1、数学 第二部分 高考热点 分层突破 专题六 函数与导数第4讲 导数与不等式02练典型习题 提数学素养 01研考点考向破重点难点证明不等式构造函数证明不等式：构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式 f(x)g(x)(f(x)0(f(x)g(x)0)，进而构造辅助函数 h(x)f(x)g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如 ln xx1，exx1，ln xx0)，xx1ln(x1)x(x1)；(3)构造“形似”函数：稍作变
2、形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数 f(x)和 g(x)，利用其最值求解高考真题【直接构造法】(2018高考全国卷)已知函数 f(x)1xxaln x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)存在两个极值点 x1，x2，证明：f（x1）f（x2）x1x2a2.思维方法(1)略(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当 a2.由于 f(x)的两个极值点 x1，x
3、2 满足 x2ax10，所以 x1x21，不妨设 x11.由于f（x1）f（x2）x1x2 1x1x21aln x1ln x2x1x22aln x1ln x2x1x22a2ln x21x2x2，所以f（x1）f（x2）x1x2a2 等价于 1x2x22ln x20.【关键 1：将所证不等式进行变形与化简】思维方法设函数 g(x)1xx2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)单调递减，【关键 2：直接构造函数，判断函数单调性】又 g(1)0，从而当 x(1，)时，g(x)0.所以 1x2x22ln x20，即f（x1）f（x2）x1x2a2.【关键 3：结合单调性得到函数最值，证明不等式】高考
4、真题【适当放缩构造法】(2018高考全国卷)已知函数 f(x)aexln x1.(1)设 x2 是 f(x)的极值点，求 a，并求 f(x)的单调区间；(2)证明：当 a1e时，f(x)0.思维方法(1)略(2)证明：当 a1e时，f(x)exe ln x1.【关键 1：利用不等式性质放缩，将 a 代换掉】设 g(x)exe ln x1，【关键 2：利用不等式右边构造函数】则 g(x)exe 1x.当 0 x1 时，g(x)1 时，g(x)0.所以 x1 是 g(x)的最小值点【关键 3：利用导数研究函数的单调性、最值】故当 x0 时，g(x)g(1)0.【关键 4：利用函数最值使放缩后的不等
5、式得到证明】因此，当 a1e时，f(x)0.高考真题【构造双函数法】(2016高考山东卷)已知 f(x)a(xln x)2x1x2，aR.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 a1 时，证明 f(x)f(x)32对于任意 x1，2成立.思维方法(1)略(2)证明：由(1)知，a1 时，f(x)f(x)xln x2x1x2(11x 2x2 2x3)xln x3x 1x2 2x31，x1，2【关键 1：将所证不等式转化为构造双函数创造条件】设 g(x)xlnx，h(x)3x 1x2 2x31，x1，2.【关键 2：构造函数，利用导数研究函数的单调性，求最小值】思维方法则 f(x)f(x)g(x)
6、h(x).由 g(x)x1x 0，可得 g(x)g(1)1，当且仅当 x1 时取得等号，又 h(x)3x22x6x4.设(x)3x22x6，则(x)在 x1，2上单调递减，因为(1)1，(2)10，所以x0(1，2)，使得 x(1，x0)时，(x)0，x(x0，2)时，(x)0.所以 h(x)在(1，x0)内单调递增，在(x0，2)内单调递减.思维方法由 h(1)1，h(2)12，可得 h(x)h(2)12，当且仅当 x2 时取得等号.所以 f(x)f(x)g(1)h(2)32，即 f(x)f(x)32对于任意的 x1，2成立.【关键 3：利用函数最值证明不等式】典型例题(2019四省八校双教
7、研联考)已知函数 f(x)axaxln x1(aR，a0)(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)当 x1 时，求证：1x11ex1.【解】(1)f(x)aa(ln x1)aln x，若 a0，则当 x(0，1)时，f(x)0，当 x(1，)时，f(x)0，所以 f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减；若 a0，则当 x(0，1)时，f(x)0，所以 f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)证明：要证 1x11ex1，即证 xx1ex，即证x1x 1 时，xxln x10，即x1x 1 时，ln x1，则 F(x)ex1x单调递增，所以 F(x)F(1)e10，
8、所以 F(x)在(1，)上单调递增，所以 F(x)F(1)，而 F(1)e，所以 exln xe0，所以 exln x，所以 exln xx1x，所以原不等式得证一般地，要证 f(x)g(x)在区间(a，b)上成立，需构造辅助函数 F(x)f(x)g(x)，通过分析 F(x)在端点处的函数值来证明不等式若 F(a)0，只需证明 F(x)在(a，b)上单调递增即可；若 F(b)0，只需证明 F(x)在(a，b)上单调递减即可 对点训练1(2019唐山模拟)设 f(x)2xln x1.(1)求 f(x)的最小值；(2)证明：f(x)x2x1x2ln x.解：(1)f(x)2(ln x1)所以当 x
9、0，1e 时，f(x)0，f(x)单调递增所以当 x1e时，f(x)取得最小值 f1e 12e.(2)证明：x2x1x2ln xf(x)x(x1)x1x 2(x1)ln x(x1)x1x2ln x，令 g(x)x1x2ln x，则 g(x)1 1x22x（x1）2x20，所以 g(x)在(0，)上单调递增又 g(1)0.所以当 0 x1 时，g(x)1 时，g(x)0，所以(x1)x1x2ln x 0，即 f(x)x2x1x2ln x.2已知函数 f(x)aexbln x，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y1e1 x1.(1)求 a，b；(2)证明：f(x)0.解：(1)函数
