1、选修4-5 不等式选讲 绝对值不等式 2016 考纲下载 1理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|.2会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.请注意1以选择题的形式考查绝对值不等式，同时与不等式的性质相结合 2以考查绝对值不等式的解法为主，兼顾考查集合的交、并、补运算课前自助餐 绝对值三角不等式定理 1.如果 a，b 是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当 ab0时，等号成立定理 2.如果 a，b 是实数，那么|a|b|ab|，当且仅当 ab0时，等号成立绝对值不
2、等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a 的解法不等式a0a0a0|x|aaxaxa 或 x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc 或 axbc(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想1若 a，b，cR，且满足|ac|c；bca；acb;|a|b|c|.其中错误的个数()A1 B2C3 D4 答案 A解析 acb，acc，bca，都正确，不正确
3、又|ac|ca|c|a|，|c|a|c|.正确2(2015山东)不等式|x1|x5|2 的解集是()A(，4)B(，1)C(1，4)D(1，5)答案 A解析 当 x1 时，不等式可化为(x1)(x5)2，即42，显然成立，所以此时不等式的解集为(，1)；当 1x5 时，不等式可化为 x1(x5)2，即 2x62，解得 x5 时，不等式可化为(x1)(x5)2，即 42，显然为成立，所以此时不等式无解 综上，不等式的解集为(，4)故选 A.3f(x)|2x|x1|的最小值为_ 答案 1解析|2x|x1|2xx1|1，f(x)min1.4若关于 x 的不等式|xa|1 的解集为(1，3)，则实数
4、a 的值为_ 答案 2解析 由|xa|1，则1xa1，a1xa1，a2.5(2014安徽)若函数 f(x)|x1|2xa|的最小值为 3，则实数 a 的值为()A5 或 8 B1 或 5C1 或4 D4 或 8 答案 D解析 利用绝对值的几何意义分类讨论，根据解析式特征确定函数最小值点进而求 a.(1)当1a2，即 a2 时，f(x)3xa1，x1，xa1，1xa2，即 a2 时，f(x)3xa1，xa2，xa1，a2x1，3xa1，x1.易知函数 f(x)在 xa2处取最小值，即a213，故 a8.综上 a4 或 8.授人以渔 题型一 绝对值三角不等式例 1 a，bR，求|ab|a|b|成立
5、的充要条件【解析】|ab|a|b|(ab)2(|a|b|)2 a22abb2a22|a|b|b2 ab|a|b|ab0，|ab|a|b|成立的充要条件为 ab0.【答案】ab0探究 1 每一个公式都有相应成立的条件，如果不注意往往出现逻辑错误思 考 题 1 (1)|a b|a|b|成 立 的 充 要 条 件 为_；|ab|a|b|成立的充要条件为_；|ab|a|b|成立的充要条件为_【答案】ab0(2)已知实数 a(0，1)，则关于 x 的不等式|xlogax|x|logax|的解集为_【解析】|xlogax|0logax0，0 x1.【答案】(0，1)题型二 含绝对值不等式的解法例 2 解下
6、列绝对值不等式(1)12x；(3)|x3|x2|3.【解析】(1)原不等式等价于 1x23 或3x21，解得 3x5 或1x1.所以原不等式的解集是x|1x1 或 3x5(2)原不等式等价于x22x42x.解得无解，解得 x2.原不等式的解集为x|xR 且 x2(3)分别令 x30，x20 得零点为3，2.原不等式等价于：x3，x3x23解集为；或3x2，x3x231x2；或x2，x3x23x2.综上，不等式的解集为x|x1【答案】(1)x|1x1 或 3a(或0)去绝对值，如(1)题；零点分段法：利用绝对值定义去绝对值如(3)题；平方法：利用|f(x)|g(x)|f2(x)g2(x)去绝对值
