1、2.1曲线与方程学 习 目 标核 心 素 养1了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系2理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念(重点)3掌握求曲线方程的一般步骤，会求曲线的方程(难点)1通过曲线与方程的概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养2借助曲线方程的求法，培养学生的逻辑推理素养及直观想象素养1曲线的方程与方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线思考：(1)如果曲线与方程仅满足“以
2、这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明(2)如果曲线C的方程是f(x，y)0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？提示(1)会出现曲线上的点的坐标不满足方程的情况，如方程y表示的曲线是半圆，而非整圆(2)充要条件是f(x0，y0)02求曲线方程的步骤1下列结论正确的个数为 ()(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x3；(2)到x轴距离为3的直线方程为y3；(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy1；(4)ABC的顶点A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)，D为BC的中点，则中线AD的方程为x0A1 B2C3 D4A(1)满足曲
3、线方程的定义，结论正确(2)到x轴距离为3的直线方程还有一个y3，结论错误(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|y|1，即xy1，结论错误(4)中线AD是一条线段，而不是直线，中线AD的方程为x0(3y0)，结论错误2已知直线l：xy30及曲线C：(x3)2(y2)22，则点M(2,1)()A在直线l上，但不在曲线C上B在直线l上，也在曲线C上C不在直线l上，也不在曲线C上D不在直线l上，但在曲线C上B将点M的坐标代入直线l和曲线C的方程知点M在直线l上，也在曲线C上3方程4x2y24x2y0表示的曲线是()A一个点 B两条互相平行的直线C两条互相垂直的直线 D两条相交但不
4、垂直的直线D4x2y24x2y0，(2x1)2(y1)20，2x1(y1)，2xy0或2xy20，这两条直线相交但不垂直4在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足3，则点P的轨迹方程为_x2y30由题意(x，y)，(1,2)，则x2y由3，得x2y3，即x2y30曲线与方程的概念【例1】(1)命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是正确的，下列命题中正确的是 ()A方程f(x，y)0的曲线是CB方程f(x，y)0的曲线不一定是CCf(x，y)0是曲线C的方程D以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：过点A(
5、2,0)平行于y轴的直线与方程|x|2之间的关系；到两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系；第二、四象限角平分线上的点与方程xy0之间的关系(1)B根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A、C、D错(2)解：过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2的解，但以方程|x|2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上因此|x|2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程到两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy5，但以方程xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5第二、四象限角平分
6、线上的点的坐标都满足xy0，反之，以方程xy0的解为坐标的点都在第二、四象限角平分线上因此第二、四象限角平分线上的点的轨迹方程是xy01解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可2判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程1(1)已知坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上，那么()A曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)0B凡坐标不适合f(x，y)0的点都不在曲线C上C不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)0D不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)0，有些不
7、适合f(x，y)0C根据曲线的方程的定义知，选C(2)已知方程x2(y1)210判断点P(1，2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上；若点M在此方程表示的曲线上，求实数m的值解因为12(21)210，()2(31)2610，所以点P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，点Q(，3)不在方程x2(y1)210表示的曲线上因为点M在方程x2(y1)210表示的曲线上，所以x，ym适合方程x2(y1)210，即(m1)210解得m2或m故实数m的值为2或用直接法(定义法)求曲线方程探究问题1求曲线方程为什么要首先“建立适当的坐标系”？如何建系？提示只有建立了平面直角坐标系，才能用坐标表示
