1、2023届湖北省十七所重点中学高三第一次联考数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合，则（ ）A B C D2设，则（ ）A B C D3函数的导函数为（ ）A B C D4设复数z满足则z的虚部为（ ）A B C D5某气象兴趣小组利用身边的物品研究当地的降雨量他们使用一个上底面半径为、下底面半径为、高为的水桶盛接降水当水桶内盛水至总高的一半时，水的体积约占水桶总体积的（ ）A B C D6已知平面向量满足，则的最小值为（ ）A2 B4 C8 D167设集合，则集合S的元素个数为（ ）A B C D8设随机变量，当正整数n
2、很大，p很小，不大时，X的分布接近泊松分布，即现需100个正品元件，该元件的次品率为0.01，若要有以上的概率购得100个正品，则至少需购买的元件个数为（已知）（ ）A100 B101 C102 D103二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9已知递增的正整数列的前n项和为以下条件能得出为等差数列的有（ ）A BC D10已知，则（ ）A B C D11已知点A，B，C分别在上则（ ）A的最大值为9 B的最小值为C若平行于x轴，则的最小值为D若平行于y轴，则的最大值为12已知正方体的边长为2，
3、点P，Q分别在正方形的内切圆，正方形的外接圆上运动，则（ ）A B C D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知多项式满足对任意，则_（用数字作答）14冰雹猜想是指：一个正整数x，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就析出偶数因数，这样经过若干次，最终回到1问题提出八十多年来，许多专业数学家前仆后继，依然无法解决这个问题已知正整数列满足递推式请写出一个满足条件的首项，使得，而_15设实数，不等式对任意实数恒成立，则a的取值范围为_16设椭圆的离心率，C的左右焦点分别为，点A在C上满的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴于点D已知，则_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字
4、说明，证明过程或演算步骤17（10分）如图，在正三棱柱中，点D为线段的中点，侧面的面积为（1）若证明：；（2）求三棱柱的体积与表面积之比的最大值18（12分）为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积划分为200个区块，从中随机抽取20个区块，得到样本数据，部分数据如下：x2.73.63.2y57.864.762.6经计算得：（1）利用最小二乘估计建立y关于x的线性回归方程；（2）该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系下，横坐标x，纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致，（）比较前者与后者的斜
5、率大小，并证明；（）求这两条直线的公共点坐标附：y关于x的回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：19（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知（1）求的最小值；（2）证明：20（12分）设点A为双曲线的左顶点，直线l经过点，与C交于不与点A重合的两点P，Q（1）求直线的斜率之和；（2）设在射线上的点R满足，求直线的斜率的最大值21（12分）已知数列满足：对任意质数p和自然数n，都；对任意互质的正整数对，都有（1）写出的前6项，观察并直接写出与能整除n的正整数的个数的关系；（2）设数列的前n项和为，证明：22（12分）已知直线l与曲线相切于点证明：（1）l与曲线恰存在两个
6、公共点；（2）2023届湖北省十七所重点中学第一次联考参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的12345678ABDCBCDD7D 对每个，在中的从属关系有以下101种：（1），（2），（3），（101）由分步乘法计数原理，集合S中共个元素8D 记随机变量X为购买a个元件后的次品数由题意，此时X可看成泊松分布则，记，则由于t很小，故大致有分别计算，左边约等于0.37，0.74，0.91，0.98，故，即二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得
7、2分，有选错的得0分9101112ACDBCABDAB11ABDA：，且能取到等号，故正确；同理B正确C：试想一个将向左平移的过程，使得平移后的圆与有公共点的最短平移距离即的最小值，为，故错误；同理D正确12AB以A为原点，为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系设点A：，故正确B：记，故正确C：取的中点M，穿过一侧的外接圆，取的中点，则不穿过，故必存在点P，使得经过外接圆，设公共点为Q，此时共线，矛盾，故不正确D：假设成立，则恒成立利用辅助角消去，则取，则左边，故不正确故选AB三、填空题：每小题5分，共20分131 1412或13（写出一个即可） 15 1614本题采用逆推思想故填12或1315
8、令，得下证：均满足题意当时，左边关于a递减，当时，当时，仍关于a递减，故只需证明成立令，即证递增，故在上递减，在上递增，故填16设点，则设角平分线交x轴于T，易知直线设中点为M，则，得将点A与椭圆联立得，故，解得故填四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（1）取中点H，则由平面平面，故又，故平面而平面，故（2）及表面积，体积故由基本不等式，等号成立当且仅当18（1）故回归方程为（2）（）设前者和后者的斜率分别为则，r为y与x的相关系数又，故下证：若，则，即恒成立带入表格中的一组数据得：，矛盾故，即前者斜率小于后者（）注意到，两直线都过，且，故公共点仅有19
9、（1）由余弦定理，等号成立当且仅当（2）方法一：当时，当时，设线段的中垂线交于点D在中，由正弦定理，故，由故则方法二：由正弦定理，由二倍角公式，而，故由（1），故则20（1）的前6项分别为1，2，2，3，2，3的大小与能整除n的自然数个数相同（2）方法一：由（1），因为大于小于n的数不被n整除，故当为偶数时，其中第一行2分，其余共4分为奇数时，得证方法二：设先说明中为的项数恰为的正整数解数，故再证时，成立；时，其中前两行和后两行各2分21（1）l斜率显然存在，故可设，即设即，即设的斜率，则，故为方程的两个实根，由韦达定理，（2）设将与C方程联立，得：将与方程联立，得：点故，同理，故，即，又，整理得，等号成立当且仅当综上，直线的斜率的最大值为22（1）令在递增，递减又，故存在，在递减，递增，递减而，故存在（2）先证明，即由（1），只需，即整理，只需令，即证在递增，得证下证，这等价于成立
