1、 2013届高三数学章末综合测试题（2）导数及其应用 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1曲线yx3x在点处的切线与坐标轴围成的三角面积为() A. B. C. D. 解析：yx21，当x1时，ky|x12， 切线方程为y2(x1)当x0时，y，当y0时，x. 三角形的面积S|. 答案：A2函数y4x2的单调增区间为()A(0，) B.C(，1) D.解析：由y4x2，得y8x. 令y0，即8x0，解得x， 函数y4x2在上递增. 答案：B3若曲线f(x)xsinx1在x处的切线与直线ax2y10互相垂直，则实数a等于()A2 B1 C1 D2解析：据已知可得f(x)sinxx
2、cosx，故f1.由两直线的位置关系可得11，解得a2. 答案：D4设函数f(x)g(x)x2，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为()A4 B C2 D解析：f(x)g(x)x2，f(x)g(x)2x，f(1)g(1)2224. 答案：A5已知f(x)x3ax在(，1上递增，则a的取值范围是()Aa3 Ba3 Ca3 Da3解析：由f(x)x3ax，得f(x)3x2a，由3x2a0对于一切x(，1恒成立，3x2a，a3.若a3，则f(x)0对于一切x(，1恒成立若a3，x(，1)时，f(x)0恒成立x1时，f(1)0，a3
3、. 答案：D6设f(x)是一个三次函数，f(x)为其导函数，如图所示的是yxf(x)的图像的一部分，则f(x)的极大值与极小值分别是()Af(1)与f(1) Bf(1)与f(1)Cf(2)与f(2) Df(2)与f(2)解析：由yxf(x)的图像知2是yf(x)的两个零点，设f(x)a(x2)(x2)当x2时，xf(x)ax(x2)(x2)0，a0.由f(x)a(x2)(x2)知，f(2)是极大值，f(2)是极小值，故选D. 答案：D7若函数f(x)x3f(1)x2f(2)x3，则f(x)在点(0，f(0)处切线的倾斜角为()A. B. C. D.解析：由题意，得f(x)x2f(1)xf(2)
4、，令x0，得f(0)f(2)，令x1，得f(1)1f(1)f(2)，f(2)1，f(0)1，即f(x)在点(0，f(0)处切线的斜率为1，倾斜角为. 答案：D8下图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图像，那么yf(x)，yg(x)的图像可能是()解析：由yf(x)的图像知，yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)图像上任意一点切线的斜率在(0，)也单调递减，故可排除A，C.又由图像知，yf(x)与yg(x)的图像在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图像在xx0处的切线斜率相同，故可排除B.故选D. 答案：D9若函数f(x)在R上满足f(x)exx2xsinx，则曲线y
5、f(x)在点(0，f(0)处的切线方程是()Ay2x1 By3x2Cyx1 Dy2x3解析：令x0，解得f(0)1.对f(x)求导，得f(x)ex2x1cosx，令x0，解得f(0)1，故切线方程为yx1. 答案：C10如图，函数f(x)的导函数yf(x)的图像，则下面判断正确的是()A在(2,1)内f(x)是增函数B在(1,3)内f(x)是减函数C在(4,5)内f(x)是增函数D在x2时，f(x)取到极小值解析：在(2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数f(x)在这个区间上不是单调函数；同理，函数f(x)在(1,3)上也不是单调函数，在x2的左侧，函数f(x)在上是增函数在x2的右侧，函
6、数f(x)在(2,4)上是减函数，所以在x2时，f(x)取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数f(x)在这个区间上为增函数. 答案：C11已知函数f(x)x3px2qx的图像与x轴相切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.、0 B0、 C、0 D0、解析：f(x)3x22pxq，由f(1)0，f(1)0，得解得f(x)x32x2x.由f(x)3x24x10，得x，或x1.从而求得当x时，f(x)取极大值；当x1时，f(x)取极小值0.故选A. 答案：A12如右图，若函数yf(x)的图像在点P处的切线方程为xy20，则f(1)f(1)()A1 B2C3 D4解析：
