1、江苏省板浦高级中学2020至2021学年高三数学期末模拟测试二 (时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1已知全集UR，集合Ax|x24，那么UA等于()A(，2) B(2，) C(2,2) D(，2)(2，)2设复数z满足(2i)z2i，则z在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3函数f(x)的部分图象大致是() 4已知tan 3，则sin 2cos()的值为()A. B. C. D.5.如图，在ABC中，P是直线BN上的一点，若m，则实数m的值为()A4 B1 C1 D46已知函数f(x)lg(x)，则f(
2、ln 5)f等于()A0 B. C1 D27已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)1，且对于任意的x，f(x)恒成立，则不等式f(lg 2x)0)，若f(x)在上无零点，则的取值范围是()A. B.C. D.1，)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分)9某市气象部门根据2019年各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值(单位：)数据，绘制如下折线图：那么，下列叙述正确的是()A各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B全年中，2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C全年中各月最低气温平均值不高于10 的月份有5个
3、D从2019年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值都呈下降趋势10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，有下列四个结论，正确的是()AAP与CM是异面直线 BAP，CM，DD1相交于一点CMNBD1 DMN平面BB1D1D11点P(1,1)是抛物线C：yx2上一点，斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且PAPB，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则下列结论成立的是()Akk1k22 B.C直线l过点(1，2) D直线l过点(1,2)12已知集合M(x，y)|yf(x)，若对于任意(x1，y1)M，存在(x2，y2)M
4、，使得x1x2y1y20，则称集合M是“垂直对点集”则下列四个集合是“垂直对点集”的为()AM(x，y)|ysin x1 BNCP(x，y)|yex2 DQ(x，y)|ylog2x三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_14记Sn为数列an的前n项和，若a11，an12Sn1(nN*)，则a3a4a5a6_.15某县城中学安排5位教师(含甲)去3所不同的农村小学(含A小学)支教，
5、每位教师只能支教一所农村小学，且每所农村小学都有教师支教甲不去A小学，则不同的安排方法种数为_16已知直线l：3x4ym0，圆C：x2y24x20，则圆C的半径r_；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得APB90，则实数m的取值范围是_四、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)在公比大于0的等比数列an中，已知a3a5a4，且a2,3a4，a3成等差数列(1)求an的通项公式；(2)已知Sna1a2an，试问当n为何值时，Sn取得最大值，并求Sn的最大值18(12分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2(b2c2a2)(1tan A)(1)求角C；
6、(2)若c2，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度条件：ABC的面积S4且BA，条件：cos B.19(12分)厂家在产品出厂前，需对产品做检测，第一次检测厂家的每件产品合格的概率为0.5，如果合格，则可以出厂；如果不合格，则进行技术处理，处理后进行第二次检测每件产品的合格率为0.8，如果合格，则可以出厂，不合格则当废品回收(1)求某件产品能出厂的概率；(2)若该产品的生产成本为800元/件，出厂价格为1 500元/件，每次检测费为100元/件，技术处理每次100元/件，回收获利100元/件假如每件产品是否合格相互独立，记为任意一件产品所获得的利润，求随机变量的分布列与均值2
7、0(12分)如图，在三棱锥DABC中，ABBC2，DADCAC4，平面ADC平面ABC，点M在棱BC上(1)若M为BC的中点，证明：BCDM；(2)若DC与平面DAM所成角的正弦值为，求AM.21(12分)已知椭圆1(ab0)上的点P到左、右焦点F1，F2的距离之和为2，且离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F2的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求AF2C面积的最大值22(12分)已知函数f(x)(a1)ln xxa.(1)讨论f(x)的导函数f(x)零点的个数；(2)若f(x)的最小值为e1，求a的取值范围江苏省板浦高级中学2020至2021学年高三数学期末模拟测试二
