1、2016-2017学年江西省景德镇一中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1为得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=sinx的图象（）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位2设两向量，满足，的夹角为60，+，则在上的投影为（）ABCD3函数y=sin2xcos2x是（）A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为的奇函数D周期为的偶函数4在ABC中，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，则A的取值范围是（）A（0，B，）C（0，D，）5已知sin（+）=，则cos（2）的值等于（）ABCD6已知函数f（x）
2、=sin（x+）（0，|）的最小正周期为，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosx的图象，则函数f（x）的图象（）A关于直线x=对称B关于直线x=对称C关于点（，0）对称D关于点（，0）对称7已知|=2|0，且关于x的方程x2+|x+=0有实根，则与的夹角的取值范围是（）A0，B，C，D，8在ABC中，已知（a2+b2）sin（AB）=（a2b2）sin（A+B），则ABC的形状（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形9若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得=，实数x为（）A2B0CD10ABC的三个内角为A、B、C，若，则sin
3、2B+2cosC的最大值为（）AB1CD211在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A30B60C120D15012已知ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A2BC3D6 二、填空题（每小题5分，共20分）13 = 14在ABC中，若，则等于 15已知FOQ的面积为S，且若，则的夹角的取值范围是 16给定两个长度为2且互相垂直的平面向量和，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若，其中x，yR，则x+y的最大值是 三、解答题（共70分）17已知平面向量=（1，x），=（2x+3，x）（xR）（1）若，求|（2
4、）若与夹角为锐角，求x的取值范围18已经cos（23）=，且是第四象限角，（1）求cos和sin的值；（2）求+的值19已知向量=（1，2），=（cos，sin），设=+t（t为实数）（1）若，求当|取最小值时实数t的值；（2）若，问：是否存在实数t，使得向量和向量的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由20已知在ABC中，（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围21（1）若时，求cos4x的值；（2）将的图象向左移，再将各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得y=g（x），若关于g（x）+m=0在区间上的有且只有一个实数解，求m的范围22如图，矩形ABCD是一个历史文
5、物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，MPN=，记EPM=（弧度），监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米（1）求S关于的函数关系式，并写出的取值范围：（参考数据：tan3）（2）求S的最小值2016-2017学年江西省景德镇一中高一（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1为得到函数y=cos（x+）的图象，只需将函数y=s
6、inx的图象（）A向左平移个长度单位B向右平移个长度单位C向左平移个长度单位D向右平移个长度单位【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用诱导公式将y=cos（x+）转化为y=sin（x+），利用平移知识解决即可【解答】解：y=cos（x+）=cos（x）=sin（x）=sin（x+），要得到y=sin（x+）的图象，只需将函数y=sinx的图象向左平移个长度单位，故选C2设两向量，满足，的夹角为60，+，则在上的投影为（）ABCD【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量投影的定义，计算、以及|的值，代入投影公式计算即可【解答】解：，的夹角为60，=21cos6
7、0=1；又+，=2+5+2=222+51+212=15，|=2，在上的投影为|cos=故选：A3函数y=sin2xcos2x是（）A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为的奇函数D周期为的偶函数【考点】GS：二倍角的正弦【分析】由倍角公式化简可得解析式y=sin4x，显然是个奇函数，由周期公式可得：T=，从而得解【解答】解：y=sin2xcos2x=sin4x，显然是个奇函数由周期公式可得：T=故选：C4在ABC中，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，则A的取值范围是（）A（0，B，）C（0，D，）【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化
8、成边，进而代入到余弦定理公式中求得cosA的范围，进而求得A的范围【解答】解：由正弦定理可知a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，sin2Asin2B+sin2CsinBsinC，a2b2+c2bc，bcb2+c2a2cosA=AA0A的取值范围是（0，故选C5已知sin（+）=，则cos（2）的值等于（）ABCD【考点】GO：运用诱导公式化简求值【分析】已知等式中的角度变形后，利用诱导公式求出cos（）的值，原式利用二倍角的余弦函数公式化简后，将cos（）代入计算即可求出值【解答】解：sin（+）=sin（）=cos（）=，cos（2）=2cos2（）1=故选：C6已知函数f
