1、 华师一附中荆州中学2011届高三五月模拟考试数学(理)试题命题人:李祥知全卷满分150分。考试用时120分钟。祝考试顺利注意事项:1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 选择题在每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;完成句子和书面表达题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上相对应的答题区域内。答在试题卷上无效。3. 考试结束,请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的。1在复平面内,复数对应的点位于(
2、 )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知集合,全集U=R,则下列结论正确的是( )ABCD3若点P分有向线段所成的比为,则点B分有向线段所成的比为( )A3BCD4已知角的终边与角的终边关于直线对称,则=( )ABCD5已知“”,“直线与圆相切,则是的( )A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知数列的通项为为数列的前n项和,令,则数列的前n项和的取值范围为( )ABCD7已知函数 ,则对任意,若,下列不等式恒成立的是( )ABCD8某班有9名学生,按三行三列正方形座次表随机安排他们的座位,学生张明和李智是好朋友,则他们相邻而坐(一个位置的前后左右位置叫
3、这个座位的邻座)的概率为( )ABCD9在平面直角坐标系xOy中,点A(5,0),对于某个正实数k,存在函数,使得(为常数),这里点P、Q的坐标分别为,则k的取值范围为( )ABCD10已知函数,则方程()的根的个数不可能为( ) A3 B. 4 C. 5 D. 6二、填空题:本大题共5小题,共25分,把答案填写在答题卡相应位置上。11在一次数学考试中,随机抽取100名同学的成绩作为一个样本,其成绩的分布情况如下:成绩人数分布9182327158 则该样本中成绩在内的频率为 。12已知函数在点x = 2处连续,则的展开式中常数项为 .13对于函数,若有六个不同的单调区间,则的取值范围为 .14
4、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若则直线的倾斜角等于 .15已知球的半径为2,圆为球的三个小圆,其半径分别为,若三个小圆所在的平面两两垂直且公共点为则 .三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本题满分12分)在中,已知,面积(1)求的三边的长;(2)设是(含边界)内一点,到三边的距离分别为和,求的取值范围.17(本小题满分12分)研究室有甲、乙两个课题小组,根据以往资料统计,甲、乙两小组完成课题研究各项任务的概率依次分别为,现假设每个课题研究都有两项工作要完成,并且每项工作的完成互不影响,若在一次课题研究中,两小组完成任务项数相等且都
5、不少于一项,则称该研究为“先进和谐室”。 ()若,求该研究室在完成一次课题任务中荣获“先进和谐室”的概率; ()设在完成6次课题任务中该室获得“先进和谐室”的次数为时,P2的取值范围。18(本小题满分12分)在三棱锥中,侧棱、与底面所成的角相等,点到平面的距离为()求二面角的大小;()求点到平面的距离19(本小题满分12分)如图,斜率为1的直线过抛物线的焦点,与抛物线交于两点A、B,将直线AB按向量平移得直线,N为上的动点。 (1)若|AB|=8,求抛物线的方程; (2)求的最小值。20. (本小题满分13分)设函数 的最小值为,最大值为,又(1)求数列的通项公式;(2)求 的值(3)设,是否
6、存在最小的整数,使对任意的都有成立?若存在,求出的值;若不存在请说明理由.21(本小题满分14分)已知函数 ()求函数的最小值; ()求证:; ()对于函数,是否存在公共切线(常数)使得在函数各自定义域上恒成立?若存在,求出该直线的方程;若不存在,请说明理由。参考答案一、选择题110 DDDBAABCAA11. 0.23 12. 13.(2,3) 14. 15.16.解:设(1),由,用余弦定理得6分(2)设,由线性规划得12分17.解:(1) (6分)(2)突击队在一次任务中荣获“先进和谐队”的概率为 (8分)而 所以 (10分)由知解得 又 (12分)18解法一:(), , 是的直角三角形
7、,侧棱、与底面所成的角相等,点在平面内的射影是的外心,即斜边的中点2分取的中点,连,则,且又是在平面内的射影,为二面角的平面角4分在中,故二面角的大小为7分(),设点到平面的距离为,则由得:10分解方程得,点到平面的距离等于13分解法二: , , 是的直角三角形,侧棱、与底面所成的角相等,点在平面内的射影是的外心,即斜边的中点2分以为原点,、分别为轴、轴正向,以的垂直平分线为轴建立空间直角坐标系(如图), , ,4分设平面的一个法向量为,则, ,令得, 7分()面为面,法向量为,二面角为锐角,记为,即故二面角的大小为10分(),平面的一个法向量点到平面的距离即点到平面的距离等于13分19.解(
8、1)由条件知直线方程:,由消去得则,由抛物线定义得 故抛物线的方程为5分(2)直线的方程为,设 则 即由(1)知: 且 当时 的最小值为12分20.解:(1)函数可变形为当时不符合题意当时,方程为二次方程,由得且 由题意知是方程的两根,则于是4分(2)设 由(1)可知8分(3)数列为递减数列,从而数列的最大项为,即恒成立,只需得,故13分21.(1)解:令得当时,当时,所以函数在上递增所以的最小值为 (3分)(2)证明:由(1)知在取得最小值,所以,即当时由得,当且仅当时等号成立.令得将上式相加得8分(3)设则所以当时,当时,所以当时取得最小值0.则与的图象在处有公共点由在恒成立则在恒成立所以 因此下面证明成立设所以当时,当时,因此,故所求公共切线为(14分)