8、参考答案一、单项选择题1-8 DAAA BCBB二、多项选择题9ABC 10.BD 11AD 12 AC三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)130.98 14360 15100 16 16,4四、解答题17解(1)设an的公比为q，由a3a5a4，得a41.因为a2,3a4，a3成等差数列，所以a2a36a4，则6q2q10，解得q或q(舍)，故a18.所以an8n124n.(2)Sna1a2an2321(4n) ，当n3或4时，Sn取得最大值，(Sn)max64.18解(1)在ABC中，由余弦定理知b2c2a22bccos A，所以2b22bccos A(1tan A)，所以b
9、c(cos Asin A)又由正弦定理知，得sin Bsin C(cos Asin A)，所以sin(AC)sin C(cos Asin A)，即sin Acos Ccos Asin Csin Ccos Asin Csin A，所以sin Acos Csin Csin A.因为sin A0，所以cos Csin C，所以tan C1.又因为0CA.因为S4absin Cabsin ，所以ab8.由余弦定理知c2(2)240a2b22abcos ，所以a2b2ab40，由解得或因为BA，所以ba，所以所以CDBD.在ACD中，AD2CA2CD22CACDcos C16224cos 26，所以AD
10、.若选择条件，cos B.因为cos B，所以sin B.所以sin Asin(BC)sin Bcos Csin Ccos B.由正弦定理知，所以a2.在ABD中，由余弦定理知AD2AB2BD22ABBDcos B，解得AD.19解(1)设“某件产品第一次检测合格”为事件A，“某件产品第二次检测合格”为事件B，则P(A)0.5，P(B)0.50.80.4.所以某件产品能够出厂的概率P0.50.40.9.(2)由已知，若该产品不合格，则(8001002100)1001 000，若该产品经过第二次检测才合格，则1 500(8001002100)400，若该产品第一次检测合格，则1 500(8001
11、00)600，所以的所有可能取值为1 000,400,600.P(1 000)(10.5)(10.8)0.1，P(400)(10.5)0.80.4，P(600)0.5.故的分布列为1 000400600P0.10.40.5E()1 0000.14000.46000.5360(元)20(1)证明取AC的中点O，连接OB，OD.因为DADC，所以ODAC.又因为平面ADC平面ABC，且相交于AC，所以OD平面ABC，又OB平面ABC，所以ODOB.因为AB2BC2AC2，所以ABBC，所以OBOC，所以OBDOCD，所以DBDC，且M为BC的中点，所以BCDM.(2)解如图，以O为坐标原点，OB的
12、方向为x轴正方向，OC的方向为y轴正方向，OD的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，由已知得A(0，2,0)，C(0,2,0)，D(0,0,2)，(0,2,2)，(0,2，2)，设M(a,2a,0)(0a2)，则(a,4a,0)设平面DAM的法向量为n(x，y，z)由n0，n0，得可取n(a4)，a，a)，设DC与平面DAM所成的角为，所以sin |cos，n|，解得a4(舍去)或a，则，所以AM|.21解(1)因为|PF1|PF2|2a2，所以a，又因为e，所以c1，所以b2a2c2211，所以椭圆的标准方程为y21.(2)由题意可知直线l的斜率必存在，又F2(1,0)，设直线l的方程为y
13、k(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x2，y2)联立直线与椭圆的方程化简得(12k2)x24k2x2k220，所以x1x2，x1x2.SABCSF2BC|2y2|(x1x2)(1x2)|y2(x11)|k(x11)(x21)|k(x1x2x1x21)|，当且仅当|2k|，即k时，等号成立所以AF2C面积的最大值为.22解(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，解得x1或exxa，令g(x)exx(x0)，则g(x)ex10，故g(x)在(0，)上单调递增，故g(x)g(0)1.又当x1时e11aa1e.故当a1或a1e时，f(x)只有一个零点；当1ea1或a0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，则f(x)在x1处取得最小值f(1)e1aae1，符合题意当a1时，则yexx在(0，)上单调递增，则必存在正数x0使得x0a0.若a1，f(x)在(0,1)和(x0，)上单调递增，在(1，x0)上单调递减，又f(1)e1f(x0)，故不符合题意若a1e，则x01，所以f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，又f(1)e1，故不符合题意若1ea1，则0x01，f(x)在(0，x0)和(1，)上单调递增，在(x0,1)上单调递减，当x0，f(x)时，与f(x)的最小值为e1矛盾综上，a的取值范围为1，)