9、（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期为，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosx的图象，则函数f（x）的图象（）A关于直线x=对称B关于直线x=对称C关于点（，0）对称D关于点（，0）对称【考点】HJ：函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用正弦函数的周期性、函数y=Asin（x+）的图象变换规律、诱导公式，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：函数f（x）=sin（x+）（0，|）的最小正周期为， =，=2把其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosx=sin（2x+）的图象，+=k+，kZ，=，f（x）=sin（2x）由于当x=
10、时，函数f（x）=0，故A不满足条件，而C满足条件；令x=，求得函数f（x）=sin=，故B、D不满足条件，故选：C7已知|=2|0，且关于x的方程x2+|x+=0有实根，则与的夹角的取值范围是（）A0，B，C，D，【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义【分析】根据关于x的方程有实根，可知方程的判别式大于等于0，找出，再由cos=，可得答案【解答】解：，且关于x的方程有实根，则，设向量的夹角为，cos=，故选B8在ABC中，已知（a2+b2）sin（AB）=（a2b2）sin（A+B），则ABC的形状（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【考点】GZ：三角形的
11、形状判断【分析】利用两角和与差的正弦将已知中的弦函数展开，整理后利用正弦定理将“边”化角的“正弦”，利用二倍角的正弦公式即可求得答案【解答】解：（a2+b2）（sinAcosBcosAsinB）=（a2b2）（sinAcosB+cosAsinB），a2sinAcosBa2cosAsinB+b2sinAcosBb2cosAsinB=a2sinAcosB+a2cosAsinBb2sinAcosBb2cosAsinB，整理得：a2cosAsinB=b2sinAcosB，在ABC中，由正弦定理=2R得：a=2RsinA，b=2RsinB，代入整理得：sinAcosA=sinBcosB，2sinAcos
12、A=2sinBcosB，sin2A=sin2B，2A=2B 或者2A=1802B，A=B或者A+B=90ABC是等腰三角形或者直角三角形故选D9若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得=，实数x为（）A2B0CD【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义【分析】利用向量的运算法则将等式中的向量都用以O为起点的向量表示，利用三点共线的条件列出方程求x的值【解答】解：x2+2x+=，x2+2x+=，=x2（2x1）；又A、B、C三点共线，x2（2x1）=1，解得x=0或x=2；当x=0时， =不满足题意，实数x为2故选：A10ABC的三个内角为A、B、C，若，则sin2B+2
13、cosC的最大值为（）AB1CD2【考点】HW：三角函数的最值【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求得A的值，再利用余弦函数的定义域和值域，求得t=cosC 的范围，利用二次函数的性质，求得sin2B+2cosC的最大值【解答】解：ABC的三个内角为A、B、C，若，则=tan（+）=，求得 tanA=1，A=，B+C=，sin2B+2cosC=sin2（C）+2cosC=2cos2C+2cosC=12cos2C+2cosC令t=cosC，C（0，），则t（，1），要求的式子为2t2+2t+1=2+，故当t=时，则sin2B+2cosC取得最大值为，故选：C11在ABC中，内角A，B，C
14、的对边分别是a，b，c，若a2b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A30B60C120D150【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理【分析】先利用正弦定理化简得 c=2b，再由可得 a2=7b2 ，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值【解答】解：由及正弦定理可得 c=2b，再由可得 a2=7b2 再由余弦定理可得 cosA=，故A=30，故选A12已知ABC是边长为4的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）A2BC3D6 【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】建立平面直角坐标系，
15、表示出点的坐标，利用坐标法结合平面向量数量积的定义，求最小值即可【解答】解：以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A（0，2），B（2，0），C（2，0），设P（x，y），则=（x，2y），=（2x，y），=（2x，y），所以（+）=x（2x）+（2y）（2y）=2x24y+2y2=2x2+2（y）23；所以当x=0，y=时， （+）取得最小值为2（3）=6故选：D二、填空题（每小题5分，共20分）13 =1【考点】GT：二倍角的余弦【分析】原式根号下边的式子利用同角三角函数间的基本关系，完全平方公式，以及二次根式的化简公式变形，再利用绝对值的代数意义及诱导公式化简，约分即可得到结果【
16、解答】解：sin40cos40，sin40cos400，则原式=1故答案为：114在ABC中，若，则等于2【考点】HP：正弦定理【分析】首先根据正弦定理可得：a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC，然后化简所求即可得解【解答】解：由正弦定理可得： =2，可得：a=2sinA，b=2sinB，c=2sinC，则=2，故答案为：215已知FOQ的面积为S，且若，则的夹角的取值范围是（45，60）【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【分析】由向量的数量积公式得到与的乘积，把面积转化为含有角OFQ正切的表达式，由三角形面积的范围得到角OFQ正切值的范围，从而得到答案【解答】解：，=