7、由图像知f(1)3，f(1)1，故f(1)f(1) 314. 答案：D第卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13设P为曲线C：yx2x1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是1,3，则点P纵坐标的取值范围是_解析：设P(a，a2a1)，y|xa2a1，0a2.从而g(a)a2a12.当a时，g(a)min；a2时，g(a)max3. 故P点纵坐标范围是.答案：14已知函数f(x)lnx2x，g(x)a(x2x)，若f(x)g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_解析：设F(x)f(x)g(x)，其定义域为(0，)，则F(x)22axa，x(0，)当a0时，F
8、(x)0，F(x)单调递增，F(x)0不可能恒成立当a0时，令F(x)0，得x，或x(舍去)当0x时，F(x)0；当x时，F(x)0.故F(x)在(0，)上有最大值F，由题意F0恒成立，即ln10.令(a)ln1，则(a)在(0，)上单调递减，且(1)0，故ln10成立的充要条件是a1.答案：1，)15设函数yax2bxk(k0)在x0处取得极值，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线x2y10，则ab的值为_解析：f(x)ax2bxk(k0)，f(x)2axb.又f(x)在x0处有极值，故f(0)0，从而b0.由曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线与直线x2y10垂直，可知该
9、切线斜率为2，即f(1)2，2a2，得a1.ab101.答案：116已知函数f(x)的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是_(填写正确命题的序号)函数f(x)在区间(3,1)内单调递减；函数f(x)在区间(1,7)内单调递减；当x3时，函数f(x)有极大值；当x7时，函数f(x)有极小值解析：由图像可得，在区间(3,1)内f(x)的导函数数值大于零，所以f(x)单调递增；在区间(1,7)内f(x)的导函数值小于零，所以f(x)单调递减；在x3左右的导函数符号不变，所以x3不是函数的极大值点；在x7左右的导函数符号在由负到正，所以函数f(x)在x7处有极小值故正确答案：三、解答题：本大题共6
10、小题，共70分17(10分)已知函数f(x)x3ax2bxa2(a，bR)(1)若函数f(x)在x1处有极值为10，求b的值；(2)若对任意a4，)，f(x)在x0,2上单调递增，求b的最小值解析：(1)f(x)3x22axb，则或当时，f(x)3x28x11，641320，故函数有极值点；当时，f(x)3(x1)20，故函数无极值点；故b的值为11.(2)方法一：f(x)3x22axb0对任意的a4，)，x0,2都成立，则F(a)2xa3x2b0对任意的a4，)，x0,2都成立x0，F(a)在a4，)上单调递增或为常数函数，得F(a)minF(4)8x3x2b0对任意的x0,2恒成立，即b(
11、3x28x)max，又3x28x32，当x时，(3x28x)max，得b，故b的最小值为.方法二：f(x)3x22axb0对任意的a4，)，x0,2都成立，即b3x22ax对任意的a4，)，x0,2都成立，即b(3x22ax)max.令F(x)3x22ax32，当a0时，F(x)max0，于是b0；当4a0时，F(x)max，于是b.又max，b.综上，b的最小值为.18(12分)已知函数f(x)x3x2bxc.(1)若f(x)在(，)上是增函数，求b的取值范围；(2)若f(x)在x1处取得极值，且x1,2时，f(x)c2恒成立，求c的取值范围解析：(1)f(x)3x2xb，因f(x)在(，)
12、上是增函数，则f(x)0，即3x2xb0，bx3x2在(，)恒成立设g(x)x3x2，当x时，g(x)max，b.(2)由题意，知f(1)0，即31b0，b2.x1,2时，f(x)c2恒成立，只需f(x)在1,2上的最大值小于c2即可因f(x)3x2x2，令f(x)0，得x1，或x.f(1)c，f()c，f(1)c，f(2)2c，f(x)maxf(2)2c，2cc2，解得c2，或c1，所以c的取值范围为(，1)(2，)19(12分)已知函数f(x)(xR)(1)当m1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当m0时，求函数f(x)的单调区间与极值解析：(1)当m1时，f(x)
