1、 华师一附中荆州中学2011届高三五月模拟考试数学（理）试题命题人：李祥知全卷满分150分。考试用时120分钟。祝考试顺利注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2. 选择题在每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；完成句子和书面表达题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上相对应的答题区域内。答在试题卷上无效。3. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1在复平面内，复数对应的点位于（
2、 ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知集合，全集U=R，则下列结论正确的是（ ）ABCD3若点P分有向线段所成的比为，则点B分有向线段所成的比为（ ）A3BCD4已知角的终边与角的终边关于直线对称，则=（ ）ABCD5已知“”，“直线与圆相切，则是的（ ）A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知数列的通项为为数列的前n项和，令，则数列的前n项和的取值范围为（ ）ABCD7已知函数 ，则对任意，若，下列不等式恒成立的是（ ）ABCD8某班有9名学生，按三行三列正方形座次表随机安排他们的座位，学生张明和李智是好朋友，则他们相邻而坐（一个位置的前后左右位置叫
3、这个座位的邻座）的概率为（ ）ABCD9在平面直角坐标系xOy中，点A（5，0），对于某个正实数k，存在函数，使得（为常数），这里点P、Q的坐标分别为，则k的取值范围为（ ）ABCD10已知函数，则方程（）的根的个数不可能为( ) A3 B. 4 C. 5 D. 6二、填空题：本大题共5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上。11在一次数学考试中，随机抽取100名同学的成绩作为一个样本，其成绩的分布情况如下：成绩人数分布9182327158 则该样本中成绩在内的频率为 。12已知函数在点x = 2处连续，则的展开式中常数项为 .13对于函数，若有六个不同的单调区间，则的取值范围为 .14
4、过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若则直线的倾斜角等于 .15已知球的半径为2，圆为球的三个小圆，其半径分别为，若三个小圆所在的平面两两垂直且公共点为则 .三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本题满分12分）在中，已知，面积（1）求的三边的长；（2）设是（含边界）内一点，到三边的距离分别为和，求的取值范围.17（本小题满分12分）研究室有甲、乙两个课题小组，根据以往资料统计，甲、乙两小组完成课题研究各项任务的概率依次分别为，现假设每个课题研究都有两项工作要完成，并且每项工作的完成互不影响，若在一次课题研究中，两小组完成任务项数相等且都
5、不少于一项，则称该研究为“先进和谐室”。 （）若，求该研究室在完成一次课题任务中荣获“先进和谐室”的概率； （）设在完成6次课题任务中该室获得“先进和谐室”的次数为时，P2的取值范围。18（本小题满分12分）在三棱锥中，侧棱、与底面所成的角相等，点到平面的距离为（）求二面角的大小；（）求点到平面的距离19（本小题满分12分）如图，斜率为1的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点A、B，将直线AB按向量平移得直线，N为上的动点。 （1）若|AB|=8，求抛物线的方程； （2）求的最小值。20. （本小题满分13分）设函数 的最小值为，最大值为，又（1）求数列的通项公式；（2）求 的值（3）设，是否
6、存在最小的整数，使对任意的都有成立？若存在，求出的值；若不存在请说明理由.21（本小题满分14分）已知函数 （）求函数的最小值； （）求证：； （）对于函数，是否存在公共切线（常数）使得在函数各自定义域上恒成立？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由。参考答案一、选择题110 DDDBAABCAA11. 0.23 12. 13.（2，3） 14. 15.16.解：设（1），由，用余弦定理得6分（2）设，由线性规划得12分17.解：（1） （6分）（2）突击队在一次任务中荣获“先进和谐队”的概率为 （8分）而 所以 （10分）由知解得 又 （12分）18解法一：（）， ， 是的直角三角形
7、，侧棱、与底面所成的角相等，点在平面内的射影是的外心，即斜边的中点2分取的中点，连，则，且又是在平面内的射影，为二面角的平面角4分在中，故二面角的大小为7分（），设点到平面的距离为，则由得：10分解方程得，点到平面的距离等于13分解法二： ， ， 是的直角三角形，侧棱、与底面所成的角相等，点在平面内的射影是的外心，即斜边的中点2分以为原点，、分别为轴、轴正向，以的垂直平分线为轴建立空间直角坐标系（如图）， ， ，4分设平面的一个法向量为，则， ，令得， 7分（）面为面，法向量为，二面角为锐角，记为，即故二面角的大小为10分（），平面的一个法向量点到平面的距离即点到平面的距离等于13分19.解（
8、1）由条件知直线方程：，由消去得则，由抛物线定义得 故抛物线的方程为5分（2）直线的方程为，设 则 即由（1）知： 且 当时 的最小值为12分20.解：（1）函数可变形为当时不符合题意当时，方程为二次方程，由得且 由题意知是方程的两根，则于是4分（2）设 由（1）可知8分（3）数列为递减数列，从而数列的最大项为，即恒成立，只需得，故13分21.（1）解：令得当时，当时，所以函数在上递增所以的最小值为 （3分）（2）证明：由（1）知在取得最小值，所以，即当时由得，当且仅当时等号成立.令得将上式相加得8分（3）设则所以当时，当时，所以当时取得最小值0.则与的图象在处有公共点由在恒成立则在恒成立所以 因此下面证明成立设所以当时，当时，因此，故所求公共切线为（14分）