8、点，才能把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹建立坐标系时，应充分利用图形的几何性质，如中心对称图形，可利用对称中心为原点建系；轴对称图形以对称轴为坐标轴建系；条件中有直角，可将两直角边作为坐标轴建系等2在求出曲线方程后，为什么要说明化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上？提示根据条件求出的方程，只满足“曲线上的点的坐标都是方程的解”，而没说明“以方程的解为坐标的点都在曲线上”，故应说明【例2】在RtABC中，斜边长是定长2a(a0)，求直角顶点C的轨迹方程思路探究：以线段AB的中点为原点，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，法一(直接法)：利用|AC|2|BC|2|AB|2求解法二
9、(定义法)：顶点C在以AB为直径的圆上解法一(直接法)：取AB边所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(a,0)，B(a,0)，设动点C为(x，y)由于|AC|2|BC|2|AB|2，所以()2()24a2，整理得x2y2a2由于当xa时，点C与A或B重合，故xa所以所求的点C的轨迹方程为x2y2a2(xa)法二(定义法)：建立平面直角坐标系同法一因为ACBC，则顶点C的轨迹是以AB为直径的圆(除去A，B两点)，因此顶点C的轨迹方程为x2y2a2(xa)若本例题改为“一个动点P到直线x8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍求动点P
10、的轨迹方程”如何求解？解设P(x，y)，则|8x|2|PA|则|8x|2，化简，得3x24y248，故动点P的轨迹方程为3x24y2481直接法求曲线方程直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件M|p(M)直接翻译成x，y的形式F(x，y)0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)0要注意轨迹上的点不能含有杂点，也不能少点，也就是说曲线上的点一个也不能多，一个也不能少2定义法求曲线方程如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征代入法求轨迹方程【例3】已知圆C的方程为x2y24，过圆C上的一动点
11、M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程解设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)，则点N的坐标为(0，y0)因为，即(x，y)(x0，y0)(0，y0)(x0,2y0)，则x0x，y0又点M在圆C上，所以xy4，即x24所以，动点Q的轨迹方程是1代入法求轨迹方程的步骤(1)分析所求动点与已知动点坐标间关系；(2)用所求曲线上的动点坐标表示已知曲线上的动点；(3)代入已知曲线方程整理可得所求轨迹方程.2已知ABC，A(2,0)，B(0，2)，第三个顶点C在曲线y3x21上移动，求ABC的重心的轨迹方程解设ABC的重心为G(x，y)，顶点C的坐标为(x
12、1，y1)，由重心坐标公式得代入y13x1，得3y23(3x2)21y9x212x3即为所求轨迹方程由方程判断曲线【例4】方程(xy1)0所表示的曲线的轨迹是()A B C DD原方程等价于或x2y24其中当xy10时，需有意义，等式才成立，即x2y24，此时它表示直线xy10上不在圆x2y24内的部分；当x2y24时方程表示整个圆，所以方程对应的曲线是D(1)由具体的方程判断曲线的步骤为：(2)由方程判断曲线是建立起数与形的联系，提升数形结合能力，形成数学直观想象的素养3方程(xy)2(xy1)20表示的图形是_两个点(1,1)或(1，1)由题意所以或所以方程(xy)2(xy1)20表示的是
13、两个点(1,1)或(1，1)1判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上2已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题3一般地，求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)，而不要设成(x1，y1)或(x，y)等4方程化简到什么程度，课本上没有给出明确的规定，一般指将方程f(x，y)0化成x，y的整式如果化简过程破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点5“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念：求轨迹方程只要求出方程即可；而求轨迹则应先求出
14、轨迹方程，再说明轨迹的形状1若P(2，3)在曲线x2ay21上，则a的值为()A2B3C DD因为点P(2，3)在曲线x2ay21上，所以代入曲线方程可得a，故选D2方程表示的曲线为()A两条线段 B两条直线C两条射线 D一条射线和一条线段A由已知得1|x|1y,1y0,1|x|0，有y|x|，|x|1曲线表示两条线段，故选A3已知等腰三角形ABC底边两端点是A(，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是()A一条直线 B一条直线去掉一点C一个点 D两个点B由题意知|AC|BC|，则顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线(除去线段AB的中点)，故选B4动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于，求动点M的轨迹方程解如图，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(a,0)，B(a,0)设M(x，y)为轨迹上任意一点，则kMA，kMB(xa)kMAkMB，化简得：x22y2a2(xa)点M的轨迹方程为x22y2a2(xa)