17、，得：，由三角形面积公式，得：S=，S=，120OFQ135，而的夹角与OFQ互为补角，夹角的取值范围是：（45，60）16给定两个长度为2且互相垂直的平面向量和，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若，其中x，yR，则x+y的最大值是【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义【分析】点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，则|=2，可以得出x和y的关系式，再利用三角换元法求出x+y的最大值【解答】解：由题意|=2，即4x2+y2=4，x2+=1；令x=cos，y=2sin，则x+y=cos+2sin=（cos+sin）=sin（+）；x+y的最大值是故答案为：三、解答题（共70分）17已知平面向量=（1，
18、x），=（2x+3，x）（xR）（1）若，求|（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围【考点】9R：平面向量数量积的运算；9K：平面向量共线（平行）的坐标表示【分析】（1）根据向量平行与坐标的关系列方程解出x，得出的坐标，再计算的坐标，再计算|；（2）令得出x的范围，再去掉同向的情况即可【解答】解：（1），xx（2x+3）=0，解得x=0或x=2当x=0时， =（1，0），=（3，0），=（2，0），|=2当x=2时， =（1，2），=（1，2），=（2，4），|=2综上，|=2或2（2）与夹角为锐角，2x+3x20，解得1x3又当x=0时，x的取值范围是（1，0）（0，3）18已经cos（23）
19、=，且是第四象限角，（1）求cos和sin的值；（2）求+的值【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）（2）利用诱导公式和同角三角函数关系式化简即可求解【解答】解：由cos（23）=cos（+2）=cos2=，即cos2=12sin2=，（1）是第四象限角，sin=cos2=2cos21=是第四象限角，cos=（2）由+=19已知向量=（1，2），=（cos，sin），设=+t（t为实数）（1）若，求当|取最小值时实数t的值；（2）若，问：是否存在实数t，使得向量和向量的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模【分析】（1
20、）先把a=代入求出向量的坐标，再把转化为=，把所求结论以及已知条件代入得到关于实数t的二次函数，利用配方法求出的最小值以及实数t的值；（2）先利用向量垂直求出以及和（）（），代入cos45=，可得关于实数t的方程，解方程即可求出实数t【解答】解：（1）因为a=，所以=（），=，则=所以当时，取到最小值，最小值为（2）由条件得cos45=，又因为=， =，（）（）=5t，则有=，且t5，整理得t2+5t5=0，所以存在t=满足条件20已知在ABC中，（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GQ：两角和与差的正弦函数【分析】（1）由cosC+（co
21、sAsinA）cosB=0，可得cos（A+B）+cosAcosBsinAcosB=0，可化为tanB=，即可得出（2）由a+c=1，利用基本不等式的性质化为ac由余弦定理可得：b2=a2+c22accosB=（a+c）23ac=13ac，利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1）cosC+（cosAsinA）cosB=0，cos（A+B）+cosAcosBsinAcosB=0，化为sinAsinBsinAcosB=0，sinA0，sinBcosB=0，cosB0，tanB=，B（0，）解得B=（2）a+c=1，12，化为ac由余弦定理可得：b2=a2+c22accosB=（a+c）23a
22、c=13ac，当且仅当a=c=时取等号b又ba+c=1b的取值范围是，1）21（1）若时，求cos4x的值；（2）将的图象向左移，再将各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得y=g（x），若关于g（x）+m=0在区间上的有且只有一个实数解，求m的范围【考点】9R：平面向量数量积的运算【分析】（1）由题意，根据平面向量的数量积运算求出cos（4x+）的值，再利用三角恒等变换求出cos4x的值；（2）由（1）知f（x）的解析式，利用图象平移和变换得出g（x）的解析式，画出函数g（x）的图象，结合图象求出m的取值范围【解答】解：（1）=（sin2x，cos2x），=（cos2x，cos2x），f（
23、x）=+=sin2xcos2xcos22x+=sin4xcos4x+=cos（4x+）=，cos（4x+）=；又时，4x+（，2），sin（4x+）=，cos4x=cos（4x+）=cos（4x+）cos+sin（4x+）sin=+（）=；（2）由（1）知，f（x）=sin4xcos4x=sin（4x），将f（x）的图象向左平移个单位，得y=sin4（x+）=sin（4x+）的图象；再将y各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得y=sin（2x+）的图象；则y=g（x）=sin（2x+）；当x时，2x+，画出函数g（x）的图象，如图所示；则g（x）+m=0在区间上的有且只有一个实数解时，应满
24、足m或m=1；即m，或m=122如图，矩形ABCD是一个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形BCDE区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观，在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方，经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，MPN=，记EPM=（弧度），监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米（1）求S关于的函数关系式，并写出的取值范围：（参考数据：tan3）（2）求S的最小值【考点】HT：三角形中的几何计算【分析】（1）利用正弦定理，求出PM，PN，即可求S关于的函数关系式，M与E重合时，=0，N与D重合时，tanAPD=3，即=，即可写出的取值范围；（2）当2+=即时，S取得最小值【解答】解：（1）在PME中，EPM=，PE=4m，PEM=，PME=，由正弦定理可得PM=，同理，在PNE中，PN=，SPMN=，M与E重合时，=0，N与D重合时，tanAPD=3，即=，0，综上所述，SPMN=，0；（2）当2+=即时，S取得最小值=8（1）平方米2017年8月10日