1、2.3.2双曲线的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1掌握双曲线的简单几何性质(重点)2理解双曲线的渐近线及离心率的意义(重点)3能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题(难点)1通过学习双曲线的几何性质，培养学生的直观想象、数学运算核心素养2借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升学生的直观想象及数学运算、逻辑推理核心素养1双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e1渐近线yxyx思考：(1)渐近线相同的双
2、曲线是同一条双曲线吗？(2)双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？提示(1)渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同(2)e21，是渐近线的斜率或其倒数2双曲线的中心和等轴双曲线(1)双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心(2)等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e1双曲线y21的顶点坐标是()A(4,0)，(0,1) B(4,0)，(4,0)C(0,1)，(0，1) D(4,0)，(0，1)B由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a4，因此双曲线的顶点坐标是(4,0)，(4,0)2已知双曲线9y2m2x21(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为
3、，则m()A1 B2C3 D4D方程9y2m2x21(m0)可化为1(m0)，则a，b，取顶点，一条渐近线为mx3y0，所以，则m2925m0，m43若双曲线1(m0)的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是_(，0)，(，0)由双曲线方程得出其渐近线方程为yx，m3，求得双曲线方程为1，从而得到焦点坐标为(，0)，(，0)4离心率e，经过点M(3，5)的双曲线的标准方程为_1由，得ca，c22a2a2b2，a2b2由点M(3，5)在yx的下方可知双曲线焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为1，将点M(3，5)代入得1，解得a216所以双曲线的标准方程为1根据双曲线方程研究几何性质【例1】(1)已
4、知双曲线C：1(a0，b0)过点(，2)，过点(0，2)的直线l与双曲线C的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为，则双曲线C的实轴长为()A2 B2 C4 D4(2)求双曲线nx2my2mn(m0，n0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程(1)A双曲线C的渐近线方程为yx，则点(0，2)到渐近线bxay0(或bxay0)的距离d，得c3a，即b2a由双曲线C过点(，2)，可得1，解得a1，故双曲线C的实轴长为2a2(2)解把方程nx2my2mn(m0，n0)，化为标准方程1(m0，n0)，由此可知，实半轴长a，虚半轴长b，c，焦点坐标为(，0)，(，0)，离心率e
5、顶点坐标为(，0)，(，0)所以渐近线的方程为yxx由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质.提醒：求性质时一定要注意焦点的位置.1(1)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是()Ax21 By21Cx21 Dy21CA、B选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，令x20，得y2x；令y20，得yx故选C(2)若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2x ByxCyx DyxB在双曲线中，离心率e，可得，
6、故所求的双曲线的渐近线方程是yx利用几何性质求双曲线方程【例2】求满足下列条件的双曲线的方程：(1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为23，且经过点P(，2)；(2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(3,2)；(3)若双曲线的渐近线方程为2x3y0，且两顶点间的距离是6思路探究：(1)待定系数法求解(2)由焦点在x轴上，设出双曲线的方程后，列方程组求解(3)由渐近线方程为2x3y0设双曲线方程为4x29y2(0)，进而求出得解解(1)设双曲线方程为1(a0，b0)双曲线过点P(，2)，1由题意得解得故所求双曲线方程为1(2)设所求双曲线方程为1(a0，b0)e，e21
7、，由题意得解得所求的双曲线方程为1(3)设双曲线方程为4x29y2(0)，即1(0)，由题意得a3当0时，9，36，双曲线方程为1；当0)，从而直接求解2常见双曲线方程的设法(1)渐近线为yx的双曲线方程可设为(0，m0，n0)；如果两条渐近线的方程为AxBy0，那么双曲线的方程可设为A2x2B2y2m(m0，A0，B0)(2)与双曲线1或1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为或(0)(3)与双曲线1(a0，b0)离心率相等的双曲线系方程可设为(0)或(0)，这是因为离心率不能确定焦点位置2求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M(3，2)；(2)过点(
8、2,0)，与双曲线1离心率相等；(3)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)解(1)设所求双曲线方程为(0)由点M(3，2)在双曲线上得，得2故所求双曲线的标准方程为1(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得，故所求双曲线的标准方程为y21；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为(0)，将点(2,0)的坐标代入方程得0，b0)，则点A(2，3)在双曲线上，1联立，无解当焦点在y轴上时，设所求方程为1(a0，b0)，则点A(2，3)在双曲线上，1联立，解得a28，b232所求双曲线的标准方程为1法二：由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y
