1、宁夏银川市2021届高三数学第三次月考试题 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则的子集个数为（）A. 2B. 4C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】先求出集合元素的个数，再根据求子集的公式求得子集个数【详解】因为集合，所以所以子集个数为 个所以选D【点睛】本题考查了集合交集的运算，集合子集个数的求解，属于基础题2. 下列命题中错误的是( )A. 若命题为真命题,命题为假命题,则命题“”为真命题B. 命题“若,则或”为真命题C. 命题“若,则或”的否命题为“若,则且”D. 命题:,则为,【答
2、案】C【解析】【分析】根据含有逻辑联结词命题真假性，判断A选项是否正确.根据原命题的逆否命题的真假性，判断B选项是否正确.根据否命题的知识判断C选项是否正确.根据特称命题的否定是全称命题的知识，判断D选项是否正确.【详解】对于A选项，由于为假命题，所以为真命题，所以“”为真命题，故A选项正确.对于B选项，原命题的逆否命题是“若且，则”为真命题，原命题也是真命题，故B选项正确.对于C选项，命题“若,则或”的否命题为“若,则且”，故C选项错误.对于D选项，命题:,则为,，故D选项正确.故选：C【点睛】本小题主要考查含有逻辑联结词命题的真假性、逆否命题、否命题、特称命题的否定等知识，属于基础题.3.
3、 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美给出定义：能够将圆(为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”给出下列命题：对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；函数可以是某个圆“优美函数”；正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.【详解】对，中心对称图形有无数个，正确对，函数是偶函数，不关于原点成中心对
4、称.错误对，正弦函数关于原点成中心对称图形，正确.对，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，错误故选D【点睛】仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.4. 对于实数a，b，c，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】代入特殊值再结合不等式的基本性质即可选出正确答案.【详解】解：当时，则A不正确；由知，所以，B正确；若，则，则C不正确；若，则，故选:B.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法，在实际操作中，可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断
5、，考查推理能力，属于基础题.5. 若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意得：在上恒成立，整理可得：在上恒成立直接求解即可.【详解】由题意可得：在上恒成立，整理可得：，函数在上递减，所以，所以，故选：C.【点睛】本题考了恒成立问题，考查了转化思想，恒成立问题的一个重要方法是参变分离，属于基础题.6. 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数平移法则得到答案.【详解】函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是：
6、.故选：B.【点睛】本题考查了三角函数平移，属于简单题.7. 设向量，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. 与夹角为D. 在方向上的投影为【答案】C【解析】【分析】利用向量平行，垂直，夹角以及向量投影的坐标公式对各个选项进行检验即可.【详解】A.，即两个向量不满足平行的坐标公式，故错误；B.，即不满足向量垂直的坐标公式，故错误；C.，所以夹角为，正确；D.在方向上的投影为，故错误.故选：C【点睛】本题考查两个向量平行，垂直以及两个向量的夹角坐标公式，考查向量投影的计算方法，属于基础题.8. 已知正项数列满足：，则使成立的的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 24D. 25【答案】C【解析
7、】【分析】由等差数列的定义可知是首项为1，公差为2的等差数列，可求得，所以，带入不等式即可求解【详解】由等差数列定义可知是首项为1，公差为2的等差数列所以，所以，又，所以，即解得，又，所以，故选C【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式，及一元一次不等式解法，突破点在于根据等差数列的定义，得到为等差数列，再进行求解而不是直接求，属基础题9. 已知函数若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A. 1，0）B. 0，+）C. 1，+）D. 1，+）【答案】C【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的
8、图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.1
9、0. 已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）A. 函数的最小正周期为4B. 函数的图象关于直线对称C. 函数的图象关于点对称D. 函数的图象向左平移2个单位得到一个偶函数的图象【答案】C【解析】【详解】根据函数，的部分图象，再根据五点法作图可得，故它的周期为，故不对令，的值不是最值，故不对令，的值为零，故函数的图象关于点，对称，故正确把函数的图象向左平移2个单位，可得的图象，显然所得函数不是偶函数，故错误，故选：故选C.11. 在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建立适当的平面直角坐标系，根据平面向量的坐标表示及线
10、性运算，列出方程求得，即可求解.【详解】以为原点，为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，可得，由，可得，所以，所以且，解得，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示及向量的坐标运算，其中解答中建立适当的平面直角坐标系，结合向量的坐标表示和运算，列出方程组求解是解答关键，着重考查推理与运算能力.12. 若函数，则满足恒成立的实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断是上的奇函数，利用导函数可判断是上的增函数，恒成立等价于，分离得，令，则，经过分析知是上的偶函数，只需求在上的最大值，进而求得的取值范围.【详解】因为，所以是上的奇函数，所以是上的增
11、函数，等价于所以，所以，令，则，因为且定义域为，所以是上的偶函数，所以只需求在上的最大值即可.当时，则当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，可得：，即，故选：A【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性，考查导数研究函数单调性、最值以及恒成立问题，属于较难题.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知，则=_.【答案】-2【解析】试题分析：把给出的函数求导，在其导函数中取x=2，则f（2）可求解：由f（x）=x2+3xf（2），得：f（x）=2x+3f（2），所以，f（2）=22+3f（2），所以，f（2）=2故答案为2考点：导数的运算14. 已知复数（是虚数单