7、；几何法：利用绝对值的几何意义求解思考题 2(1)(2014广东)不等式|x1|x2|5 的解集为_【解析】原不等式可化为以下三个不等式组：x1，x1x25；x2，1x（x2）5；2x1，1xx25.解得 x2；解得 x3，无解，因此原不等式的解集为x|x2 或 x3【答案】x|x2 或 x3(2)(2015江苏)解不等式 x|2x3|2.【解析】原不等式可化为 x32，x32，或x32，3x32.解得 x5 或 x13.综上，原不等式的解集是x|x5 或 x13【答案】x|x5 或 x13题型三 绝对值不等式的证明例 3(1)已知|a|1，|b|1.(2)求实数 的取值范围，使不等式|1ab
8、ab|1 对满足|a|1，|b|1 的一切实数 a，b 恒成立【解析】(1)|1ab|2|ab|21a2b2a2b2(a21)(b21)|a|1，|b|1，a210，b210，|1ab|ab|.|1abab|1ab|ab|1.(2)|1abab|1|1ab|2|ab|2(a221)(b21)0.又b21，a2210 对于任意满足|a|1 的 a 恒成立 当 a0 时，a2210 成立；当 a0，要使 21a2对于任意满足|a|1，|1.的取值范围是11.【答案】(1)略(2)11探究 3 证明含有绝对值的不等式，其思路主要有两条：一是恰当地运用|a|b|ab|a|b|进行放缩，并注意不等号的传
9、递性及等号成立的条件；二是把含有绝对值的不等式等价转化为不含有绝对值的不等式，再利用比较法、综合法及分析法等进行证明，其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法 思考题 3 设函数 f(x)在0，1上有意义，f(0)f(1)，对于任意 x1，x20，1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|.求证：|f(x1)f(x2)|12.【证明】不妨设 0 x1x21，|f(x1)f(x2)|f(x1)f(0)f(x2)f(1)|f(x1)f(0)|f(x2)f(1)|x11x2，又|f(x1)f(x2)|x2x1，2|f(x1)f(x2)|1，|f(x1)f(x2)|0)，g(x)x2.(1)当 a1 时，
10、求不等式 f(x)g(x)的解集；(2)若 f(x)g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围【思路】本题主要是对绝对值不等式进行转化时容易出错，表现在去绝对值时分类讨论不当致误，特别是在不等式中含有参数时，必须要考虑参数的取值情况【解析】(1)当 a1 时，原不等式等价于|2x1|2x1|x2.等价于x12，4xx2或12x12，2x2或x12，4xx2，解得 x或 0 x0，所以 h(x)5xa3，x12，xa1，12xm 的解集为，则 f(x)m 恒成立思考题 5(2016江西上饶第一次联考)已知函数 f(x)|2x1|x4|.(1)解关于 x 的不等式 f(x)2；(2)若不等式 f(x)
11、axa272恒成立，求实数 a 的取值范围【解析】(1)f(x)x5，x4，3x3，12x2，x3，则 x4；当12x2，x53，则53x2，x7，则 x7.所以不等式的解集为(，7)(53，)(2)因为 f(x)x5，x4，3x3，12x4，x5，x12，画出函数 yf(x)的图像，由于不等式 f(x)axa272恒成立，所以令 yaxa272，即 y72a(x12)，过定点(12，72)作直线，要求直线在 f(x)的图像的下方，如图所示，由于函数 yf(x)的最小值为92，根据图像可以看出这样的 a 不存在 【答案】(1)(，7)(53，)(2)略含绝对值不等式的证法和技巧：1含绝对值不等式的证明方法有：综合法、分析法、反证法、放缩法、三角代换法等 2利用不等式的性质和含绝对值不等式的性质，放缩变换的方法是处理含绝对值不等式的常用方法之一 3对于一般的含绝对值不等式不好入手，我们可采用分析法 4对于不等式左右两边形式完全相同的，可联想函数性质，构造函数再用函数的单调性去证明请做：题组层级快练（六十四）