10、 f(x)的定义域为(0，)f(x)aexbx，由题意得 f(1)1e，f(1)1e1，所以ae1e，aeb1e1，解得a1e2，b1.(2)证明：由(1)知 f(x)1e2exln x(x0)因为 f(x)ex21x在(0，)上单调递增，又 f(1)0，所以 f(x)0 在(0，)上有唯一实根 x0，且 x0(1，2)当 x(0，x0)时，f(x)0，从而当 xx0 时，f(x)取极小值，也是最小值由 f(x0)0，得 ex02 1x0，则 x02ln x0.故 f(x)f(x0)ex02ln x0 1x0 x0221x0 x020，所以 f(x)0.一般地，若 af(x)对 xD 恒成立，
11、则只需 af(x)max；若 af(x)对 xD 恒成立，则只需 af(x0)成立，则只需 af(x)min；若存在 x0D，使af(x0)成立，则只需 af(x0)max，由此构造不等式，求解参数的取值范围根据不等式确定参数范围分类讨论法：常见有两种情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数高考真题【结合导函数的零点分类讨论】(2017高考全国卷)已知函数 f(x)x1aln x.(1)若 f(x)0，
12、求 a 的值；(2)设 m 为整数，且对于任意正整数 n，112 1 122 1 12n m，求 m 的最小值.提示：求解参数范围时，一般会涉及分离参数法，理科试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常需要设出导函数的零点，难度较大思维方法(1)f(x)的定义域为(0，).若 a0，因为 f12 12aln 20，由 f(x)1axxax 知，当 x(0，a)时，f(x)0.所以 f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增【关键 2：根据导函数的零点分类讨论】故 xa 是 f(x)在(0，)上的唯一最小值点.由于 f(1)0，所以当且仅当 a1 时，f(x)0，
13、故 a1.思维方法(2)由(1)知当 x(1，)时，x1ln x0.令 x1 12n得 ln1 12n 12n.从而 ln112 ln1 122 ln1 12n 12 122 12n1 12n1，【关键 3：利用放缩法变形】故112 1 122 1 12n 2，所以 m 的最小值为 3.高考真题【由导函数的特点直接分类讨论】(2014高考大纲全国卷)函数 f(x)ax33x23x(a0).(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)在区间(1，2)是增函数，求 a 的取值范围.思维方法(1)略(2)当 a0，x0 时，f(x)3ax26x30，【关键 1：求导函数，根据导函数的特点确定分类
14、标准】故当 a0 时，f(x)在区间(1，2)是增函数.当 a0 时，f(x)在区间(1，2)是增函数当且仅当 f(1)0 且 f(2)0，解得54a0)，所以 f(x)1xx(x0)令 f(x)0，得 x1.由 f(x)0，得 0 x1，所以 f(x)的单调递增区间为(0，1)，由 f(x)1，所以 f(x)的单调递减区间为(1，)所以 f(x)极大值f(1)12，无极小值(2)法一：令 G(x)F(x)(mx1)ln x12mx2(1m)x1，所以 G(x)1xmx(1m)mx2（1m）x1x.当 m0 时，因为 x0，所以 G(x)0，所以 G(x)在(0，)上是增函数又 G(1)32m
15、20，所以关于 x 的不等式 F(x)mx1 不能恒成立当 m0 时，G(x)mx2（1m）x1xmx1m（x1）x.令 G(x)0，得 x1m，所以当 x0，1m 时，G(x)0；当 x1m，时，G(x)0，h(2)14ln 20，h(x)在(0，)上是减函数，所以当 x2 时，h(x)0)恒成立令 h(x)2（ln xx1）x22x(x0)，则 h(x)2（x1）（2ln xx）（x22x）2.令(x)2ln xx，因为 12 12ln 40，且(x)为增函数，所以存在 x012，1，使(x0)0，即 2ln x0 x00.当 0 x0，h(x)为增函数，当 xx0 时，h(x)0，h(x
16、)为减函数所以 h(x)maxh(x0)2ln x02x02x202x0 1x0.而 x012，1，所以 1x0(1，2)，所以整数 m 的最小值为 2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常先将问题转化为形如af(x)(或 af(x)的形式，再通过求函数 f(x)的最值求得参数范围 对点训练(2019广东六校第一次联考)已知函数 f(x)ln x2x.(1)求函数 f(x)在1，)上的值域；(2)若x1，)，ln x(ln x4)2ax4 恒成立，求实数 a 的取值范围解：(1)易知 f(x)1ln xx20，所以 f(x)在1，)上的值域为(0，2(2)令 g(x)ln x(
17、ln x4)2ax4，x1，)，则 g(x)2ln x2xa，若 a0，则由(1)可知，g(x)0，g(x)在1，)上单调递增，因为 g(e)12ae0，与题设矛盾，所以 a0 不符合要求若 a2，则由(1)可知，g(x)0，g(x)在1，)上单调递减，所以 g(x)g(1)2a40，所以 a2 符合要求若 0a2，则x0(1，)，使得ln x02x0a，则 g(x)在1，x0)上单调递增，在(x0，)上单调递减，所以 g(x)maxg(x0)ln x0(ln x04)2ax04.因为 ln x0ax02，所以 g(x)max(ax02)(ax02)2ax04(ax02)(ax04)由题意知 g(x)max0，即(ax02)(ax04)0，2ax04，即2ln x0241x0e2.因为 aln x02x0，且由(1)可知 f(x)ln x2x在(1，)上单调递减，所以4e2a2.综上，a 的取值范围为4e2，.请做：练典型习题 提数学素养 word部分：点击进入链接 本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