12、位），则复数在复平面内对应的点位于第_象限.【答案】一【解析】【分析】化简得到，得到复数对应象限.【详解】，复数在复平面内对应的点的坐标为（2,1），故复数在复平面内对应的点位于第一象限.故答案为：一.【点睛】本题考查了复数的模，复数除法，复数对应象限，意在考查学生对于复数知识的综合应用.15. 在中，角、所对的边分别为、.若，时，则的面积为_.【答案】【解析】【分析】利用和，解出，再根据，求出，利用正弦的两角和公式和正弦定理求出，然后利用面积公式求解即可【详解】，且，解得，又，所以，故故答案为：【点睛】本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题16. 已知正项等比数列（）满足，若存在两
13、项，使得，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】根据，求出公比的值，利用存在两项，使得，写出之间的关系，结合基本不等式得到最小值.【详解】正项等比数列an满足：，又，q0，解得，存在两项am，an使得，即，当且仅当=，即取等号，但此时m，nN*.又，当，即时，当，即时，则的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列通项和基本不等式，实际上应用基本不等式是本题的重点和难点，关键注意当两个数字的和是定值，要求两个变量的倒数之和的最小值时，要乘以两个数字之和，是中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选
14、考题，考生根据要求作答.17. 在递增的等比数列中，为等差数列的前项和，.（1）求、的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）本题首先可根据、得出，然后通过计算得出以及，再然后根据、得出以及，最后根据等差数列通项公式即可得出结果；（2）本题首先可结合（1）得出以及，然后写出以及的表达式，最后通过错位相减法求和即可得出结果.【详解】（1）设递增的等比数列的公比为，等差数列的公差为，因为，所以，即，解得或（舍去），故，因为，所以，故，（2）因为，所以，则，故，故.【点睛】错位相减法求和的方法：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法
15、，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解，在写“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18. 在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角为钝角， （1）求的值； （2）求边的长.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由，分别求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出【详解】(1)因为角 为钝角， ，所以 ，又 ，所以 ，且 ，所以 .(2)因为 ，且 ，所以 ，又 ，则 ，所以 .19. 已知数列满足，（，），（1）证明数列为等比数列，求出的通项公式；（2）数列的前项和为，求证：对任意，.【答案】（1）证明
16、见解析，；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由l两边同时除以得到有，再构造等比数列得解 （2）放缩，再利用等比数列求和得解.【详解】（1）由有，数列是首项为，公比为2的等比数列.， （2）， ，.【点睛】本题考查利用递推关系证明等比数列及求通项，并用放缩法证明不等式，属于基础题.20. 已知函数，在上的最大值为3（1）求的值及函数的周期与单调递增区间；（2）若锐角中，角，所对的边分别为，且，求的取值范围【答案】（1），周期为，单调递增区间为，（2）【解析】【分析】（1）化简得，根据最大值求出p的值，再求出函数的周期和单调递增区间；（2）根据得到，,化简得，再求范围得解.【详解】（1）依题
17、意，的最大值为3，其中，其周期为因为，时，单调递增，解得的单调递增区间为，（2），且为锐角，又，为锐角，所以，其中，【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图象和性质，考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21. 已知函数.（1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值；（2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据题意得，列出等式求解a即可写出的解析式，根据导数符号判断函数的单调性从而求极值；（2）根据题意可将不等式变形推出函数在上单调递减，令，则题意可转化在上恒成立，利用导数求出
18、函数在上的最小值即可求得m的范围.【详解】（1）由题意得函数的定义域为，由函数在点处的切线方程为，得，解得此时，.令，得或.当和时，函数单调递增，当时，函数单调递减，则当时，函数取得极小值，为，当时，函数取得极大值，为.（2）由得.不等式可变形为，即因为，且，所以函数在上单调递减.令则在上恒成立，即在上恒成立设，则.因为当时，所以函数在上单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为.【点睛】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数的性质中的应用、利用导数证明不等式，属于较难题.22. 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系已知曲线的极坐标方程为，射线与曲线交于点，点满足，
19、设倾斜角为的直线经过点（1）求曲线的直角坐标方程及直线的参数方程；（2）直线与曲线交于、两点，当为何值时，最大？求出此最大值【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的参数方程为，其中为参数（2）当时，取得最大值【解析】【分析】（1）直接代极坐标化直角坐标的公式求出曲线的直角坐标方程为，求出点的直角坐标为，再写出直线的参数方程；（2）设交点，所对应的参数分别为，求出，再求出最大值得解.【详解】（1），曲线的直角坐标方程为点的极径为，又，点的极径为，点的直角坐标为，直线的参数方程为，其中为参数（2）将的参数方程代入，得，设交点，所对应的参数分别为，则，当即时取等【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标
20、互化，考查直线参数方程中t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式：；（2）当时，函数的图象与轴围成一个三角形，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（）由已知，可按不等中两个绝对值式的零点将实数集分为三部分进行分段求解，然后再综合其所得解，从而求出所求不等式的解集；（）由题意，可将的值分为和进行分类讨论，当时，函数不过原点，且最小值为，此时满足题意；当时，函数，再由函数的单调性及值域，求出实数的范围，最后综合两种情况，从而得出实数的范围.试题解析：（）由题意知，原不等式等价于或或，解得或或，综上所述，不等式的解集为.（）当时，则 ，此时的图象与轴围成一个三角形，满足题意：当时， ，则函数在上单调递减，在上单调递增.要使函数的图象与轴围成一个三角形，则，解得；综上所述，实数的取值范围为.
