.又f(x)mnsin，f(A)sin.故函数f(A)的取值范围是.