9、2(0)，A(2，3)在双曲线上，(3)2，即8所求双曲线的标准方程为1求双曲线的离心率【例3】(1)若双曲线 1的一条渐近线经过点(3，4)，则此双曲线的离心率为()A BC D(2)已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A B2 C D思路探究：(1)渐近线经过点(3，4)渐近线的斜率离心率(2)由已知条件画图点M的坐标代入双曲线方程(1)D(2)D(1)由题意知，则e21，所以e(2)设双曲线方程为1(a0，b0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图，ABBM2a，MBA120，作MHx轴于H，则MBH60，BHa，MHa，所以
10、M(2a，a)将点M的坐标代入双曲线方程1，得ab，所以e故选D求双曲线离心率的方法(1)若可求得a，c，则直接利用e得解.(2)若已知a，b，可直接利用e得解.(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2qacra20(p，q，r为常数，且p0)，则转化为关于e的方程pe2qer0求解.3(1)已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF260，|PF1|3|PF2|，则C的离心率为()ABCD(2)过双曲线C：1(a0，b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P若点P的横坐标为2a，则C的离心率为_(3)已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B
11、为C上的点，且BF垂直于x轴若AB的斜率为3，则C的离心率为_(1)A(2)2(3)2(1)设|PF2|m，|PF1|3m，则|F1F2|m，所以C的离心率e(2)如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，将点P的横坐标2a代入1中，得y23b2，不妨令点P的坐标为(2a，b)，此时kPF2，得到c(2)a，即双曲线C的离心率e2(3)设B(c，yB)，因为B为双曲线C：1上的点，所以1，所以y因为AB的斜率为3，所以yB，3，所以b23ac3a2，所以c2a23ac3a2，所以c23ac2a20，解得ca(舍去)或c2a，所以C的离心率e2直线与双曲线的位置关系探究问题1直线和双曲线只有一个公
12、共点，那么直线和双曲线一定相切吗？提示可能相切，也可能相交，当直线和渐近线平行时，直线和双曲线相交且只有一个交点2过点(0,2)和双曲线1只有一个公共点的直线有几条？提示四条，其中两条切线，两条和渐近线平行的直线【例4】已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值思路探究：直线方程与双曲线方程联立方程组判断“”与“0”的关系直线与双曲线的位置关系解(1)联立方程组消去y并整理得(1k2)x22kx20直线与双曲线有两个不同的交点，则解得k，且k1若l与
13、C有两个不同交点，实数k的取值范围为(，1)(1,1)(1，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1k2)x22kx20，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，|AB|x1x2|又点O(0,0)到直线ykx1的距离d，SAOB|AB|d，即2k43k20，解得k0或k实数k的值为或0直线与双曲线位置关系的判断方法(1)方程思想的应用,把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2bxc0的形式，在a0的情况下考察方程的判别式.0时，直线与双曲线有两个不同的公共点.0时，直线与双曲线只有一个公共点.0时，直线与双曲线没有公共点.当a0时，此时直线与双曲线的渐
14、近线平行，直线与双曲线有一个公共点.(2)数形结合思想的应用直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系.直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.提醒：利用判别式来判断直线与双曲线的交点个数问题的前提是通过消元化为一元二次方程.4已知双曲线x2y24，直线l：yk(x1)，在下列条件下，求实数k的取值范围(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点解由消去y得，(1k2)x22k2xk240(*)当1k20，即k1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化
15、为2x5，故方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点当1k20，即k1时，(2k2)24(1k2)(k24)4(43k2)即k且k1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点即k时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线有且仅有一个公共点即k时，方程(*)无实数解，即直线与双曲线无公共点综上所述，(1)当k1或1k1或1k时，直线与双曲线有两个公共点；(2)当k1或k时，直线与双曲线有且只有一个公共点；(3)当k时，直线与双曲线没有公共点5已知双曲线2x2y22，过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于点Q1，Q2，且点B是弦Q1Q2的中
16、点，若存在这样的直线l，求出它的方程；若不存在，请说明理由解设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)是双曲线上的两点，则x1x2，且x1x22，y1y22，由两式相减并变形得2，若存在，则直线l为y12(x1)，即y2x1，联立得2x24x30，而80)的离心率为2，则a()A2 BC D1D由题意得e2，2a，a234a2，a21，a13若一双曲线与椭圆4x2y264有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为_1椭圆4x2y264，即1，焦点为(0，4)，离心率为，则双曲线的焦点在y轴上，c4，e，从而a6，b212，故所求双曲线的方程为y23x236即14已知双曲线C与椭圆1的焦点相同，且离心率为2(1)求双曲线C的标准方程；(2)求双曲线的渐近线方程解(1)椭圆的焦点坐标为(4,0)，(4,0)，所以c4设双曲线方程为1(a0，b0)因为e2，所以a2所以b2c2a212所以双曲线C的标准方程为1(2)由(1)，知双曲线的渐近线方程为0，即yx