13、，f(2)，又因为f(x)，则f(2).所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(x2)，即6x25y320.(2)f(x).令f(x)0，得到x1，x2m.m0，m.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：xm(m，)f(x)00f(x)递减极小值递增极大值递减从而f(x)在区间，(m，)内为减函数，在区间内为增函数，故函数f(x)在点x1处取得极小值f，且fm2，函数f(x)在点x2m处取得极大值f(m)，且f(m)1.20(12分)已知函数f(x)(a)x2lnx(aR)(1)当a1时，求f(x)在区间1，e上的最大值和最小值；(2)若在区间(1，)上，函数f(x)的
14、图像恒在直线y2ax下方，求a的取值范围解析：(1)当a1时，f(x)x2lnx，f(x)x.对于x1，e有f(x)0，f(x)在区间1，e上为增函数，f(x)maxf(e)1，f(x)minf(1).(2)令g(x)f(x)2ax(a)x22axlnx，则g(x)的定义域为(0，)在区间(1，)上，函数f(x)的图像恒在直线y2ax下方等价于g(x)0在区间(1，)上恒成立g(x)(2a1)x2a，若a，令g(x)0，得极值点x11，x2，当x2x11，即a1时，在(x2，)上有g(x)0，此时g(x)在区间(x2，)上是增函数，并且在该区间上有g(x)(g(x2)，)，不符合题意；当x2x
15、11，即a1时，同理可知，g(x)在区间(1，)上，有g(x)(g(1)，)，也不符合题意；若a，则有2a10，此时在区间(1，)上恒有g(x)0，从而g(x)在区间(1，)上是减函数要使g(x)0在此区间上恒成立，只需满足g(1)a0a，由此求得a的取值范围是.综上可知，当a时，函数f(x)的图像恒在直线y2ax下方21(12分)设函数f(x)lnx，g(x)ax，函数f(x)的图像与x轴的交点也在函数g(x)的图像上，且在此点有公共切线(1)求a，b的值；(2)对任意x0，试比较f(x)与g(x)的大小解析：(1)f(x)lnx的图像与x轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得g(1)ab0.
16、又f(x)，g(x)a，且f(x)与g(x)在点(1,0)处有公共切线，g(1)f(1)1，即ab1.由得，a，b.(2)令F(x)f(x)g(x)，则F(x)lnxlnxx，F(x)20.F(x)在(0，)上为减函数当0x1时，F(x)F(1)0，即f(x)g(x)；当x1时，F(1)0，即f(x)g(x)；当x1时，F(x)F(1)0，即f(x)g(x)22(12分)设函数f(x)ax32bx2cx4d(a，b，c，dR)的图像关于原点对称，且x1时，f(x)取极小值.(1)求a，b，c，d的值；(2)当x1,1时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x
17、1，x21,1，求证：|f(x1)f(x2)|.解析：(1)函数f(x)的图像关于原点对称，对任意实数x有f(x)f(x)，ax32bx2cx4dax32bx2cx4d，即bx22d0恒成立，b0，d0，f(x)ax3cx，f(x)3ax2c，当x1时，f(x)取极小值，3ac0，且ac，解得a，c1.(2)当x1,1时，图像上不存在这样的两点使结论成立假设图像上存在两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，使得过此两点处的切线互相垂直，则由f(x)x21知，两点处的切线斜率分别为k1x121，k2x221，且(x121)(x221)1.(*)x1，x21,1，x1210，x2210.(x121)(x221)0.此与(*)相矛盾，故假设不成立(3)f(x)x21，令f(x)0，得x1.当x(，1)或x(1，)时，f(x)0，当x(1,1)时，f(x)0，f(x)在1,1上是减函数，且f(x)maxf(1)，f(x)minf(1).在1,1上，|f(x)|，于是x1，x21,1时，|f(x1)f(x2)|f(x1)|f(x2)|.
