1、 2013届高三数学章末综合测试题（8）数列一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知an为等差数列，若a3a4a89，则S9() A24 B27 C15 D54 解析B由a3a4a89，得3(a14d)9，即a53.则S99a527.2在等差数列an中，若a4a6a8a10a12120，则a9a11的值为()A14 B15 C16 D17 解析Ca4a6a8a10a12120，5a8120，a824，a9a11(a8d) (a83d)a816.3已知an是由正数组成的等比数列，Sn表示an的前n项的和，若a13，a2a4144
2、，则S5的值是()A. B69 C93 D189 解析C由a2a4a144得a312(a312舍去)，又a13，各项均为正数，则 q2.所以S593.4在数列1,2，4，中，2是这个数列的第几项()A16 B24 C26 D28 解析C因为a11，a22，a3，a4，a5，a64， 所以an.令an2，得n26.故选C.5已知等差数列的前n项和为Sn，若S130，则在数列中绝对值最小的项为()A第5项 B第6项 C第7项 D第8项 解析CS130，a1a132a70， a1a12a6a70，a60，且|a6|a7|.故选C.6.的值为()A. B.C. D. 解析C， Sn .7正项等比数列a
3、n中，若log2(a2a98)4，则a40a60等于()A16 B10 C16 D256 解析C由log2(a2a98)4，得a2a982416， 则a40a60a2a9816.8设f(n)2242721023n10(nN)，则f(n)()A.(8n1) B.(8n11)C.(8n31) D.(8n41)解析D数列1,4,7,10，3n10共有n4项，f(n)(8n41)9 ABC中，tan A是以4为第三项，1为第七项的等差数列的公差，tan B是以为 第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是()A钝角三角形 B锐角三角形C等腰直角三角形 D以上均错 解析B由题意知，tan A
4、0. 又tan3B8，tan B20， A、B均为锐角 又tan(AB)0，AB为钝角，即C为锐角， ABC为锐角三角形10在等差数列an中，前n项和为Sn，前m项和Sm，其中mn，则Smn的值()A大于4 B等于4 C小于4 D大于2且小于4 解析A由题意可设Skak2bk(其中k为正整数)， 则解得Sk， Smn4.11 等差数列an的前n项和为Sn(n1，2,3，)，若当首项a1 和公差d变化时，a5a8a11是一个定值，则下列选项中为定值的是()AS17 BS18 CS15 DS14 解析C由a5a8a113a121d3(a17d)3a8是定值，可知a8是定值所以 S1515a8是定值
5、12 数列an的通项公式an，其前n项和为，则在平面直角坐标系中，直线 (n1)xyn0在y轴上的截距为()A10 B9 C10 D9 解析Ban， Sn， 由，得n9，直线方程为10xy90，其在y轴上的截距为9.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13设Sn是等差数列an(nN*)的前n项和，且a11，a47，则S5_. 解析a11，a47，d2.S55a1d51225.【答案】2514若数列an满足关系a13，an12an1，则该数列的通项公式为_ 解析an12an1，an112(an1)，数列an1是首项为4，公比为2的等比数列，an142n1，an2
6、n11.【答案】an2n1115(2011北京高考)在等比数列an中，若a1，a44，则公比q_；|a1|a2|an|_. 解析数列an为等比数列，a4q34，q2；an(2)n1， |an|2n1，由等比数列前n项和公式得|a1|a2|an|2n2n1.【答案】22n116给定：anlogn1(n2)(nN*)，定义使a1a2ak为整数的数k(kN*)叫做数列an的“企盼数”，则区间1,2 013内所有“企盼数”的和M_. 解析设a1a2aklog23log34logk(k1)logk1(k2)log2(k2)为整数m，则k22m，k2m2.又1k2 013，12m22 013，2m10.区
7、间1,2 013内所有“企盼数”的和为M(222)(232)(2102)(2223210)18182 026.【答案】2 026三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知等差数列an的前三项为a,4,3a，前k项的和Sk2 550，求通项公式an及k的值 解析法一：由题意知，a1a，a24，a33a，Sk2 550.数列an是等差数列，a3a24，a1a2，公差da2a12，an22(n1)2n.又Skka1d，即k222 550，整理，得k2k2 5500，解得k150，k251(舍去)，an2n，k50.法二：由法一，得a1a2，d2，a
8、n22(n1)2n，Snn2n.又Sk2 550，k2k2 550，即k2k2 5500，解得k50(k51舍去)an2n，k50.18(12分)(1)已知数列an的前n项和Sn3n22n，求数列an的通项公式；(2)已知数列an的前n项和为Sn32n，求an. 解析(1)n1时，a1S11.当n2时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5，因为a1也适合上式，所以通项公式为an6n5.(2)当n1时，a1S1325.当n2时，anSnSn132n(32n1)2n2n12n1.因为n1时，不符合an2n1，所以数列an的通项公式为an19(12分)有10台型号相同的联合收割机，收
9、割一片土地上的庄稼若同时投入至收割完毕需用24小时，但现在它们是每隔相同的时间依次投入工作的，每一台投入工作后都一直工作到庄稼收割完毕如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍求用这种收割方法收割完这片土地上的庄稼需用多长时间？ 解析设从第一台投入工作起，这10台收割机工作的时间依次为a1，a2，a3，a10小时，依题意，an组成一个等差数列，每台收割机每小时工作效率是，且有由得，a1a2a10240.数列an是等差数列，240，即a1a1048.将联立，解得a140(小时)，即用这种方法收割完这片土地上的庄稼共需40小时20(12分)已知数列an满足a15，a25，an1an6an1.(1)
10、求证：an12an是等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)设3nbnn(3nan)，求|b1|b2|bn|. 解析(1)an1an6an1，an12an3an6an13(an2an1)又a15，a25，a22a115，anan10，3，数列an12an是以15为首项，3为公比的等比数列(2)由(1)得an12an153n153n，即an12an53n，an13n12(an3n)又a132，an3n0，an3n是以2为首项，2为公比的等比数列an3n2(2)n1，即an2(2)n13n(nN*)(3)由(2)及3nbnn(3nan)，可得3nbnn(an3n)n2(2)n1n(2)n，bn
11、nn，|bn|nn.Tn|b1|b2|bn|22nn，得Tn223(n1)nnn1，得Tn2nnn123n1nn12(n3)n1，Tn62(n3)n.21(12分)已知函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)且f(1).(1)当nN*时，求f(n)的表达式；(2)设annf(n)，nN*，求证：a1a2a3an2；(3)设bn(9n)，nN*，Sn为bn的前n项和，当Sn最大时，求n的值 解析(1)令xn，y1，得f(n1)f(n)f(1)f(n)，f(n)是首项为，公比为的等比数列，即f(n)n.(2)设Tn为an的前n项和，annf(n)nn，Tn2233nn，Tn22334(n1)nnn1，两式相减得Tn2nnn1，整理，得Tn2n1nn0；当n9时，bn0；当n9时，bn0.当n8或9时，Sn取到最大值22(12分)设数列an满足a13a232a33n1an(nN*)(1)求数列an的通项；(2)设bn，求数列bn的前n项和Sn. 解析(1)a13a232a33n1an，a1，a13a232a33n2an1(n2)，得3n1an(n2)，化简得an(n2)显然a1也满足上式，故an(nN*)(2)由得bnn3n.于是Sn13232333n3n，3Sn132233334n3n1，得2Sn332333nn3n1，即2Snn3n1，Sn3n13n1.
